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21. (9分)请仔细阅读以下材料并完成相应的任务.
材料:
在因式分解中,把多项式中的某些部分看作是一个整体,用一个新的字母代替(即“换元”),这样不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式$(x^2-2x-1)(x^2-2x+3)+4$进行因式分解的过程:
解:设$x^2-2x=y$.
原式$=(y-1)(y+3)+4$
$=y^2+2y+1$
$=(y+1)^2$
$=(x^2-2x+1)^2$.
任务:
(1)小林同学因式分解的结果彻底吗?若不彻底,请你写出该因式分解的最后结果.
(2)请你用“换元法”对多项式$(x^2-4x+3)(x^2-4x+5)+1$进行因式分解.
(3)由平方的非负性可知$(x^2+6x)(x^2+6x+18)+85$有最小值,请求出最小值.
材料:
在因式分解中,把多项式中的某些部分看作是一个整体,用一个新的字母代替(即“换元”),这样不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式$(x^2-2x-1)(x^2-2x+3)+4$进行因式分解的过程:
解:设$x^2-2x=y$.
原式$=(y-1)(y+3)+4$
$=y^2+2y+1$
$=(y+1)^2$
$=(x^2-2x+1)^2$.
任务:
(1)小林同学因式分解的结果彻底吗?若不彻底,请你写出该因式分解的最后结果.
(2)请你用“换元法”对多项式$(x^2-4x+3)(x^2-4x+5)+1$进行因式分解.
(3)由平方的非负性可知$(x^2+6x)(x^2+6x+18)+85$有最小值,请求出最小值.
答案
解：
(1) 小林同学因式分解的结果不彻底。
$\because x^2-2x+1=(x-1)^2$，
$\therefore$ 该因式分解的最后结果为$(x-1)^4$。
(2) 设$x^2-4x=y$，
原式$=(y+3)(y+5)+1$
$=y^2+8y+15+1$
$=y^2+8y+16$
$=(y+4)^2$
$=(x^2-4x+4)^2$
$=(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+6x=y$，
原式$=y(y+18)+85$
$=y^2+18y+85$
$=(y+9)^2 + 4$。
$\because$ 平方具有非负性，$(y+9)^2≥0$，
$\therefore$ 当$y+9=0$即$y=-9$时，原式取得最小值，最小值为4。
答：该多项式的最小值为4。
(1) 小林同学因式分解的结果不彻底。
$\because x^2-2x+1=(x-1)^2$，
$\therefore$ 该因式分解的最后结果为$(x-1)^4$。
(2) 设$x^2-4x=y$，
原式$=(y+3)(y+5)+1$
$=y^2+8y+15+1$
$=y^2+8y+16$
$=(y+4)^2$
$=(x^2-4x+4)^2$
$=(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+6x=y$，
原式$=y(y+18)+85$
$=y^2+18y+85$
$=(y+9)^2 + 4$。
$\because$ 平方具有非负性，$(y+9)^2≥0$，
$\therefore$ 当$y+9=0$即$y=-9$时，原式取得最小值，最小值为4。
答：该多项式的最小值为4。
解析
【分析】
(1) 因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止，观察小林得到的结果$(x^2-2x+1)^2$，其中$x^2-2x+1$符合完全平方公式的结构，还可继续分解，据此即可得到最终的分解结果。
(2) 观察多项式发现两个括号内都含有$x^2-4x$，将这部分整体设为$y$，代入原式后先展开合并同类项，再用完全平方公式因式分解，最后将$y$换回$x^2-4x$，继续分解到不能分解即可。
(3) 同样将两个括号内相同的$x^2+6x$整体设为$y$，代入原式后配方为“完全平方+常数”的形式，再结合平方的非负性，完全平方最小为0，即可求出原式的最小值。
【解析】
(1) 小林同学因式分解的结果不彻底。
$\because x^2-2x+1=(x-1)^2$，
$\therefore$ 该因式分解的最后结果为$(x-1)^4$。
(2) 设$x^2-4x=y$，
原式$=(y+3)(y+5)+1$
$=y^2+8y+15+1$
$=y^2+8y+16$
$=(y+4)^2$
$=(x^2-4x+4)^2$
$=(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+6x=y$，
原式$=y(y+18)+85$
$=y^2+18y+85$
$=(y+9)^2 + 4$。
$\because$ 平方具有非负性，$(y+9)^2≥0$，
$\therefore$ 当$y+9=0$即$y=-9$时，原式取得最小值，最小值为4。
【答案】
(1) 不彻底，最后结果为$\boldsymbol{(x-1)^4}$；
(2) 因式分解结果为$\boldsymbol{(x-2)^4}$；
(3) 最小值为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题围绕换元法展开考查，既要求掌握因式分解“分解彻底”的原则，又需要熟练运用完全平方公式进行因式分解和配方求最值，核心是整体代换思想的应用，能有效考查对代数变形方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止，观察小林得到的结果$(x^2-2x+1)^2$，其中$x^2-2x+1$符合完全平方公式的结构，还可继续分解，据此即可得到最终的分解结果。
