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平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的三角形与原三角形
截得的三角形与原三角形
相似
。答案
相似
解析
【分析】
解题时可先结合题意构建图形，回忆平行线的性质与相似三角形的判定规则推导结论：首先平行于三角形一边的直线和其他两边相交时，会形成两组相等的同位角，再加上两个三角形共有的公共角，可得到两组及以上对应角相等，结合相似三角形的判定定理即可判断两个三角形的关系。
【解析】
设原三角形为$△ ABC$，直线$DE// BC$，分别与$AB$、$AC$交于点$D$、$E$：
1. 由$DE// BC$，根据平行线的性质可得：$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$；
2. 两个三角形存在公共角$∠ A$，即$∠ A=∠ A$；
3. 根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADE∽△ ABC$。
因此截得的三角形与原三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
平行线的性质；相似三角形判定
【点评】
本题属于基础概念题，考查相似三角形相关的基础判定规则，是后续解决相似三角形证明、计算类问题的基础，需要牢固掌握该结论。
【难度系数】
0.9
解题时可先结合题意构建图形，回忆平行线的性质与相似三角形的判定规则推导结论：首先平行于三角形一边的直线和其他两边相交时，会形成两组相等的同位角，再加上两个三角形共有的公共角，可得到两组及以上对应角相等，结合相似三角形的判定定理即可判断两个三角形的关系。
【解析】
设原三角形为$△ ABC$，直线$DE// BC$，分别与$AB$、$AC$交于点$D$、$E$：
1. 由$DE// BC$，根据平行线的性质可得：$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$；
2. 两个三角形存在公共角$∠ A$，即$∠ A=∠ A$；
3. 根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADE∽△ ABC$。
因此截得的三角形与原三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
平行线的性质；相似三角形判定
【点评】
本题属于基础概念题，考查相似三角形相关的基础判定规则，是后续解决相似三角形证明、计算类问题的基础，需要牢固掌握该结论。
【难度系数】
0.9
【例】(2025 广州一模)如图,在$△ ABC$中,已知$D,E$分别是$AB,AC$的中点,求证:$△ ADE ∽ △ ABC$.
答案
证明:$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点，$\therefore DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC$。
解析
【分析】
首先从已知条件“D、E分别是AB、AC的中点”入手，结合三角形中位线的性质，可推出$DE// BC$；再根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证明$△ ADE ∽ △ ABC$。
【解析】
证明：
$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE// BC$，
根据相似三角形的平行判定定理可得$△ ADE∽ △ ABC$。
【答案】
证明:$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点，$\therefore DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC$
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，主要考查对三角形中位线性质和相似三角形判定定理的掌握，解题逻辑清晰，是几何证明的常见基础考法。
【难度系数】
0.9
首先从已知条件“D、E分别是AB、AC的中点”入手，结合三角形中位线的性质，可推出$DE// BC$；再根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证明$△ ADE ∽ △ ABC$。
【解析】
证明：
$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE// BC$，
根据相似三角形的平行判定定理可得$△ ADE∽ △ ABC$。
【答案】
证明:$\because D,E$分别是$AB,AC$的中点，$\therefore DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC$
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，主要考查对三角形中位线性质和相似三角形判定定理的掌握，解题逻辑清晰，是几何证明的常见基础考法。
【难度系数】
0.9
【变式】如图，在$△ ABC$中，若$EF// BC$，$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{2}{3}$，$EF=4$，则$BC$的长为（
A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$
C
）A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形，已知EF平行于BC，根据相似三角形的判定定理，可推出△AEF与△ABC相似。再结合已知的$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$，先求出AE与AB的比值，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入EF的长度即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ $EF// BC$
∴ $∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$（两直线平行，同位角相等）
