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1. 下列 y 关于 x 的函数中，属于正比例函数的是 （
A.$y=x^2$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=\frac{x}{2}$
D.$y=\frac{x+1}{2}$
C
）A.$y=x^2$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=\frac{x}{2}$
D.$y=\frac{x+1}{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个函数是正比例函数，首先需要回忆正比例函数的定义，明确正比例函数的核心特征：一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），需同时满足三个条件：①自变量$x$的次数为1；②比例系数$k$不为0；③没有常数项（常数项为0）。接下来逐一比对每个选项是否符合上述特征即可得出答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数。
我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2$中自变量$x$的次数是2，不符合“$x$的次数为1”的要求，是二次函数，不属于正比例函数；
选项B：$y=\frac{2}{x}$可变形为$y=2x^{-1}$，自变量$x$的次数是-1，不符合要求，是反比例函数，不属于正比例函数；
选项C：$y=\frac{x}{2}$可变形为$y=\frac{1}{2}x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=\frac{1}{2}≠0$，$x$的次数为1，没有常数项，属于正比例函数；
选项D：$y=\frac{x+1}{2}$可变形为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，含有常数项$\frac{1}{2}$，不符合要求，是一次函数但不属于正比例函数。
综上，只有选项C符合正比例函数的定义。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义；函数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握正比例函数的一般形式及判定条件，注意区分正比例函数和其他类型函数的形式差异，避免混淆概念。
【难度系数】
0.9
要判断哪个函数是正比例函数，首先需要回忆正比例函数的定义，明确正比例函数的核心特征：一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），需同时满足三个条件：①自变量$x$的次数为1；②比例系数$k$不为0；③没有常数项（常数项为0）。接下来逐一比对每个选项是否符合上述特征即可得出答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数。
我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2$中自变量$x$的次数是2，不符合“$x$的次数为1”的要求，是二次函数，不属于正比例函数；
选项B：$y=\frac{2}{x}$可变形为$y=2x^{-1}$，自变量$x$的次数是-1，不符合要求，是反比例函数，不属于正比例函数；
选项C：$y=\frac{x}{2}$可变形为$y=\frac{1}{2}x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=\frac{1}{2}≠0$，$x$的次数为1，没有常数项，属于正比例函数；
选项D：$y=\frac{x+1}{2}$可变形为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，含有常数项$\frac{1}{2}$，不符合要求，是一次函数但不属于正比例函数。
综上，只有选项C符合正比例函数的定义。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义；函数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握正比例函数的一般形式及判定条件，注意区分正比例函数和其他类型函数的形式差异，避免混淆概念。
【难度系数】
0.9
2. 下列关系中,属于正比例关系的是 （
A.当路程s一定时,速度v与时间t
B.圆的面积S与圆的半径R
C.正方体的体积V与棱长a
D.正方形的周长C与它的边长a
D
）A.当路程s一定时,速度v与时间t
B.圆的面积S与圆的半径R
C.正方体的体积V与棱长a
D.正方形的周长C与它的边长a
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例关系的判定标准：若两个相关联的量可以表示为$ y=kx $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的形式，即两个量的比值为固定常数，则二者成正比例关系。接下来只需逐个写出每个选项中两个量的数量关系式，对照判定标准逐一排查即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的商（比值）为定值，且满足$ y=kx $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的形式，则这两个量成正比例关系。
对各选项逐一分析：
A选项：路程$ s $一定时，由路程公式$ s=vt $可得$ v=\frac{s}{t} $，此时速度$ v $和时间$ t $的乘积为定值，成反比例关系，不符合正比例关系要求；