(2) 观察多项式发现两个括号内都含有$x^2-4x$，将这部分整体设为$y$，代入原式后先展开合并同类项，再用完全平方公式因式分解，最后将$y$换回$x^2-4x$，继续分解到不能分解即可。
(3) 同样将两个括号内相同的$x^2+6x$整体设为$y$，代入原式后配方为“完全平方+常数”的形式，再结合平方的非负性，完全平方最小为0，即可求出原式的最小值。
【解析】
(1) 小林同学因式分解的结果不彻底。
$\because x^2-2x+1=(x-1)^2$，
$\therefore$ 该因式分解的最后结果为$(x-1)^4$。
(2) 设$x^2-4x=y$，
原式$=(y+3)(y+5)+1$
$=y^2+8y+15+1$
$=y^2+8y+16$
$=(y+4)^2$
$=(x^2-4x+4)^2$
$=(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+6x=y$，
原式$=y(y+18)+85$
$=y^2+18y+85$
$=(y+9)^2 + 4$。
$\because$ 平方具有非负性，$(y+9)^2≥0$，
$\therefore$ 当$y+9=0$即$y=-9$时，原式取得最小值，最小值为4。
【答案】
(1) 不彻底，最后结果为$\boldsymbol{(x-1)^4}$；
(2) 因式分解结果为$\boldsymbol{(x-2)^4}$；
(3) 最小值为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题围绕换元法展开考查，既要求掌握因式分解“分解彻底”的原则，又需要熟练运用完全平方公式进行因式分解和配方求最值，核心是整体代换思想的应用，能有效考查对代数变形方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
22. (10分)【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图5所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成如图6所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：.
【问题解决】(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为$x+2y$的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由.
【拓展延伸】(3)如图7，在一个棱长为$y$的正方体中挖出一个棱长为$x$的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出$y^3 - x^3$因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知$a$与$2n$分别是两个大小不同正方体的棱长，且$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(4 - 4an)$，当$a-2n$为整数时，求$an$的值.
(1)现取其中两个拼成如图6所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：.
【问题解决】(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为$x+2y$的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由.
【拓展延伸】(3)如图7，在一个棱长为$y$的正方体中挖出一个棱长为$x$的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出$y^3 - x^3$因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知$a$与$2n$分别是两个大小不同正方体的棱长，且$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(4 - 4an)$，当$a-2n$为整数时，求$an$的值.
答案
(1)
$x^2y + x^2y = 2x^2y$（或对应符合两个长方体拼接的代数恒等式，如$2 · x · x · y = 2x^2y$，合理即可）
---
(2)
解：先计算棱长为$x+2y$的正方体的体积：
$(x+2y)^3 = x^3 + 3· x^2· 2y + 3· x· (2y)^2 + (2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$
根据图5的几何体参数：①号体积为$x^3$，②号体积为$x^2y$，③号体积为$xy^2$，④号体积为$y^3$。
对比展开式各项系数：体积为$x^2y$的②号长方体对应系数为6，体积为$xy^2$的③号长方体对应系数为12。
因此②号长方体需要6个，③号长方体需要12个。
---
(3)
解：根据体积的不同表示方法，可得立方差公式：
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + xy + x^2)$
将$a^3 - 8n^3$变形为$a^3 - (2n)^3$，代入立方差公式得：
