登录
4.已知两个有理数$a,b$，如果$ab＜0$且$a+b＞0$，那么(
A.$a＞0,b＞0$
B.$a＜0,b＞0$
C.$a,b$同号
D.$a,b$异号，且正数的绝对值较大
D
).A.$a＞0,b＞0$
B.$a＜0,b＞0$
C.$a,b$同号
D.$a,b$异号，且正数的绝对值较大
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先逐个分析题干给出的两个条件，结合有理数运算法则逐步排除错误选项：首先由$ab＜0$，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的符号规律，可直接判定$a$、$b$异号，先排除描述同号的A、C选项；再结合$a+b＞0$的条件，根据异号两数相加的符号规则：和的符号与绝对值更大的加数符号一致，可判定正数的绝对值更大，最后对比剩余选项，B选项只描述了其中一种符号情况，表述不全面，即可确定正确选项。
【解析】
1. 分析$ab＜0$的条件：根据有理数乘法符号法则，两数相乘，同号得正，异号得负，因此$a$、$b$异号，A选项（$a、b$均为正，乘积为正）、C选项（$a、b$同号，乘积为正）均不符合要求，直接排除。
2. 分析$a+b＞0$的条件：根据有理数加法法则，异号两数相加，和的符号与绝对值更大的加数的符号一致，已知和为正数，说明$a、b$中正数的绝对值更大。
3. 验证剩余选项：B选项仅描述了$a＜0、b＞0$的一种情况，实际也可能是$a＞0、b＜0$（只要正数绝对值更大即可），表述不全面，排除B。
因此D选项描述正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 有理数乘法法则
2. 有理数加法法则
【点评】
本题考查有理数运算法则的综合应用，需要结合乘法、加法的符号规律判断两数的符号关系和绝对值大小关系，解题时要注意不要遗漏可能的符号组合。
【难度系数】
0.8
解题时先逐个分析题干给出的两个条件，结合有理数运算法则逐步排除错误选项：首先由$ab＜0$，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的符号规律，可直接判定$a$、$b$异号，先排除描述同号的A、C选项；再结合$a+b＞0$的条件，根据异号两数相加的符号规则：和的符号与绝对值更大的加数符号一致，可判定正数的绝对值更大，最后对比剩余选项，B选项只描述了其中一种符号情况，表述不全面，即可确定正确选项。
【解析】
1. 分析$ab＜0$的条件：根据有理数乘法符号法则，两数相乘，同号得正，异号得负，因此$a$、$b$异号，A选项（$a、b$均为正，乘积为正）、C选项（$a、b$同号，乘积为正）均不符合要求，直接排除。
2. 分析$a+b＞0$的条件：根据有理数加法法则，异号两数相加，和的符号与绝对值更大的加数的符号一致，已知和为正数，说明$a、b$中正数的绝对值更大。
3. 验证剩余选项：B选项仅描述了$a＜0、b＞0$的一种情况，实际也可能是$a＞0、b＜0$（只要正数绝对值更大即可），表述不全面，排除B。
因此D选项描述正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 有理数乘法法则
2. 有理数加法法则
【点评】
本题考查有理数运算法则的综合应用，需要结合乘法、加法的符号规律判断两数的符号关系和绝对值大小关系，解题时要注意不要遗漏可能的符号组合。
【难度系数】
0.8
5.绝对值小于2026的所有整数的乘积等于
0
.答案
5. 0
解析
【分析】
解题时首先要明确绝对值小于2026的整数范围：根据绝对值的定义，绝对值表示数轴上的点到原点的距离，因此绝对值小于2026的整数包含负整数、0、正整数三类。其次回忆有理数乘法的特性：多个数相乘时，只要其中有一个因数是0，乘积就为0，因此不需要计算其他整数的乘积，直接就能推导结果。
【解析】
绝对值小于2026的所有整数为：-2025、-2024、……、-1、0、1、……、2024、2025。
上述整数中包含因数0，根据有理数乘法法则：任何数与0相乘，积都为0，因此这些整数的乘积为0。
【答案】
0
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘法法则
【点评】
本题解题的核心是注意到符合条件的整数中包含0，若忽略0的存在盲目计算正负整数的乘积容易走弯路，熟练掌握0在乘法运算中的特性可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确绝对值小于2026的整数范围：根据绝对值的定义，绝对值表示数轴上的点到原点的距离，因此绝对值小于2026的整数包含负整数、0、正整数三类。其次回忆有理数乘法的特性：多个数相乘时，只要其中有一个因数是0，乘积就为0，因此不需要计算其他整数的乘积，直接就能推导结果。
【解析】
绝对值小于2026的所有整数为：-2025、-2024、……、-1、0、1、……、2024、2025。
上述整数中包含因数0，根据有理数乘法法则：任何数与0相乘，积都为0，因此这些整数的乘积为0。
【答案】
0
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘法法则
【点评】