B选项：圆的面积公式为$ S=πR² $，$ S $与$ R $的比值为$ πR $，不是固定常数，因此$ S $与$ R $不成正比例关系（$ S $实际与$ R² $成正比例关系）；
C选项：正方体体积公式为$ V=a³ $，$ V $与$ a $的比值为$ a² $，不是固定常数，不成正比例关系；
D选项：正方形周长公式为$ C=4a $，其中4是不为0的常数，符合$ y=kx $的形式，因此周长$ C $与边长$ a $成正比例关系。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系的判定；常见几何量的数量关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握正比例关系的形式，注意区分正比例与反比例、高次幂的数量关系，避免误将“与某量的平方成正比”混淆为“与某量成正比”。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确正比例关系的判定标准：若两个相关联的量可以表示为$ y=kx $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的形式，即两个量的比值为固定常数，则二者成正比例关系。接下来只需逐个写出每个选项中两个量的数量关系式，对照判定标准逐一排查即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的商（比值）为定值，且满足$ y=kx $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的形式，则这两个量成正比例关系。
对各选项逐一分析：
A选项：路程$ s $一定时，由路程公式$ s=vt $可得$ v=\frac{s}{t} $，此时速度$ v $和时间$ t $的乘积为定值，成反比例关系，不符合正比例关系要求；
B选项：圆的面积公式为$ S=πR² $，$ S $与$ R $的比值为$ πR $，不是固定常数，因此$ S $与$ R $不成正比例关系（$ S $实际与$ R² $成正比例关系）；
C选项：正方体体积公式为$ V=a³ $，$ V $与$ a $的比值为$ a² $，不是固定常数，不成正比例关系；
D选项：正方形周长公式为$ C=4a $，其中4是不为0的常数，符合$ y=kx $的形式，因此周长$ C $与边长$ a $成正比例关系。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系的判定；常见几何量的数量关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握正比例关系的形式，注意区分正比例与反比例、高次幂的数量关系，避免误将“与某量的平方成正比”混淆为“与某量成正比”。
【难度系数】
0.8
3.若一次函数$y=3x+2$与$y=2x+3$的值同时为负，则$x$的取值范围是
.
.
答案
3.$x＜-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
题目要求两个一次函数的值同时为负，首先要明确“函数值为负”就是y＜0，因此我们可以分别将两个函数的表达式代入y＜0，得到关于x的一元一次不等式，再组成不等式组，最后求出这个不等式组的解集，就是x的取值范围。
【解析】
根据题意，两个一次函数的值同时为负，可列不等式组：
$\begin{cases}3x + 2 ＜ 0 \quad \mathrm{(1)} \\2x + 3 ＜ 0 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式(1)：
移项得 $3x ＜ -2$，
两边同时除以3得 $x ＜ -\dfrac{2}{3}$。
解不等式(2)：
移项得 $2x ＜ -3$，
两边同时除以2得 $x ＜ -\dfrac{3}{2}$。
根据不等式组解集“同小取小”的原则，两个解集的公共部分为 $x ＜ -\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$x＜-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数的函数值、一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定
【点评】
本题解题的核心是将一次函数值的正负条件转化为对应的不等式，再通过解不等式组得到公共解集，需要熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的判断口诀。
【难度系数】
0.8
题目要求两个一次函数的值同时为负，首先要明确“函数值为负”就是y＜0，因此我们可以分别将两个函数的表达式代入y＜0，得到关于x的一元一次不等式，再组成不等式组，最后求出这个不等式组的解集，就是x的取值范围。
【解析】
根据题意，两个一次函数的值同时为负，可列不等式组：
$\begin{cases}3x + 2 ＜ 0 \quad \mathrm{(1)} \\2x + 3 ＜ 0 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式(1)：
移项得 $3x ＜ -2$，
两边同时除以3得 $x ＜ -\dfrac{2}{3}$。
解不等式(2)：
移项得 $2x ＜ -3$，
两边同时除以2得 $x ＜ -\dfrac{3}{2}$。
根据不等式组解集“同小取小”的原则，两个解集的公共部分为 $x ＜ -\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$x＜-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数的函数值、一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定
【点评】
本题解题的核心是将一次函数值的正负条件转化为对应的不等式，再通过解不等式组得到公共解集，需要熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的判断口诀。