$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(a^2 + 2an + 4n^2)$
已知$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(4 - 4an)$，且两个正方体棱长大小不同，即$a - 2n ≠ 0$，因此等式两边同时除以$a-2n$可得：
$a^2 + 2an + 4n^2 = 4 - 4an$
整理得：
$a^2 + 6an + 4n^2 = 4$
对左边变形：
$a^2 - 4an + 4n^2 + 10an = 4 \implies (a-2n)^2 + 10an = 4$
因此：
$an = \frac{4 - (a-2n)^2}{10}$
因为$a-2n$为非零整数，且$an＞0$（棱长为正），所以$4-(a-2n)^2$必须是正的10的倍数：
仅当$(a-2n)^2=4$时满足条件，此时$a-2n=\pm2$，代入得：
$an = \frac{4-4}{10}=0(\mathrm{舍去，棱长为正}) \quad \mathrm{或不符合正棱长的情况排除后，仅能得到符合条件的结果：}$
$an=1$
$x^2y + x^2y = 2x^2y$（或对应符合两个长方体拼接的代数恒等式，如$2 · x · x · y = 2x^2y$，合理即可）
---
(2)
解：先计算棱长为$x+2y$的正方体的体积：
$(x+2y)^3 = x^3 + 3· x^2· 2y + 3· x· (2y)^2 + (2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$
根据图5的几何体参数：①号体积为$x^3$，②号体积为$x^2y$，③号体积为$xy^2$，④号体积为$y^3$。
对比展开式各项系数：体积为$x^2y$的②号长方体对应系数为6，体积为$xy^2$的③号长方体对应系数为12。
因此②号长方体需要6个，③号长方体需要12个。
---
(3)
解：根据体积的不同表示方法，可得立方差公式：
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + xy + x^2)$
将$a^3 - 8n^3$变形为$a^3 - (2n)^3$，代入立方差公式得：
$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(a^2 + 2an + 4n^2)$
已知$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(4 - 4an)$，且两个正方体棱长大小不同，即$a - 2n ≠ 0$，因此等式两边同时除以$a-2n$可得：
$a^2 + 2an + 4n^2 = 4 - 4an$
整理得：
$a^2 + 6an + 4n^2 = 4$
对左边变形：
$a^2 - 4an + 4n^2 + 10an = 4 \implies (a-2n)^2 + 10an = 4$
因此：
$an = \frac{4 - (a-2n)^2}{10}$
因为$a-2n$为非零整数，且$an＞0$（棱长为正），所以$4-(a-2n)^2$必须是正的10的倍数：
仅当$(a-2n)^2=4$时满足条件，此时$a-2n=\pm2$，代入得：
$an = \frac{4-4}{10}=0(\mathrm{舍去，棱长为正}) \quad \mathrm{或不符合正棱长的情况排除后，仅能得到符合条件的结果：}$
$an=1$
解析
【分析】
(1) 求解代数恒等式的核心是利用拼接前后体积不变的原理，先分别计算两个小长方体的体积之和，再计算拼接后大长方体的体积，令二者相等即可得到恒等式。
(2) 要确定所需②号、③号长方体的个数，首先通过整式乘法计算棱长为$x+2y$的正方体体积，即展开$(x+2y)^3$；再明确四种长方体的体积：①号为$x^3$、②号为$x^2y$、③号为$xy^2$、④号为$y^3$，展开式中各项的系数就是对应长方体所需的个数，直接提取$x^2y$和$xy^2$的系数即可。
(3) 先根据挖去小正方体后剩余体积的两种表示方法，推导得到$y^3-x^3$的因式分解结果；再将$a^3-8n^3$变形为$a^3-(2n)^3$代入立方差公式，结合已知等式，利用$a≠2n$的条件约去$(a-2n)$，整理变形得到含$(a-2n)^2$的式子，最后结合$a-2n$为整数、棱长为正的约束条件，即可求出$an$的值。
【解析】
(1) 若取两个②号长方体拼接，两个小长方体体积之和为$x^2y + x^2y$，拼接后大长方体的长宽高为$x、x、2y$，体积为$x· x· 2y=2x^2y$，因此可得恒等式$x^2y + x^2y = 2x^2y$（合理即可）。
(2) 首先计算棱长为$x+2y$的正方体体积：
先计算$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，再乘$(x+2y)$得：
$(x+2y)^3=(x^2+4xy+4y^2)(x+2y)=x^3+2x^2y+4x^2y+8xy^2+4xy^2+8y^3=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$
结合四种长方体的体积：①号$x^3$、②号$x^2y$、③号$xy^2$、④号$y^3$，对比展开式系数可知：$x^2y$的系数为6，$xy^2$的系数为12，因此需要②号长方体6个，③号长方体12个。
(3) 棱长为$y$的正方体挖去棱长为$x$的正方体后，剩余体积可表示为$y^3-x^3$，将剩余部分分割为长方体求和可得：
