4. 如图,在△ABC中,DE//BC,AD=3,DE=2,BD=4.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)求BC的长.

(1)证明:$\because DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC$。
(2)解:$\because △ ADE∽ △ ABC,\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$,即$\dfrac{3}{3+4}=\dfrac{2}{BC}$,
$\therefore BC=\dfrac{14}{3}$。

【分析】
（1）要证明△ADE∽△ABC，先观察已知条件：题中给出DE//BC，可直接利用“平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”这一判定定理完成证明。
（2）要求BC的长度，在已证两三角形相似的前提下，利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算AB的总长度（AB=AD+BD），再将已知线段长度代入比例式，即可求出BC的长。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// BC$，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，$\therefore △ ADE∽ △ ABC$。
(2) 解：$\because △ ADE∽ △ ABC$，$\therefore$相似三角形对应边成比例，即$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$。
已知$AD=3$，$BD=4$，则$AB=AD+BD=3+4=7$，将$AD=3$，$DE=2$，$AB=7$代入比例式得：
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{2}{BC}$
交叉相乘得：$3BC=14$
解得$BC=\dfrac{14}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\dfrac{14}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线判定相似的定理，以及相似三角形对应边成比例的性质，通过建立比例式即可快速求解未知边长。
【难度系数】
0.85

5.如图，点A,B,C,D把OE五等分，且AA'//BB'//CC'//DD'//EE'，若EE'=20 cm，那么BB'= cm，DD'= cm.

5. 8 16

【分析】
解题时首先观察图形特征：所有平行线段的一端都在射线OE上，另一端都在射线OE'上，因此可利用平行线分线段成比例定理求解。第一步先根据OE被五等分，确定OB、OD与OE的长度比；第二步利用平行线得到对应线段成比例，将比例关系和EE'的长度代入计算，即可得到BB'和DD'的长度。
【解析】
∵点A、B、C、D把OE五等分，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{2}{5}$，$\frac{OD}{OE}=\frac{4}{5}$，
又
∵$BB'// EE'$，$DD'// EE'$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BB'}{EE'}=\frac{OB}{OE}$，$\frac{DD'}{EE'}=\frac{OD}{OE}$，
已知$EE'=20\mathrm{cm}$，
∴$BB'=\frac{2}{5}×20=8\mathrm{cm}$，$DD'=\frac{4}{5}×20=16\mathrm{cm}$。
【答案】
8；16
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理
2.线段等分的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线分线段成比例的实际应用，解题的核心是准确找到等分线段对应的比例关系，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8

6. (2025 上海期中)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AD=3,BC=5,点 E 在 AB 上,且 AE:EB=2:3,过点 E 作 EF//BC 交 CD 于点 F,求 EF 的长.

解:如图,过点 A 作 $AM// CD$,分别交 BC,EF 于 M,N 两点，
$\because AD// BC,EF// BC$,
$\therefore$ 四边形 ADCM 与四边形 ADFN 均为平行四边形,$△ AEN∽ △ ABM$,
$\therefore CM=NF=AD=3,\dfrac{EN}{BM}=\dfrac{AE}{AB}$,
又$\because BM=BC-CM=2,AE:EB=2:3$,
$\therefore \dfrac{EN}{BM}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{5}$,
$\therefore EN=\dfrac{2}{5}× BM=\dfrac{2}{5}× 2=\dfrac{4}{5}$,
$\therefore EF=EN+NF=\dfrac{4}{5}+3=\dfrac{19}{5}$。

【分析】
已知梯形上下底的长度，以及腰AB上的线段比例，要计算平行于上下底的线段EF的长，可将梯形问题转化为熟悉的平行四边形和三角形问题求解。首先过点A作CD的平行线，平移腰CD得到两个平行四边形和一组相似三角形：利用平行四边形对边相等的性质可得NF=AD，剩下的EN部分可通过相似三角形对应边成比例，结合已知的AE:EB的比值求出，最后将EN和NF相加即可得到EF的长度。
【解析】
解：如图，过点A作 $AM// CD$，分别交 BC,EF 于 M,N 两点，
$\because AD// BC,EF// BC$，
$\therefore$ 四边形ADCM、四边形ADFN的两组对边均互相平行，均为平行四边形；同时$EF//BC$可得$∠ AEN=∠ ABM$，$∠ ANE=∠ AMB$，故$△ AEN∽ △ ABM$。
$\therefore$ 由平行四边形对边相等得$CM=NF=AD=3$，由相似三角形性质得$\dfrac{EN}{BM}=\dfrac{AE}{AB}$。
又$\because BM=BC-CM=5-3=2$，$AE:EB=2:3$，即$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}$，
$\therefore EN=\dfrac{2}{5}× BM=\dfrac{2}{5}× 2=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore EF=EN+NF=\dfrac{4}{5}+3=\dfrac{19}{5}$。
【答案】
$\dfrac{19}{5}$
【知识点】
梯形的性质，相似三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是梯形线段求解的典型题型，通过平移腰的辅助线作法，将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题，把未知线段拆分为两段可求的线段，是梯形相关计算的常用思路，需熟练掌握这类转化思想。
【难度系数】
0.6