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ $\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}$
把$EF=4$，$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$代入得：
$\frac{4}{BC}=\frac{2}{5}$
解得：$BC=10$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是先由平行线判定三角形相似，再结合线段比例关系和相似三角形对应边成比例的性质求解线段长度，这类题型是几何部分的常见考点。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知EF平行于BC，根据相似三角形的判定定理，可推出△AEF与△ABC相似。再结合已知的$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$，先求出AE与AB的比值，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入EF的长度即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ $EF// BC$
∴ $∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$（两直线平行，同位角相等）
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ $\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}$
把$EF=4$，$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$代入得：
$\frac{4}{BC}=\frac{2}{5}$
解得：$BC=10$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是先由平行线判定三角形相似，再结合线段比例关系和相似三角形对应边成比例的性质求解线段长度，这类题型是几何部分的常见考点。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在$△ ABC$中,$EF// AB$,$EG// AC$,$D$为$BG$上一点,连接$DE$,下列判断正确的是 (
A.$△ BDE ∽ △ BAC$
B.$△ CFE ∽ △ CAB$
C.$△ BDE ∽ △ BGE$
D.以上都正确
B
)A.$△ BDE ∽ △ BAC$
B.$△ CFE ∽ △ CAB$
C.$△ BDE ∽ △ BGE$
D.以上都正确
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。接下来结合题目给出的平行条件，逐个分析选项：①判断△BDE和△BAC是否相似：题目仅给出EG//AC，未说明DE和AC平行，缺少判定相似的条件；②判断△CFE和△CAB是否相似：已知EF//AB，符合平行线判定相似的条件，可直接判定相似；③判断△BDE和△BGE是否相似：二者仅存在公共角∠B，没有其余对应角相等或边成比例的条件，无法判定相似，最终即可选出正确选项。
【解析】
我们根据相似三角形的判定定理逐个分析选项：
1. 分析选项A：若要△BDE ∽ △BAC，需满足DE//AC，但题目仅给出EG//AC，没有说明DE与AC平行，因此无法判定这两个三角形相似，A错误。
2. 分析选项B：已知EF//AB，即EF平行于△CAB的边AB，且EF与△CAB的另外两边CA、CB分别交于F、E两点，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得△CFE ∽ △CAB，B正确。
3. 分析选项C：△BDE和△BGE只有公共角∠B，没有其余对应角相等、对应边成比例的条件，无法判定相似，C错误。
因此选项D“以上都正确”也不成立，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是熟练掌握平行线判定相似三角形的定理，注意要严格依据题干给出的已知条件分析，不能自行脑补不存在的平行关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。接下来结合题目给出的平行条件，逐个分析选项：①判断△BDE和△BAC是否相似：题目仅给出EG//AC，未说明DE和AC平行，缺少判定相似的条件；②判断△CFE和△CAB是否相似：已知EF//AB，符合平行线判定相似的条件，可直接判定相似；③判断△BDE和△BGE是否相似：二者仅存在公共角∠B，没有其余对应角相等或边成比例的条件，无法判定相似，最终即可选出正确选项。
【解析】
我们根据相似三角形的判定定理逐个分析选项：
1. 分析选项A：若要△BDE ∽ △BAC，需满足DE//AC，但题目仅给出EG//AC，没有说明DE与AC平行，因此无法判定这两个三角形相似，A错误。
2. 分析选项B：已知EF//AB，即EF平行于△CAB的边AB，且EF与△CAB的另外两边CA、CB分别交于F、E两点，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得△CFE ∽ △CAB，B正确。
3. 分析选项C：△BDE和△BGE只有公共角∠B，没有其余对应角相等、对应边成比例的条件，无法判定相似，C错误。
因此选项D“以上都正确”也不成立，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是熟练掌握平行线判定相似三角形的定理，注意要严格依据题干给出的已知条件分析，不能自行脑补不存在的平行关系。
【难度系数】
0.8
2. 如图，△ABC中，DE//AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{DE}{AB}$等于
（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
（
B
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
2. B
解析
【分析】