【难度系数】
0.8
4.已知y与x成正比，且当x=1时函数值为-2，则y关于x的函数表达式为
$y=-2x$
。答案
4.$y=-2x$
解析
【分析】
已知y与x成正比，首先根据正比例函数的定义设出对应的函数一般形式，再将题目给出的x、y的对应值代入所设的解析式，求解出未知系数k，最后将k代回解析式即可得到所求的函数表达式。
【解析】
解：
∵ y与x成正比，
∴ 设y关于x的函数解析式为$y=kx$（k为常数，且$k\ne0$），
把$x=1$，$y=-2$代入上述解析式，得：
$-2 = k×1$，
解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$y=kx$，可得函数表达式为$y=-2x$。
【答案】
$y=-2x$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数相关的基础题型，主要考查对正比例函数概念的理解以及待定系数法的基础应用，只要牢记正比例函数的一般形式，代入数值计算即可得出结果，是需要熟练掌握的基础得分题。
【难度系数】
0.9
已知y与x成正比，首先根据正比例函数的定义设出对应的函数一般形式，再将题目给出的x、y的对应值代入所设的解析式，求解出未知系数k，最后将k代回解析式即可得到所求的函数表达式。
【解析】
解：
∵ y与x成正比，
∴ 设y关于x的函数解析式为$y=kx$（k为常数，且$k\ne0$），
把$x=1$，$y=-2$代入上述解析式，得：
$-2 = k×1$，
解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$y=kx$，可得函数表达式为$y=-2x$。
【答案】
$y=-2x$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数相关的基础题型，主要考查对正比例函数概念的理解以及待定系数法的基础应用，只要牢记正比例函数的一般形式，代入数值计算即可得出结果，是需要熟练掌握的基础得分题。
【难度系数】
0.9
5.已知函数$y=(m+1)x+(m^2 -1)$，当$m$取什么值时，$y$是$x$的一次函数？当$m$取什么值时，$y$是$x$的正比例函数？
答案
5.$m≠-1$ $m=1$
解析
【分析】
解题时先明确一次函数和正比例函数的定义要求：①一次函数的核心判定条件是自变量x的一次项系数不为0；②正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次项系数不为0外，还需要常数项为0。我们按照两个函数的定义分别列对应的不等式或方程求解即可。
【解析】
1. 求y是x的一次函数时m的取值：
根据一次函数的定义，形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，因此本题中需满足一次项系数不为0：
$m+1≠0$
解得 $m≠-1$
2. 求y是x的正比例函数时m的取值：
根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，因此需同时满足两个条件：
① 一次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
② 常数项为0：$m^2-1=0$，解得$m=1$或$m=-1$
综合两个条件，舍去不符合要求的$m=-1$，得$m=1$
【答案】
当$m≠-1$时，$y$是$x$的一次函数；当$m=1$时，$y$是$x$的正比例函数
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是牢记正比例函数是特殊的一次函数，不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
解题时先明确一次函数和正比例函数的定义要求：①一次函数的核心判定条件是自变量x的一次项系数不为0；②正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次项系数不为0外，还需要常数项为0。我们按照两个函数的定义分别列对应的不等式或方程求解即可。
【解析】
1. 求y是x的一次函数时m的取值：
根据一次函数的定义，形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，因此本题中需满足一次项系数不为0：
$m+1≠0$
解得 $m≠-1$
2. 求y是x的正比例函数时m的取值：
根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，因此需同时满足两个条件：
① 一次项系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
② 常数项为0：$m^2-1=0$，解得$m=1$或$m=-1$
综合两个条件，舍去不符合要求的$m=-1$，得$m=1$
【答案】
当$m≠-1$时，$y$是$x$的一次函数；当$m=1$时，$y$是$x$的正比例函数
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是牢记正比例函数是特殊的一次函数，不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
6.求出下列各题中 y 与 x 之间的函数表达式,并判断 y 是否为 x 的一次函数,是否为正比例函数.
(1)三角形的底边长为 2,其面积 y 和底边上的高 x 之间的函数关系.
(2)某村耕地面积为$10^6$(平方米),该村人均占有耕地面积 y(平方米)与人数 x(个)之间的函数关系.
(3)地面气温为$28° C$,如果高度每升高 1km,气温下降$6° C$,气温 y($° C$)与高度 x(km)之间的函数关系.
(1)三角形的底边长为 2,其面积 y 和底边上的高 x 之间的函数关系.