本题解题的核心是注意到符合条件的整数中包含0，若忽略0的存在盲目计算正负整数的乘积容易走弯路，熟练掌握0在乘法运算中的特性可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
6.计算:
(1)$(-4) × \frac{1}{3} × (-25) × (-6)$；
(2)$\frac{3}{7} × (-\frac{4}{5}) × \frac{7}{12} × \frac{5}{8}$；
(3)$(+5.9) × (-203) × 0 × 204 × (-\frac{7}{3})$；
(4)$(-3.61) × 0.75 + 0.61 × \frac{3}{4} + (-0.2) × 75\%$；
(5)$3\frac{1}{7} × \frac{21}{22} × (3\frac{1}{7} - 7\frac{1}{3}) × (-\frac{7}{22})$。
(1)$(-4) × \frac{1}{3} × (-25) × (-6)$；
(2)$\frac{3}{7} × (-\frac{4}{5}) × \frac{7}{12} × \frac{5}{8}$；
(3)$(+5.9) × (-203) × 0 × 204 × (-\frac{7}{3})$；
(4)$(-3.61) × 0.75 + 0.61 × \frac{3}{4} + (-0.2) × 75\%$；
(5)$3\frac{1}{7} × \frac{21}{22} × (3\frac{1}{7} - 7\frac{1}{3}) × (-\frac{7}{22})$。
答案
6. 解:(1)原式$=-(4×25)×(\dfrac{1}{3}×6)$
$=-100×2$
$=-200$；
(2)原式$=(\dfrac{3}{7}×\dfrac{7}{12})×(-\dfrac{4}{5}×\dfrac{5}{8})$
$=\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{2})$
$=-\dfrac{1}{8}$；
(3)原式$=0$；
(4)原式$=\dfrac{3}{4}×[(-3.61)+0.61+(-0.2)]$
$=\dfrac{3}{4}×(-3.2)$
$=-2.4$；
(5)原式$=\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}×(\dfrac{22}{7}-\dfrac{22}{3})×(-\dfrac{7}{22})$
$=[\dfrac{22}{7}×(-\dfrac{7}{22})]×(\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}-\dfrac{22}{3}×\dfrac{21}{22})$
$=-1×(3-7)$
$=4$。
$=-100×2$
$=-200$；
(2)原式$=(\dfrac{3}{7}×\dfrac{7}{12})×(-\dfrac{4}{5}×\dfrac{5}{8})$
$=\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{2})$
$=-\dfrac{1}{8}$；
(3)原式$=0$；
(4)原式$=\dfrac{3}{4}×[(-3.61)+0.61+(-0.2)]$
$=\dfrac{3}{4}×(-3.2)$
$=-2.4$；
(5)原式$=\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}×(\dfrac{22}{7}-\dfrac{22}{3})×(-\dfrac{7}{22})$
$=[\dfrac{22}{7}×(-\dfrac{7}{22})]×(\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}-\dfrac{22}{3}×\dfrac{21}{22})$
$=-1×(3-7)$
$=4$。
解析
【分析】
本题考查有理数的乘法运算，解题遵循“先定符号，再算绝对值”的原则，可结合运算律简化计算：
1. 多个非零有理数相乘时，先数负因数的个数，负因数为奇数个结果为负，偶数个结果为正，再通过乘法交换律、结合律把能凑整、约分的数组合在一起，降低计算量；
2. 若乘法算式中含有因数0，可直接得出计算结果为0；
3. 若算式中存在可转化为相同的因数时，可逆用乘法分配律提取公因数简化运算。
【解析】
(1) 先确定符号：3个负因数，结果为负，再用乘法交换律、结合律凑整计算：
原式$=-(4×25)×(\dfrac{1}{3}×6)$
$=-100×2$
$=-200$
(2) 先确定符号：1个负因数，结果为负，再结合可约分的因数计算：
原式$=(\dfrac{3}{7}×\dfrac{7}{12})×(-\dfrac{4}{5}×\dfrac{5}{8})$
$=\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{2})$
$=-\dfrac{1}{8}$
(3) 算式中含有因数0，根据“任何数与0相乘都得0”可得：
原式$=0$
(4) 先统一公因数为$\dfrac{3}{4}$，逆用乘法分配律计算：
原式$=\dfrac{3}{4}×[(-3.61)+0.61+(-0.2)]$
