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19. (9分)观察下面的等式: $3^2 - 1^2 = 8×1, 5^2 - 3^2 = 8×2, 7^2 - 5^2 = 8×3, 9^2 - 7^2 = 8×4, ···$
(1)写出$19^2 - 17^2$的结果；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的。
(1)写出$19^2 - 17^2$的结果；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的。
答案
解：
(1) $19^2 - 17^2 = 8×9 = 72$。
(2) 一般结论为：对于正整数$n$，有
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$
(3) 推理说明：
对等式左边展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)\\&=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1\\&=8n\end{aligned}$
左边的计算结果与右边相等，因此该结论正确。
(1) $19^2 - 17^2 = 8×9 = 72$。
(2) 一般结论为：对于正整数$n$，有
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$
(3) 推理说明：
对等式左边展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)\\&=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1\\&=8n\end{aligned}$
左边的计算结果与右边相等，因此该结论正确。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解答第(1)问：先观察已知等式的共性：等式左侧是两个连续奇数的平方差，右侧是8乘一个正整数，且该正整数等于左侧较小奇数加1后除以2。已知19和17是连续奇数，较小奇数为17，计算得$(17+1)÷2=9$，即可直接写出结果。
2. 解答第(2)问：将连续奇数用含n的代数式表示，第n组的两个连续奇数中，较大的为$2n+1$，较小的为$2n-1$，结合已知等式的规律即可写出通用结论。
3. 解答第(3)问：利用完全平方公式把等式左侧的两个平方项展开，合并同类项后化简，对比化简结果和右侧是否相等，即可验证结论的正确性。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律可得：$19^2 - 17^2 = 8×9 = 72$。
(2) 设n为正整数，两个连续奇数可表示为$2n+1$和$2n-1$，归纳得一般结论：$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$（n为正整数）。
(3) 对等式左侧展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)\\&=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1\\&=8n\end{aligned}$
左侧化简结果与右侧相等，因此该结论正确。
【答案】
(1) $\boxed{72}$
(2) $\boxed{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（n为正整数）
(3) 推理验证如上，结论成立
【知识点】
规律探究、完全平方公式、整式运算
【点评】
本题是规律探究类典型考题，考查从特殊示例归纳一般结论的能力，以及整式乘法公式的应用能力，解题的核心是准确用代数式表示连续奇数，熟练掌握整式化简方法。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 解答第(1)问：先观察已知等式的共性：等式左侧是两个连续奇数的平方差，右侧是8乘一个正整数，且该正整数等于左侧较小奇数加1后除以2。已知19和17是连续奇数，较小奇数为17，计算得$(17+1)÷2=9$，即可直接写出结果。
2. 解答第(2)问：将连续奇数用含n的代数式表示，第n组的两个连续奇数中，较大的为$2n+1$，较小的为$2n-1$，结合已知等式的规律即可写出通用结论。
3. 解答第(3)问：利用完全平方公式把等式左侧的两个平方项展开，合并同类项后化简，对比化简结果和右侧是否相等，即可验证结论的正确性。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律可得：$19^2 - 17^2 = 8×9 = 72$。
(2) 设n为正整数，两个连续奇数可表示为$2n+1$和$2n-1$，归纳得一般结论：$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$（n为正整数）。
(3) 对等式左侧展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)\\&=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1\\&=8n\end{aligned}$
左侧化简结果与右侧相等，因此该结论正确。
【答案】
(1) $\boxed{72}$
(2) $\boxed{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（n为正整数）
(3) 推理验证如上，结论成立
【知识点】
规律探究、完全平方公式、整式运算
【点评】
本题是规律探究类典型考题，考查从特殊示例归纳一般结论的能力，以及整式乘法公式的应用能力，解题的核心是准确用代数式表示连续奇数，熟练掌握整式化简方法。
【难度系数】
0.8
20. (9分)用等号或不等号填空,探究规律并解决问题:
(1)比较$a^2+b^2$与$2ab$的大小:
①当$a=3,b=3$时,$a^2+b^2$$2ab$;
②当$a=2,b=\frac{1}{2}$时,$a^2+b^2\_\_\_\_\_\_2ab$;
③当$a=-2,b=3$时,$a^2+b^2$$2ab$.
(2)通过上面的填空,猜想$a^2+b^2$与$2ab$的大小关系,并证明你的猜想.
