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▲7. 为响应“低碳生活”的号召，李明决定每天骑自行车上学.有一天李明从家出发骑了1000m后，自行车发生了故障，原地修车耽误了5min，车修好后李明继续骑行，用了8min骑行了剩余的800m到达学校（假设在骑车过程中匀速行驶且修车前后速度不变）.若设他从家开始去学校所用的时间为t(min)，离家的路程为y(km)，则y关于t(15＜t≤23)的函数表达式为（
A.$y=100t(15＜t≤23)$
B.$y=100t-500(15＜t≤23)$
C.$y=50t+650(15＜t≤23)$
D.$y=100t+500(15＜t≤23)$
B
）A.$y=100t(15＜t≤23)$
B.$y=100t-500(15＜t≤23)$
C.$y=50t+650(15＜t≤23)$
D.$y=100t+500(15＜t≤23)$
答案
7.B
解析
【分析】
要推导15＜t≤23时y关于t的函数表达式，首先需要明确该时间段对应的行程状态：此时李明已修完车，正匀速骑行。解题步骤如下：①先根据修车后8分钟骑行800m算出骑行速度；②计算修完车的时间点（t=15min）对应的路程；③结合匀速行驶的路程公式，列出该时间段的函数表达式并化简即可。
【解析】
第一步：计算李明骑车的速度
已知修车后8min骑行800m，且骑车匀速，因此速度$v=\frac{800}{8}=100\,\mathrm{m/min}$。
第二步：确定t=15min时的状态
骑行前1000m用时：$\frac{1000}{100}=10\,\mathrm{min}$，加上修车耽误的5min，可得$t=10+5=15\,\mathrm{min}$时，李明刚修完车，此时离家路程$y=1000\,\mathrm{m}$。
第三步：推导15＜t≤23时的函数表达式
该时间段内，李明的骑行时间为$(t-15)\,\mathrm{min}$，新增骑行路程为$100(t-15)\,\mathrm{m}$，因此总路程：
$y=1000 + 100(t-15)$
化简得：$y=100t - 500\,(15＜t≤23)$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用；匀速行程问题；分段函数
【点评】
本题是一次函数在实际行程问题中的应用，解题核心是准确判断对应时间段的行程状态，找准起始点的时间和路程，结合行程的数量关系推导解析式，注意排除静止修车阶段的干扰即可。
【难度系数】
0.7
要推导15＜t≤23时y关于t的函数表达式，首先需要明确该时间段对应的行程状态：此时李明已修完车，正匀速骑行。解题步骤如下：①先根据修车后8分钟骑行800m算出骑行速度；②计算修完车的时间点（t=15min）对应的路程；③结合匀速行驶的路程公式，列出该时间段的函数表达式并化简即可。
【解析】
第一步：计算李明骑车的速度
已知修车后8min骑行800m，且骑车匀速，因此速度$v=\frac{800}{8}=100\,\mathrm{m/min}$。
第二步：确定t=15min时的状态
骑行前1000m用时：$\frac{1000}{100}=10\,\mathrm{min}$，加上修车耽误的5min，可得$t=10+5=15\,\mathrm{min}$时，李明刚修完车，此时离家路程$y=1000\,\mathrm{m}$。
第三步：推导15＜t≤23时的函数表达式
该时间段内，李明的骑行时间为$(t-15)\,\mathrm{min}$，新增骑行路程为$100(t-15)\,\mathrm{m}$，因此总路程：
$y=1000 + 100(t-15)$
化简得：$y=100t - 500\,(15＜t≤23)$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用；匀速行程问题；分段函数
【点评】
本题是一次函数在实际行程问题中的应用，解题核心是准确判断对应时间段的行程状态，找准起始点的时间和路程，结合行程的数量关系推导解析式，注意排除静止修车阶段的干扰即可。
【难度系数】
0.7
★8. 用m根相同长度的火柴可以拼成如图1的x个正方形，还可以拼成如图2的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y得
$y=\frac{3x-1}{5}$
。答案
8.$y=\frac{3x-1}{5}$
解析
【分析】
要得到y关于x的代数式，首先需要分别推导两种拼正方形的方式中，火柴总根数与x、火柴总根数与y的关系式。先观察图1的拼接规律，得出拼x个正方形所需火柴数的表达式；再观察图2的拼接规律，得出拼2y个正方形所需火柴数的表达式；由于两种拼法用的火柴总根数m相等，联立两个表达式，通过等式变形即可得到用x表示y的式子。