$=\dfrac{3}{4}×(-3.2)$
$=-2.4$
(5) 先把带分数化为假分数，再结合乘法交换律、分配律简化计算：
原式$=\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}×(\dfrac{22}{7}-\dfrac{22}{3})×(-\dfrac{7}{22})$
$=[\dfrac{22}{7}×(-\dfrac{7}{22})]×(\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}-\dfrac{22}{3}×\dfrac{21}{22})$
$=-1×(3-7)$
$=4$
【答案】
(1)$-200$；(2)$-\dfrac{1}{8}$；(3)$0$；(4)$-2.4$；(5)$4$
【知识点】
有理数乘法法则；乘法运算律；乘法分配律逆用
【点评】
本组题属于有理数乘法的基础运算题，解题核心是先确定结果符号，再根据算式特征灵活选用运算律简化计算，同时要注意特殊因数0的特征，可直接得到结果，减少不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的乘法运算，解题遵循“先定符号，再算绝对值”的原则，可结合运算律简化计算：
1. 多个非零有理数相乘时，先数负因数的个数，负因数为奇数个结果为负，偶数个结果为正，再通过乘法交换律、结合律把能凑整、约分的数组合在一起，降低计算量；
2. 若乘法算式中含有因数0，可直接得出计算结果为0；
3. 若算式中存在可转化为相同的因数时，可逆用乘法分配律提取公因数简化运算。
【解析】
(1) 先确定符号：3个负因数，结果为负，再用乘法交换律、结合律凑整计算：
原式$=-(4×25)×(\dfrac{1}{3}×6)$
$=-100×2$
$=-200$
(2) 先确定符号：1个负因数，结果为负，再结合可约分的因数计算：
原式$=(\dfrac{3}{7}×\dfrac{7}{12})×(-\dfrac{4}{5}×\dfrac{5}{8})$
$=\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{2})$
$=-\dfrac{1}{8}$
(3) 算式中含有因数0，根据“任何数与0相乘都得0”可得：
原式$=0$
(4) 先统一公因数为$\dfrac{3}{4}$，逆用乘法分配律计算：
原式$=\dfrac{3}{4}×[(-3.61)+0.61+(-0.2)]$
$=\dfrac{3}{4}×(-3.2)$
$=-2.4$
(5) 先把带分数化为假分数，再结合乘法交换律、分配律简化计算：
原式$=\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}×(\dfrac{22}{7}-\dfrac{22}{3})×(-\dfrac{7}{22})$
$=[\dfrac{22}{7}×(-\dfrac{7}{22})]×(\dfrac{22}{7}×\dfrac{21}{22}-\dfrac{22}{3}×\dfrac{21}{22})$
$=-1×(3-7)$
$=4$
【答案】
(1)$-200$；(2)$-\dfrac{1}{8}$；(3)$0$；(4)$-2.4$；(5)$4$
【知识点】
有理数乘法法则；乘法运算律；乘法分配律逆用
【点评】
本组题属于有理数乘法的基础运算题，解题核心是先确定结果符号，再根据算式特征灵活选用运算律简化计算，同时要注意特殊因数0的特征，可直接得到结果，减少不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.7
7.如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列结论正确的是(
A.$a+b＜0$
B.$a-b＞0$
C.$|a|＜|b|$
D.$(b-1)(a+1)＜0$
C
).A.$a+b＜0$
B.$a-b＞0$
C.$|a|＜|b|$
D.$(b-1)(a+1)＜0$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先从数轴上读取a、b的取值范围：-1＜a＜0，b＞1，再结合有理数的加减法法则、绝对值的几何意义、有理数乘法的符号判断法则，逐个分析四个选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$b ＞ 1$。
选项A：a是大于-1的负数，b是大于1的正数，正数的绝对值大于a的绝对值，因此$a+b ＞ 0$，A错误；
选项B：$a-b = a + (-b)$，a为负，$-b$为负，两个负数相加结果为负，因此$a-b ＜ 0$，B错误；
选项C：$|a|$表示a到原点的距离，范围是$0 ＜ |a| ＜ 1$；$|b|$表示b到原点的距离，范围是$|b| ＞ 1$，因此$|a| ＜ |b|$，C正确；
选项D：由$b＞1$得$b-1＞0$，由$a＞-1$得$a+1＞0$，两个正数相乘结果为正，因此$(b-1)(a+1) ＞ 0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数乘法法则
【点评】