(3)如图
,直线$l$上从左至右任取$A、B、G$三点,以$AB、BG$为边,在线段$AG$的两侧分别作正方形$ABCD、BEFG$,连接$CG$,设两个正方形的面积分别为$S_1、S_2$,若$△ BCG$的面积为1,求$S_1+S_2$的最小值.
(1)比较$a^2+b^2$与$2ab$的大小:
①当$a=3,b=3$时,$a^2+b^2$$2ab$;
②当$a=2,b=\frac{1}{2}$时,$a^2+b^2\_\_\_\_\_\_2ab$;
③当$a=-2,b=3$时,$a^2+b^2$$2ab$.
(2)通过上面的填空,猜想$a^2+b^2$与$2ab$的大小关系,并证明你的猜想.
(3)如图
,直线$l$上从左至右任取$A、B、G$三点,以$AB、BG$为边,在线段$AG$的两侧分别作正方形$ABCD、BEFG$,连接$CG$,设两个正方形的面积分别为$S_1、S_2$,若$△ BCG$的面积为1,求$S_1+S_2$的最小值.答案
解：
(1) ① $=$；② $＞$；③ $＞$
(2) 猜想：$a^2 + b^2 \ge 2ab$，当且仅当$a=b$时等号成立。
证明：$\because a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$，
又$\because$ 对任意实数$a,b$，都有$(a-b)^2 \ge 0$，
$\therefore a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$，
即 $a^2 + b^2 \ge 2ab$。
(3) 由题意得，$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore BC ⊥$直线$l$，$BC=a$，
$\therefore S_{△ BCG} = \frac{1}{2} · BC · BG = \frac{1}{2}ab$，
已知$S_{△ BCG}=1$，$\therefore \frac{1}{2}ab = 1$，即$ab=2$。
由(2)的结论可知$a^2 + b^2 \ge 2ab$，
将$ab=2$代入得$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 \ge 2ab = 4$，
当且仅当$a=b$时等号成立，此时$a=b=\sqrt{2}$，符合题意。
$\therefore S_1+S_2$的最小值为4。
(1) ① $=$；② $＞$；③ $＞$
(2) 猜想：$a^2 + b^2 \ge 2ab$，当且仅当$a=b$时等号成立。
证明：$\because a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$，
又$\because$ 对任意实数$a,b$，都有$(a-b)^2 \ge 0$，
$\therefore a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$，
即 $a^2 + b^2 \ge 2ab$。
(3) 由题意得，$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore BC ⊥$直线$l$，$BC=a$，
$\therefore S_{△ BCG} = \frac{1}{2} · BC · BG = \frac{1}{2}ab$，
已知$S_{△ BCG}=1$，$\therefore \frac{1}{2}ab = 1$，即$ab=2$。
由(2)的结论可知$a^2 + b^2 \ge 2ab$，
将$ab=2$代入得$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 \ge 2ab = 4$，
当且仅当$a=b$时等号成立，此时$a=b=\sqrt{2}$，符合题意。
$\therefore S_1+S_2$的最小值为4。
解析
【分析】
(1) 本小问可直接将给定的a、b数值分别代入$a^2+b^2$和$2ab$计算出结果，再比较大小即可。
(2) 比较两个代数式的大小常用作差法，将两个式子作差后，可整理为完全平方的形式，结合平方数的非负性即可证明猜想的结论。
(3) 首先根据正方形面积公式将$S_1$、$S_2$用a、b表示，再结合直角三角形面积公式求出ab的值，最后直接应用第(2)问得到的$a^2+b^2\ge 2ab$的结论，代入ab的值即可求出$S_1+S_2$的最小值。
【解析】
(1) ①当$a=3,b=3$时，$a^2+b^2=3^2+3^2=18$，$2ab=2×3×3=18$，故$a^2+b^2=2ab$；
②当$a=2,b=\frac{1}{2}$时，$a^2+b^2=2^2+(\frac{1}{2})^2=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$，$2ab=2×2×\frac{1}{2}=2=\frac{8}{4}$，故$a^2+b^2＞2ab$；
③当$a=-2,b=3$时，$a^2+b^2=(-2)^2+3^2=4+9=13$，$2ab=2×(-2)×3=-12$，故$a^2+b^2＞2ab$。
(2) 猜想：$a^2 + b^2 \ge 2ab$，当且仅当$a=b$时等号成立。
证明：将两个式子作差可得$a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$，
∵ 对任意实数$a,b$，平方数具有非负性，即$(a-b)^2 \ge 0$，
∴ $a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$，