【解析】
1. 推导图1的火柴总数：
拼1个正方形需要4根火柴，每多拼1个正方形，会和前一个正方形共用1根边，因此仅需额外增加3根火柴。
拼x个正方形时，所需火柴总数为：$ m = 3x + 1 $。
2. 推导图2的火柴总数：
拼2个正方形（1列2层）需要7根火柴，每多拼1列（即每层多1个正方形，y增加1），仅需额外增加5根火柴。
拼2y个正方形时，所需火柴总数为：$ m = 5y + 2 $。
3. 联立等式变形：
因为两种拼法的火柴总根数m相等，所以：
$ 3x + 1 = 5y + 2 $
移项得：$ 5y = 3x - 1 $
系数化为1得：$ y = \frac{3x - 1}{5} $
【答案】
$ y=\frac{3x-1}{5} $
【知识点】
图形规律探究，等式的性质，代数式表示
【点评】
本题属于规律探究类典型题型，需要学生通过观察图形变化归纳出火柴数量的变化规律，再结合等量关系进行代数式变形，能有效考查学生的观察归纳能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.6
要得到y关于x的代数式，首先需要分别推导两种拼正方形的方式中，火柴总根数与x、火柴总根数与y的关系式。先观察图1的拼接规律，得出拼x个正方形所需火柴数的表达式；再观察图2的拼接规律，得出拼2y个正方形所需火柴数的表达式；由于两种拼法用的火柴总根数m相等，联立两个表达式，通过等式变形即可得到用x表示y的式子。
【解析】
1. 推导图1的火柴总数：
拼1个正方形需要4根火柴，每多拼1个正方形，会和前一个正方形共用1根边，因此仅需额外增加3根火柴。
拼x个正方形时，所需火柴总数为：$ m = 3x + 1 $。
2. 推导图2的火柴总数：
拼2个正方形（1列2层）需要7根火柴，每多拼1列（即每层多1个正方形，y增加1），仅需额外增加5根火柴。
拼2y个正方形时，所需火柴总数为：$ m = 5y + 2 $。
3. 联立等式变形：
因为两种拼法的火柴总根数m相等，所以：
$ 3x + 1 = 5y + 2 $
移项得：$ 5y = 3x - 1 $
系数化为1得：$ y = \frac{3x - 1}{5} $
【答案】
$ y=\frac{3x-1}{5} $
【知识点】
图形规律探究，等式的性质，代数式表示
【点评】
本题属于规律探究类典型题型，需要学生通过观察图形变化归纳出火柴数量的变化规律，再结合等量关系进行代数式变形，能有效考查学生的观察归纳能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.6
9.汽车由A地驶往相距630km的B地，它的平均速度是70km/h.
(1)写出汽车距B地的路程S(km)与行驶时间t(h)的函数表达式，并求出自变量t的取值范围.
(2)当汽车还差210km到达B地时，它行驶了多少小时？
(1)写出汽车距B地的路程S(km)与行驶时间t(h)的函数表达式，并求出自变量t的取值范围.
(2)当汽车还差210km到达B地时，它行驶了多少小时？
答案
9.$S=630-70t(0≤t≤9)$ (2)$S=210km$时,$t=6h$
解析
【分析】
(1) 解题时首先明确等量关系：汽车距B地的路程=A、B两地总路程-汽车已经行驶的路程。已行驶的路程可根据“路程=速度×时间”计算，代入对应数值即可得到S与t的函数表达式。求自变量t的取值范围时要结合实际意义：行驶时间不能为负数，且汽车距B地的路程也不能为负数，据此列不等式求解即可。
(2) 当汽车还差210km到达B地时，即此时S=210，将其代入第一问得到的函数表达式，解关于t的一元一次方程即可求出行驶时间。
【解析】
(1) 已知汽车平均速度为70km/h，行驶t小时的路程为$70t$km，A、B两地相距630km，因此汽车距B地的路程：
$S=630-70t$
根据实际意义，行驶时间$t≥0$，且距B地的路程$S≥0$，即：
$630-70t≥0$
解得$t≤9$
因此自变量t的取值范围为$0≤ t≤9$。
(2) 当汽车还差210km到达B地时，$S=210$，代入函数表达式得：
$210=630-70t$
移项计算：$70t=630-210=420$
解得$t=420÷70=6$
即它行驶了6小时。
【答案】
(1) $S=630-70t(0≤ t≤9)$
(2) 6h
【知识点】