(2)某村耕地面积为$10^6$(平方米),该村人均占有耕地面积 y(平方米)与人数 x(个)之间的函数关系.
(3)地面气温为$28° C$,如果高度每升高 1km,气温下降$6° C$,气温 y($° C$)与高度 x(km)之间的函数关系.
答案
6.(1)$y=x$,是一次函数,也是正比例函数 (2)$y=\frac{10^6}{x}$,不是一次函数,也不是正比例函数
(3)$y=28-6x$,是一次函数,不是正比例函数.
(3)$y=28-6x$,是一次函数,不是正比例函数.
解析
【分析】
解题时先根据各小题对应的实际场景的等量关系列出y与x的函数表达式，再结合一次函数、正比例函数的定义进行判断。一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的函数；若一次函数中$b=0$，即形如$y=kx$（k为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数。具体步骤：①梳理每个题目的等量关系；②代入对应数值化简得到函数表达式；③对照两类函数的定义逐一判断即可。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式$面积=\frac{1}{2}×底×底边上的高$，已知底边长为2，底边上的高为x，面积为y，代入得：
$y=\frac{1}{2}×2×x=x$
该式符合$y=kx$（$k=1≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，也是正比例函数。
(2) 根据“人均占有耕地面积=总耕地面积÷人数”，已知总耕地面积为$10^6$平方米，人数为x，人均占有耕地面积为y，代入得：
$y=\frac{10^6}{x}$
该式不符合$y=kx+b$的形式，因此y不是x的一次函数，也不是正比例函数。
(3) 根据“气温=地面气温-升高x km下降的气温”，已知高度每升高1 km气温下降$6℃$，升高x km气温下降$6x℃$，代入得：
$y=28-6x$，即$y=-6x+28$
该式符合$y=kx+b$（$k=-6≠0$，$b=28≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，不是正比例函数。
【答案】
(1)$y=x$,是一次函数,也是正比例函数 (2)$y=\frac{10^6}{x}$,不是一次函数,也不是正比例函数
(3)$y=28-6x$,是一次函数,不是正比例函数.
【知识点】
列函数关系式，一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查结合实际情境列函数关系式，以及对一次函数、正比例函数定义的理解与应用，解题的核心是准确提取实际问题中的等量关系，牢记两类函数的形式特征。
【难度系数】
0.8
解题时先根据各小题对应的实际场景的等量关系列出y与x的函数表达式，再结合一次函数、正比例函数的定义进行判断。一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的函数；若一次函数中$b=0$，即形如$y=kx$（k为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数。具体步骤：①梳理每个题目的等量关系；②代入对应数值化简得到函数表达式；③对照两类函数的定义逐一判断即可。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式$面积=\frac{1}{2}×底×底边上的高$，已知底边长为2，底边上的高为x，面积为y，代入得：
$y=\frac{1}{2}×2×x=x$
该式符合$y=kx$（$k=1≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，也是正比例函数。
(2) 根据“人均占有耕地面积=总耕地面积÷人数”，已知总耕地面积为$10^6$平方米，人数为x，人均占有耕地面积为y，代入得：
$y=\frac{10^6}{x}$
该式不符合$y=kx+b$的形式，因此y不是x的一次函数，也不是正比例函数。
(3) 根据“气温=地面气温-升高x km下降的气温”，已知高度每升高1 km气温下降$6℃$，升高x km气温下降$6x℃$，代入得：
$y=28-6x$，即$y=-6x+28$
该式符合$y=kx+b$（$k=-6≠0$，$b=28≠0$）的形式，因此y是x的一次函数，不是正比例函数。
【答案】
(1)$y=x$,是一次函数,也是正比例函数 (2)$y=\frac{10^6}{x}$,不是一次函数,也不是正比例函数
(3)$y=28-6x$,是一次函数,不是正比例函数.
【知识点】
列函数关系式，一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查结合实际情境列函数关系式，以及对一次函数、正比例函数定义的理解与应用，解题的核心是准确提取实际问题中的等量关系，牢记两类函数的形式特征。
【难度系数】
0.8