移项可得$a^2 + b^2 \ge 2ab$，当且仅当$a=b$时$(a-b)^2=0$，此时等号成立。
(3) 由题意可知，正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$BEFG$的边长为$b$，因此$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $BC ⊥$直线$l$，即$△ BCG$是直角三角形，直角边$BC=a$，$BG=b$，
∴ $S_{△ BCG} = \frac{1}{2} · BC · BG = \frac{1}{2}ab$，
已知$S_{△ BCG}=1$，因此$\frac{1}{2}ab = 1$，解得$ab=2$。
结合(2)的结论$a^2 + b^2 \ge 2ab$，将$ab=2$代入可得：
$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 \ge 2ab = 2×2=4$，当且仅当$a=b=\sqrt{2}$时等号成立，符合题意。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{=}$；②$\boldsymbol{＞}$；③$\boldsymbol{＞}$
(2) $\boldsymbol{a^2 + b^2 \ge 2ab}$（当且仅当$a=b$时等号成立），证明见解析
(3) $S_1+S_2$的最小值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式的非负性；不等式求最值
【点评】
本题从特殊值代入探究规律入手，再到规律的证明，最后延伸到几何最值的应用，层层递进，既考查了代数运算、不等式证明的能力，又结合了几何图形面积的计算，能够有效检验知识的迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本小问可直接将给定的a、b数值分别代入$a^2+b^2$和$2ab$计算出结果，再比较大小即可。
(2) 比较两个代数式的大小常用作差法，将两个式子作差后，可整理为完全平方的形式，结合平方数的非负性即可证明猜想的结论。
(3) 首先根据正方形面积公式将$S_1$、$S_2$用a、b表示，再结合直角三角形面积公式求出ab的值，最后直接应用第(2)问得到的$a^2+b^2\ge 2ab$的结论，代入ab的值即可求出$S_1+S_2$的最小值。
【解析】
(1) ①当$a=3,b=3$时，$a^2+b^2=3^2+3^2=18$，$2ab=2×3×3=18$，故$a^2+b^2=2ab$；
②当$a=2,b=\frac{1}{2}$时，$a^2+b^2=2^2+(\frac{1}{2})^2=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$，$2ab=2×2×\frac{1}{2}=2=\frac{8}{4}$，故$a^2+b^2＞2ab$；
③当$a=-2,b=3$时，$a^2+b^2=(-2)^2+3^2=4+9=13$，$2ab=2×(-2)×3=-12$，故$a^2+b^2＞2ab$。
(2) 猜想：$a^2 + b^2 \ge 2ab$，当且仅当$a=b$时等号成立。
证明：将两个式子作差可得$a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$，
∵ 对任意实数$a,b$，平方数具有非负性，即$(a-b)^2 \ge 0$，
∴ $a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$，
移项可得$a^2 + b^2 \ge 2ab$，当且仅当$a=b$时$(a-b)^2=0$，此时等号成立。
(3) 由题意可知，正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$BEFG$的边长为$b$，因此$S_1 = a^2$，$S_2 = b^2$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $BC ⊥$直线$l$，即$△ BCG$是直角三角形，直角边$BC=a$，$BG=b$，
∴ $S_{△ BCG} = \frac{1}{2} · BC · BG = \frac{1}{2}ab$，
已知$S_{△ BCG}=1$，因此$\frac{1}{2}ab = 1$，解得$ab=2$。
结合(2)的结论$a^2 + b^2 \ge 2ab$，将$ab=2$代入可得：
$S_1 + S_2 = a^2 + b^2 \ge 2ab = 2×2=4$，当且仅当$a=b=\sqrt{2}$时等号成立，符合题意。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{=}$；②$\boldsymbol{＞}$；③$\boldsymbol{＞}$
(2) $\boldsymbol{a^2 + b^2 \ge 2ab}$（当且仅当$a=b$时等号成立），证明见解析
(3) $S_1+S_2$的最小值为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式的非负性；不等式求最值
【点评】
本题从特殊值代入探究规律入手，再到规律的证明，最后延伸到几何最值的应用，层层递进，既考查了代数运算、不等式证明的能力，又结合了几何图形面积的计算，能够有效检验知识的迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