一次函数实际应用，自变量取值范围确定，一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数结合行程问题的基础应用，解题核心是找准路程之间的数量关系，同时需注意函数类实际问题中自变量的取值范围要符合现实情景要求，是对基础知识的综合考察。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时首先明确等量关系：汽车距B地的路程=A、B两地总路程-汽车已经行驶的路程。已行驶的路程可根据“路程=速度×时间”计算，代入对应数值即可得到S与t的函数表达式。求自变量t的取值范围时要结合实际意义：行驶时间不能为负数，且汽车距B地的路程也不能为负数，据此列不等式求解即可。
(2) 当汽车还差210km到达B地时，即此时S=210，将其代入第一问得到的函数表达式，解关于t的一元一次方程即可求出行驶时间。
【解析】
(1) 已知汽车平均速度为70km/h，行驶t小时的路程为$70t$km，A、B两地相距630km，因此汽车距B地的路程：
$S=630-70t$
根据实际意义，行驶时间$t≥0$，且距B地的路程$S≥0$，即：
$630-70t≥0$
解得$t≤9$
因此自变量t的取值范围为$0≤ t≤9$。
(2) 当汽车还差210km到达B地时，$S=210$，代入函数表达式得：
$210=630-70t$
移项计算：$70t=630-210=420$
解得$t=420÷70=6$
即它行驶了6小时。
【答案】
(1) $S=630-70t(0≤ t≤9)$
(2) 6h
【知识点】
一次函数实际应用，自变量取值范围确定，一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数结合行程问题的基础应用，解题核心是找准路程之间的数量关系，同时需注意函数类实际问题中自变量的取值范围要符合现实情景要求，是对基础知识的综合考察。
【难度系数】
0.8
10.某城市规定居民电费的收费标准如下:月用电量不超过50千瓦时,电价为0.53元/千瓦时;月用电量超过50千瓦时,但不超过200千瓦时的部分,电价为0.56元/千瓦时;月用电量超过200千瓦时的部分,电价为0.63元/千瓦时.
(1)设每个月应付电费y元,写出电费y(元)与月用电量x(千瓦时)之间的函数表达式.
(2)分别求$x=45,120,230$时的函数值,并说明它们的实际意义.
(3)若某月的电费是99.3元,则这个月的用电量是多少千瓦时?
(1)设每个月应付电费y元,写出电费y(元)与月用电量x(千瓦时)之间的函数表达式.
(2)分别求$x=45,120,230$时的函数值,并说明它们的实际意义.
(3)若某月的电费是99.3元,则这个月的用电量是多少千瓦时?
答案
10.(1)$y=\begin{cases}0.53x & (x≤50) \\0.56x-1.5 & (50＜x≤200) \\0.63x-15.5 & (x＞200)\end{cases}$
(2)23.85,65.7,129.4 意义略 (3)180 千瓦时
(2)23.85,65.7,129.4 意义略 (3)180 千瓦时
解析
【分析】
本题是阶梯收费类的一次函数应用问题，解题核心是根据收费标准分区间讨论：
1. 解决第(1)问时，按照用电量的三个不同收费区间，分别对应列出电费y和用电量x的函数关系式，注意化简表达式；
2. 解决第(2)问时，先判断每个x值所属的区间，再代入对应区间的函数式计算，函数值的实际意义就是对应用电量所需缴纳的电费；
3. 解决第(3)问时，先计算两个临界用电量（50千瓦时、200千瓦时）对应的电费，判断99.3元所属的收费区间，再代入对应函数式解方程得到用电量，最后验证结果是否在该区间内。
【解析】
(1) 分三种情况讨论：
① 当月用电量$x ≤ 50$千瓦时时，电费按0.53元/千瓦时计算：
$y = 0.53x$
② 当月用电量$50 ＜ x ≤ 200$千瓦时时，前50千瓦时按0.53元/千瓦时收费，超出50千瓦时的部分按0.56元/千瓦时收费：
$y = 0.53 × 50 + 0.56(x - 50) = 26.5 + 0.56x - 28 = 0.56x - 1.5$
③ 当月用电量$x ＞ 200$千瓦时时，前200千瓦时的总电费为$0.56 × 200 - 1.5 = 110.5$元，超出200千瓦时的部分按0.63元/千瓦时收费：
$y = 110.5 + 0.63(x - 200) = 110.5 + 0.63x - 126 = 0.63x - 15.5$
综上可得函数表达式。
(2) 分别代入计算：
① $x=45$满足$x ≤ 50$，代入$y=0.53x$得：$y=0.53 × 45 = 23.85$，实际意义为当月用电量45千瓦时应付电费23.85元；
② $x=120$满足$50 ＜ x ≤ 200$，代入$y=0.56x -1.5$得：$y=0.56 × 120 - 1.5 = 65.7$，实际意义为当月用电量120千瓦时应付电费65.7元；