首先看到题干给出DE//AB的条件，可联想到平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由此可证△CDE∽△CAB。要求DE与AB的比值，根据相似三角形对应边成比例的性质，只需求出CD与AC的比值即可。已知$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，可通过线段和的关系推导出CD与AC的比例，进而得到最终结果。
【解析】
解：
∵$DE// AB$
∴$∠ CDE=∠ A$，$∠ CED=∠ B$（两直线平行，同位角相等）
∴$△ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}$
已知$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，即$AD=2CD$
又
∵$AC=CD+AD$
∴$AC=CD+2CD=3CD$
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CD}{3CD}=\frac{1}{3}$
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是先通过平行线判定三角形相似，再结合已知线段比例求出相似比，进而得到对应线段的比值，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
首先看到题干给出DE//AB的条件，可联想到平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由此可证△CDE∽△CAB。要求DE与AB的比值，根据相似三角形对应边成比例的性质，只需求出CD与AC的比值即可。已知$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，可通过线段和的关系推导出CD与AC的比例，进而得到最终结果。
【解析】
解：
∵$DE// AB$
∴$∠ CDE=∠ A$，$∠ CED=∠ B$（两直线平行，同位角相等）
∴$△ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}$
已知$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，即$AD=2CD$
又
∵$AC=CD+AD$
∴$AC=CD+2CD=3CD$
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CD}{3CD}=\frac{1}{3}$
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是先通过平行线判定三角形相似，再结合已知线段比例求出相似比，进而得到对应线段的比值，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
3.(2025宜昌期中)如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是 (
A.$AB=24\ \mathrm{m}$
B.$MN// AB$
C.$CM:CA=1:2$
D.$△ CMN ∽ △ CBA$
D
)A.$AB=24\ \mathrm{m}$
B.$MN// AB$
C.$CM:CA=1:2$
D.$△ CMN ∽ △ CBA$
答案
3. D
解析
【分析】
本题可先根据M、N是AC、BC中点判断MN是△ABC的中位线，再结合中位线定理、相似三角形判定、线段比例关系逐一分析各选项，找出描述错误的选项即可。首先回忆三角形中位线性质：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；相似三角形表示时需对应顶点写在对应位置，对应边成比例、对应角相等。
【解析】
∵ M是AC的中点，N是BC的中点
∴ MN是△ABC的中位线，且$CM=\frac{1}{2}CA$，$CN=\frac{1}{2}CB$
根据三角形中位线定理可得：$MN// AB$，$MN=\frac{1}{2}AB$
已知$MN=12\mathrm{m}$，因此$AB=2MN=2×12=24\mathrm{m}$，故A、B选项描述正确；
由$CM=\frac{1}{2}CA$可得$CM:CA=1:2$，故C选项描述正确；
在△CMN和△CAB中，$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{CB}=\frac{1}{2}$，且∠C为公共角，因此△CMN∽△CAB，相似三角形书写时对应顶点需对应，D选项中△CMN∽△CBA的对应顶点标注错误，该描述不成立。
题目要求选出描述错误的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定
【点评】
本题结合实际测距离的场景，考查中位线和相似三角形的基础知识点，解题时要注意相似三角形的表示规范，需将对应顶点写在对应位置，避免因忽略书写规则出错。
【难度系数】
0.7
本题可先根据M、N是AC、BC中点判断MN是△ABC的中位线，再结合中位线定理、相似三角形判定、线段比例关系逐一分析各选项，找出描述错误的选项即可。首先回忆三角形中位线性质：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；相似三角形表示时需对应顶点写在对应位置，对应边成比例、对应角相等。
【解析】
∵ M是AC的中点，N是BC的中点
∴ MN是△ABC的中位线，且$CM=\frac{1}{2}CA$，$CN=\frac{1}{2}CB$
根据三角形中位线定理可得：$MN// AB$，$MN=\frac{1}{2}AB$
已知$MN=12\mathrm{m}$，因此$AB=2MN=2×12=24\mathrm{m}$，故A、B选项描述正确；
由$CM=\frac{1}{2}CA$可得$CM:CA=1:2$，故C选项描述正确；
在△CMN和△CAB中，$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{CB}=\frac{1}{2}$，且∠C为公共角，因此△CMN∽△CAB，相似三角形书写时对应顶点需对应，D选项中△CMN∽△CBA的对应顶点标注错误，该描述不成立。
题目要求选出描述错误的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定
【点评】
本题结合实际测距离的场景，考查中位线和相似三角形的基础知识点，解题时要注意相似三角形的表示规范，需将对应顶点写在对应位置，避免因忽略书写规则出错。
【难度系数】
0.7