本题是数轴与有理数运算的结合题，解题核心是准确从数轴中获取数的取值范围，再结合对应运算法则逐一验证选项，掌握数形结合的思想能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
解题时首先从数轴上读取a、b的取值范围：-1＜a＜0，b＞1，再结合有理数的加减法法则、绝对值的几何意义、有理数乘法的符号判断法则，逐个分析四个选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$b ＞ 1$。
选项A：a是大于-1的负数，b是大于1的正数，正数的绝对值大于a的绝对值，因此$a+b ＞ 0$，A错误；
选项B：$a-b = a + (-b)$，a为负，$-b$为负，两个负数相加结果为负，因此$a-b ＜ 0$，B错误；
选项C：$|a|$表示a到原点的距离，范围是$0 ＜ |a| ＜ 1$；$|b|$表示b到原点的距离，范围是$|b| ＞ 1$，因此$|a| ＜ |b|$，C正确；
选项D：由$b＞1$得$b-1＞0$，由$a＞-1$得$a+1＞0$，两个正数相乘结果为正，因此$(b-1)(a+1) ＞ 0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数乘法法则
【点评】
本题是数轴与有理数运算的结合题，解题核心是准确从数轴中获取数的取值范围，再结合对应运算法则逐一验证选项，掌握数形结合的思想能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
8.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：$f_{(1)}=1+\dfrac{2}{1}$，$f_{(2)}=1+\dfrac{2}{2}$，$f_{(3)}=1+\dfrac{2}{3}$，$f_{(4)}=1+\dfrac{2}{4}$，$···$.利用以上运算的规律求出 $2026f_{(2026)}=$
2028
.答案
8. 2028
解析
【分析】
首先观察给出的$f_{(1)}$到$f_{(4)}$的运算式，归纳出$f_{(n)}$的通用运算规律：对于正整数$n$，$f_{(n)}=1+\frac{2}{n}$。接下来要计算$2026f_{(2026)}$，只需将$n=2026$代入通用表达式，再结合乘法分配律计算即可，不需要复杂通分就能快速得出结果。
【解析】
第一步：总结运算规律
根据给出的运算式：
$f_{(1)}=1+\frac{2}{1}$，$f_{(2)}=1+\frac{2}{2}$，$f_{(3)}=1+\frac{2}{3}$……
可得对任意正整数$n$，$f_{(n)}=1+\frac{2}{n}$。
第二步：代入$n=2026$计算
$f_{(2026)}=1+\frac{2}{2026}$
第三步：计算$2026f_{(2026)}$
$2026f_{(2026)}=2026×(1+\frac{2}{2026})$
根据乘法分配律展开：
$=2026×1 + 2026×\frac{2}{2026}$
$=2026 + 2$
$=2028$
【答案】
2028
【知识点】
数字规律探究，有理数乘法运算，乘法分配律
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和有理数运算的灵活运用，解题的核心是先正确推导$f_{(n)}$的通用公式，再利用乘法分配律简化计算，能有效避免通分带来的计算失误。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的$f_{(1)}$到$f_{(4)}$的运算式，归纳出$f_{(n)}$的通用运算规律：对于正整数$n$，$f_{(n)}=1+\frac{2}{n}$。接下来要计算$2026f_{(2026)}$，只需将$n=2026$代入通用表达式，再结合乘法分配律计算即可，不需要复杂通分就能快速得出结果。
【解析】
第一步：总结运算规律
根据给出的运算式：
$f_{(1)}=1+\frac{2}{1}$，$f_{(2)}=1+\frac{2}{2}$，$f_{(3)}=1+\frac{2}{3}$……
可得对任意正整数$n$，$f_{(n)}=1+\frac{2}{n}$。
第二步：代入$n=2026$计算
$f_{(2026)}=1+\frac{2}{2026}$
第三步：计算$2026f_{(2026)}$
$2026f_{(2026)}=2026×(1+\frac{2}{2026})$
根据乘法分配律展开：
$=2026×1 + 2026×\frac{2}{2026}$
$=2026 + 2$
$=2028$
【答案】
2028
【知识点】
数字规律探究，有理数乘法运算，乘法分配律
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和有理数运算的灵活运用，解题的核心是先正确推导$f_{(n)}$的通用公式，再利用乘法分配律简化计算，能有效避免通分带来的计算失误。
【难度系数】
0.8
9.若$a,b$是有理数,定义一种新运算$\oplus$:
$a\oplus b=2ab+1$.例如:$(-3)\oplus4=2×(-3)×4+1=-23$.试计算:
(1)$3\oplus(-5)$;
(2)$[3\oplus(-5)]\oplus(-6)$.