③ $x=230$满足$x ＞ 200$，代入$y=0.63x -15.5$得：$y=0.63 × 230 - 15.5 = 129.4$，实际意义为当月用电量230千瓦时应付电费129.4元。
(3) 先计算临界电费：当$x=50$时，$y=26.5$元；当$x=200$时，$y=110.5$元。
已知电费99.3元满足$26.5 ＜ 99.3 ＜ 110.5$，说明用电量在$50 ＜ x ≤ 200$区间内，代入对应解析式：
$0.56x - 1.5 = 99.3$
移项得$0.56x = 100.8$，解得$x=180$，符合区间要求。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}0.53x & (x≤50) \\0.56x-1.5 & (50＜x≤200) \\0.63x-15.5 & (x＞200)\end{cases}$
(2)23.85、65.7、129.4，实际意义分别为对应用电量下应付的电费金额
(3)180千瓦时
【知识点】
分段函数，一次函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是生活中常见的阶梯计费类应用题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意先明确自变量的取值区间，再选择对应的解析式计算，避免因代错解析式出错。
【难度系数】
0.7
本题是阶梯收费类的一次函数应用问题，解题核心是根据收费标准分区间讨论：
1. 解决第(1)问时，按照用电量的三个不同收费区间，分别对应列出电费y和用电量x的函数关系式，注意化简表达式；
2. 解决第(2)问时，先判断每个x值所属的区间，再代入对应区间的函数式计算，函数值的实际意义就是对应用电量所需缴纳的电费；
3. 解决第(3)问时，先计算两个临界用电量（50千瓦时、200千瓦时）对应的电费，判断99.3元所属的收费区间，再代入对应函数式解方程得到用电量，最后验证结果是否在该区间内。
【解析】
(1) 分三种情况讨论：
① 当月用电量$x ≤ 50$千瓦时时，电费按0.53元/千瓦时计算：
$y = 0.53x$
② 当月用电量$50 ＜ x ≤ 200$千瓦时时，前50千瓦时按0.53元/千瓦时收费，超出50千瓦时的部分按0.56元/千瓦时收费：
$y = 0.53 × 50 + 0.56(x - 50) = 26.5 + 0.56x - 28 = 0.56x - 1.5$
③ 当月用电量$x ＞ 200$千瓦时时，前200千瓦时的总电费为$0.56 × 200 - 1.5 = 110.5$元，超出200千瓦时的部分按0.63元/千瓦时收费：
$y = 110.5 + 0.63(x - 200) = 110.5 + 0.63x - 126 = 0.63x - 15.5$
综上可得函数表达式。
(2) 分别代入计算：
① $x=45$满足$x ≤ 50$，代入$y=0.53x$得：$y=0.53 × 45 = 23.85$，实际意义为当月用电量45千瓦时应付电费23.85元；
② $x=120$满足$50 ＜ x ≤ 200$，代入$y=0.56x -1.5$得：$y=0.56 × 120 - 1.5 = 65.7$，实际意义为当月用电量120千瓦时应付电费65.7元；
③ $x=230$满足$x ＞ 200$，代入$y=0.63x -15.5$得：$y=0.63 × 230 - 15.5 = 129.4$，实际意义为当月用电量230千瓦时应付电费129.4元。
(3) 先计算临界电费：当$x=50$时，$y=26.5$元；当$x=200$时，$y=110.5$元。
已知电费99.3元满足$26.5 ＜ 99.3 ＜ 110.5$，说明用电量在$50 ＜ x ≤ 200$区间内，代入对应解析式：
$0.56x - 1.5 = 99.3$
移项得$0.56x = 100.8$，解得$x=180$，符合区间要求。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}0.53x & (x≤50) \\0.56x-1.5 & (50＜x≤200) \\0.63x-15.5 & (x＞200)\end{cases}$
(2)23.85、65.7、129.4，实际意义分别为对应用电量下应付的电费金额
(3)180千瓦时
【知识点】
分段函数，一次函数应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是生活中常见的阶梯计费类应用题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意先明确自变量的取值区间，再选择对应的解析式计算，避免因代错解析式出错。
【难度系数】
0.7
