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17. (9分)按要求解答下列各题.
(1)已知$10^m = 12, 10^n = 3$, 求$10^{m-n}$的值；
(2)如果$a+3b=3$, 求$3^a × 27^b$的值；
(3)已知$8× 2^m ÷ 16^m = 2^6$, 求$m$的值.
(1)已知$10^m = 12, 10^n = 3$, 求$10^{m-n}$的值；
(2)如果$a+3b=3$, 求$3^a × 27^b$的值；
(3)已知$8× 2^m ÷ 16^m = 2^6$, 求$m$的值.
答案
解：
(1) 根据同底数幂的除法法则：$10^{m-n}=10^m ÷ 10^n$
将$10^m=12$，$10^n=3$代入得：
$10^{m-n}=12÷3=4$
(2) 变形得$27^b=(3^3)^b=3^{3b}$，因此：
$3^a × 27^b=3^a × 3^{3b}=3^{a+3b}$
把$a+3b=3$代入得：
$3^{a+3b}=3^3=27$
(3) 将等式左边各项转化为以2为底的幂：
$8=2^3$，$16^m=(2^4)^m=2^{4m}$
原式可化为：
$2^3 × 2^m ÷ 2^{4m}=2^6$
化简得：
$2^{3+m-4m}=2^6$，即$2^{3-3m}=2^6$
因此指数相等：$3-3m=6$
解得：$m=-1$
(1) 根据同底数幂的除法法则：$10^{m-n}=10^m ÷ 10^n$
将$10^m=12$，$10^n=3$代入得：
$10^{m-n}=12÷3=4$
(2) 变形得$27^b=(3^3)^b=3^{3b}$，因此：
$3^a × 27^b=3^a × 3^{3b}=3^{a+3b}$
把$a+3b=3$代入得：
$3^{a+3b}=3^3=27$
(3) 将等式左边各项转化为以2为底的幂：
$8=2^3$，$16^m=(2^4)^m=2^{4m}$
原式可化为：
$2^3 × 2^m ÷ 2^{4m}=2^6$
化简得：
$2^{3+m-4m}=2^6$，即$2^{3-3m}=2^6$
因此指数相等：$3-3m=6$
解得：$m=-1$
解析
【分析】
本题三个小问均考查幂的运算相关知识，解题思路如下：
(1) 所求代数式的指数为$m-n$的差的形式，可联想到同底数幂除法法则的逆用$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，直接代入已知的$10^m$和$10^n$的值计算即可。
(2) 所求式中两个幂的底数分别为3和27，先将27转化为$3^3$，利用幂的乘方法则把$27^b$化为$3^{3b}$，再根据同底数幂乘法法则，指数相加得到$3^{a+3b}$，最后将已知的$a+3b=3$整体代入计算。
(3) 等式左右两边的幂的底数可统一为2，先把8转化为$2^3$、$16^m$转化为$2^{4m}$，再根据同底数幂的乘除运算法则化简左侧式子，根据底数相同且不为0、1的两个幂相等时指数也相等的性质，列一元一次方程求解$m$即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂除法法则的逆用可得：$10^{m-n}=10^m ÷ 10^n$
将$10^m=12$，$10^n=3$代入得：
$10^{m-n}=12÷3=4$
(2) 根据幂的乘方法则变形得$27^b=(3^3)^b=3^{3b}$，因此：
$3^a × 27^b=3^a × 3^{3b}=3^{a+3b}$
把$a+3b=3$代入得：
$3^{a+3b}=3^3=27$
(3) 将等式左边各项转化为以2为底的幂：
$8=2^3$，$16^m=(2^4)^m=2^{4m}$
原式可化为：
$2^3 × 2^m ÷ 2^{4m}=2^6$
根据同底数幂乘除运算法则化简得：
$2^{3+m-4m}=2^6$，即$2^{3-3m}=2^6$
因此指数相等：$3-3m=6$
解得：$m=-1$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{27}$；(3) $\boxed{m=-1}$
【知识点】
同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活运用，包括法则逆用、不同底数幂化同底数、整体代入的思想，解题核心是熟练掌握幂的各类运算法则，注意运算过程中指数的加减不要混淆。
【难度系数】
0.75
本题三个小问均考查幂的运算相关知识，解题思路如下：
(1) 所求代数式的指数为$m-n$的差的形式，可联想到同底数幂除法法则的逆用$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，直接代入已知的$10^m$和$10^n$的值计算即可。
(2) 所求式中两个幂的底数分别为3和27，先将27转化为$3^3$，利用幂的乘方法则把$27^b$化为$3^{3b}$，再根据同底数幂乘法法则，指数相加得到$3^{a+3b}$，最后将已知的$a+3b=3$整体代入计算。
(3) 等式左右两边的幂的底数可统一为2，先把8转化为$2^3$、$16^m$转化为$2^{4m}$，再根据同底数幂的乘除运算法则化简左侧式子，根据底数相同且不为0、1的两个幂相等时指数也相等的性质，列一元一次方程求解$m$即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂除法法则的逆用可得：$10^{m-n}=10^m ÷ 10^n$