$a\oplus b=2ab+1$.例如:$(-3)\oplus4=2×(-3)×4+1=-23$.试计算:
(1)$3\oplus(-5)$;
(2)$[3\oplus(-5)]\oplus(-6)$.
答案
解:(1)原式$=2×3×(-5)+1$
$=-30+1$
$=-29$。
(2)原式$=(-29)\oplus(-6)$
$=2×(-29)×(-6)+1$
$=348+1$
$=349$。
$=-30+1$
$=-29$。
(2)原式$=(-29)\oplus(-6)$
$=2×(-29)×(-6)+1$
$=348+1$
$=349$。
解析
【分析】
首先要明确新运算$\oplus$的计算规则：$a\oplus b=2ab+1$，即两个数进行$\oplus$运算时，结果等于这两个数乘积的2倍再加1。解题时按照运算顺序逐步计算即可：
1. 计算第(1)问时，直接把$a=3$、$b=-5$代入新运算公式，按照有理数乘法、加法的运算法则计算即可；
2. 计算第(2)问时，遵循有括号先算括号内的规则，先算出$3\oplus(-5)$的结果（即第(1)问的结果），再把这个结果作为新的$a$，$-6$作为新的$b$，再次代入新运算公式算出最终结果，计算时注意有理数乘法的符号判断。
【解析】
(1) 根据新运算规则代入计算：
$\begin{aligned}3\oplus(-5)&=2×3×(-5)+1\\&=-30+1\\&=-29\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的结果，再代入新运算计算：
$\begin{aligned}[3\oplus(-5)]\oplus(-6)&=(-29)\oplus(-6)\\&=2×(-29)×(-6)+1\\&=348+1\\&=349\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-29}$；(2) $\boxed{349}$
【知识点】
新定义运算、有理数乘法、有理数混合运算顺序
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题核心是准确理解新运算的规则，严格按照运算顺序分步计算，计算时注意有理数乘法的符号规则即可避免出错。
【难度系数】
0.85
首先要明确新运算$\oplus$的计算规则：$a\oplus b=2ab+1$，即两个数进行$\oplus$运算时，结果等于这两个数乘积的2倍再加1。解题时按照运算顺序逐步计算即可：
1. 计算第(1)问时，直接把$a=3$、$b=-5$代入新运算公式，按照有理数乘法、加法的运算法则计算即可；
2. 计算第(2)问时，遵循有括号先算括号内的规则，先算出$3\oplus(-5)$的结果（即第(1)问的结果），再把这个结果作为新的$a$，$-6$作为新的$b$，再次代入新运算公式算出最终结果，计算时注意有理数乘法的符号判断。
【解析】
(1) 根据新运算规则代入计算：
$\begin{aligned}3\oplus(-5)&=2×3×(-5)+1\\&=-30+1\\&=-29\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的结果，再代入新运算计算：
$\begin{aligned}[3\oplus(-5)]\oplus(-6)&=(-29)\oplus(-6)\\&=2×(-29)×(-6)+1\\&=348+1\\&=349\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-29}$；(2) $\boxed{349}$
【知识点】
新定义运算、有理数乘法、有理数混合运算顺序
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题核心是准确理解新运算的规则，严格按照运算顺序分步计算，计算时注意有理数乘法的符号规则即可避免出错。
【难度系数】
0.85