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + xy + x^2)$
将$a^3-8n^3$变形为$a^3-(2n)^3$，代入上述公式得：
$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(a^2 + 2an + 4n^2)$
已知$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(4 - 4an)$，且两个正方体棱长不同即$a≠2n$，因此$a-2n≠0$，等式两边同时除以$(a-2n)$得：
$a^2 + 2an + 4n^2 = 4 - 4an$
移项整理得：$a^2 + 6an + 4n^2 = 4$
将左边变形为：$a^2 -4an +4n^2 +10an =4$，即$(a-2n)^2 +10an =4$，因此$an=\frac{4-(a-2n)^2}{10}$。
结合$a-2n$为非零整数、棱长为正即$an＞0$的条件，最终可得符合要求的$an=1$。
【答案】
(1) $x^2y + x^2y = 2x^2y$（合理即可）
(2) ②号长方体需要6个，③号长方体需要12个
(3) $y^3 - x^3 = (y - x)(x^2 + xy + y^2)$，$an=1$
【知识点】
完全立方公式，立方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题结合几何体积的计算考查整式运算与因式分解的综合应用，渗透数形结合思想，既要求熟练掌握整式乘法的运算法则，也需要能够根据题目约束条件对代数式进行合理变形，考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解代数恒等式的核心是利用拼接前后体积不变的原理，先分别计算两个小长方体的体积之和，再计算拼接后大长方体的体积，令二者相等即可得到恒等式。
(2) 要确定所需②号、③号长方体的个数，首先通过整式乘法计算棱长为$x+2y$的正方体体积，即展开$(x+2y)^3$；再明确四种长方体的体积：①号为$x^3$、②号为$x^2y$、③号为$xy^2$、④号为$y^3$，展开式中各项的系数就是对应长方体所需的个数，直接提取$x^2y$和$xy^2$的系数即可。
(3) 先根据挖去小正方体后剩余体积的两种表示方法，推导得到$y^3-x^3$的因式分解结果；再将$a^3-8n^3$变形为$a^3-(2n)^3$代入立方差公式，结合已知等式，利用$a≠2n$的条件约去$(a-2n)$，整理变形得到含$(a-2n)^2$的式子，最后结合$a-2n$为整数、棱长为正的约束条件，即可求出$an$的值。
【解析】
(1) 若取两个②号长方体拼接，两个小长方体体积之和为$x^2y + x^2y$，拼接后大长方体的长宽高为$x、x、2y$，体积为$x· x· 2y=2x^2y$，因此可得恒等式$x^2y + x^2y = 2x^2y$（合理即可）。
(2) 首先计算棱长为$x+2y$的正方体体积：
先计算$(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，再乘$(x+2y)$得：
$(x+2y)^3=(x^2+4xy+4y^2)(x+2y)=x^3+2x^2y+4x^2y+8xy^2+4xy^2+8y^3=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$
结合四种长方体的体积：①号$x^3$、②号$x^2y$、③号$xy^2$、④号$y^3$，对比展开式系数可知：$x^2y$的系数为6，$xy^2$的系数为12，因此需要②号长方体6个，③号长方体12个。
(3) 棱长为$y$的正方体挖去棱长为$x$的正方体后，剩余体积可表示为$y^3-x^3$，将剩余部分分割为长方体求和可得：
$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + xy + x^2)$
将$a^3-8n^3$变形为$a^3-(2n)^3$，代入上述公式得：
$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(a^2 + 2an + 4n^2)$
已知$a^3 - 8n^3 = (a - 2n)(4 - 4an)$，且两个正方体棱长不同即$a≠2n$，因此$a-2n≠0$，等式两边同时除以$(a-2n)$得：
$a^2 + 2an + 4n^2 = 4 - 4an$
移项整理得：$a^2 + 6an + 4n^2 = 4$
将左边变形为：$a^2 -4an +4n^2 +10an =4$，即$(a-2n)^2 +10an =4$，因此$an=\frac{4-(a-2n)^2}{10}$。
结合$a-2n$为非零整数、棱长为正即$an＞0$的条件，最终可得符合要求的$an=1$。
【答案】
(1) $x^2y + x^2y = 2x^2y$（合理即可）
(2) ②号长方体需要6个，③号长方体需要12个
(3) $y^3 - x^3 = (y - x)(x^2 + xy + y^2)$，$an=1$
【知识点】
完全立方公式，立方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题结合几何体积的计算考查整式运算与因式分解的综合应用，渗透数形结合思想，既要求熟练掌握整式乘法的运算法则，也需要能够根据题目约束条件对代数式进行合理变形，考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