将$10^m=12$，$10^n=3$代入得：
$10^{m-n}=12÷3=4$
(2) 根据幂的乘方法则变形得$27^b=(3^3)^b=3^{3b}$，因此：
$3^a × 27^b=3^a × 3^{3b}=3^{a+3b}$
把$a+3b=3$代入得：
$3^{a+3b}=3^3=27$
(3) 将等式左边各项转化为以2为底的幂：
$8=2^3$，$16^m=(2^4)^m=2^{4m}$
原式可化为：
$2^3 × 2^m ÷ 2^{4m}=2^6$
根据同底数幂乘除运算法则化简得：
$2^{3+m-4m}=2^6$，即$2^{3-3m}=2^6$
因此指数相等：$3-3m=6$
解得：$m=-1$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{27}$；(3) $\boxed{m=-1}$
【知识点】
同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活运用，包括法则逆用、不同底数幂化同底数、整体代入的思想，解题核心是熟练掌握幂的各类运算法则，注意运算过程中指数的加减不要混淆。
【难度系数】
0.75
18. (9分)说明对于任意正整数n,式子$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值都能被6整除.
答案
解：
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}n(n+5)-(n-3)(n+2)&=n^2 +5n - (n^2 +2n -3n -6)\\&=n^2 +5n -n^2 +n +6\\&=6n +6\\&=6(n+1)\end{aligned}$
∵n是任意正整数，
∴n+1是正整数，
∴6(n+1)是6的倍数，
即对于任意正整数n，式子$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值都能被6整除。
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}n(n+5)-(n-3)(n+2)&=n^2 +5n - (n^2 +2n -3n -6)\\&=n^2 +5n -n^2 +n +6\\&=6n +6\\&=6(n+1)\end{aligned}$
∵n是任意正整数，
∴n+1是正整数，
∴6(n+1)是6的倍数，
即对于任意正整数n，式子$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值都能被6整除。
解析
【分析】
要证明代数式对任意正整数n都能被6整除，核心思路是先化简代数式，判断化简结果是否含有因数6。解题时首先根据整式乘法法则分别计算两个乘法项，再通过去括号、合并同类项得到最简形式，最后验证最简式是6与正整数的乘积即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}n(n+5)-(n-3)(n+2)&=n^2 +5n - (n^2 +2n -3n -6)\\&=n^2 +5n -n^2 +n +6\\&=6n +6\\&=6(n+1)\end{aligned}$
∵n是任意正整数，
∴n+1是正整数，
∴6(n+1)是6的倍数，
即对于任意正整数n，式子$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值都能被6整除。
【答案】
对于任意正整数n，式子$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值都能被6整除。
【知识点】
整式的乘法、整式的化简、整除的判定
【点评】
本题侧重考查整式的混合运算能力，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，准确化简原式即可快速得证，是整式运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要证明代数式对任意正整数n都能被6整除，核心思路是先化简代数式，判断化简结果是否含有因数6。解题时首先根据整式乘法法则分别计算两个乘法项，再通过去括号、合并同类项得到最简形式，最后验证最简式是6与正整数的乘积即可。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}n(n+5)-(n-3)(n+2)&=n^2 +5n - (n^2 +2n -3n -6)\\&=n^2 +5n -n^2 +n +6\\&=6n +6\\&=6(n+1)\end{aligned}$
∵n是任意正整数，
∴n+1是正整数，
∴6(n+1)是6的倍数，
即对于任意正整数n，式子$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值都能被6整除。
【答案】
对于任意正整数n，式子$n(n+5)-(n-3)(n+2)$的值都能被6整除。
【知识点】
整式的乘法、整式的化简、整除的判定
【点评】
本题侧重考查整式的混合运算能力，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，准确化简原式即可快速得证，是整式运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
