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23. (10分)阅读与思考:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法.
例如:$x^2 -6x +10=(x^2 -6x +9)+10-9=(x-3)^2 +1.$
(1)【解决问题】补全下列完全平方式:
①$x^2 -2x+$;
②$+4y+1.$
(2)【变式训练】试说明:无论$x$取何值,代数式$x^2 -12x +37$都是正数.
(3)【深入研究】若$M=2x^2 +4x +5 +y^2,N=x^2 +6x +4$,比较$M、N$的大小.
例如:$x^2 -6x +10=(x^2 -6x +9)+10-9=(x-3)^2 +1.$
(1)【解决问题】补全下列完全平方式:
①$x^2 -2x+$;
②$+4y+1.$
(2)【变式训练】试说明:无论$x$取何值,代数式$x^2 -12x +37$都是正数.
(3)【深入研究】若$M=2x^2 +4x +5 +y^2,N=x^2 +6x +4$,比较$M、N$的大小.
答案
解：
(1) ① $\because x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，
$\therefore$ 横线处填$\boldsymbol{1=(x-1)^2}$；
② $\because 4y^2 + 4y + 1 = (2y+1)^2$，
$\therefore$ 横线处填$\boldsymbol{4y^2}$。
(2) 对代数式配方：
$x^2 -12x +37 = x^2 -12x + 36 + 37 - 36 = (x-6)^2 +1$
$\because$ 无论$x$取何值，$(x-6)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x-6)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$，
即无论$x$取何值，代数式$x^2 -12x +37$都是正数。
(3) 用作差法比较$M$、$N$的大小：
$\begin{aligned}M - N &= (2x^2 +4x +5 + y^2) - (x^2 +6x +4) \\&= 2x^2 +4x +5 + y^2 -x^2 -6x -4 \\&= x^2 -2x + y^2 +1 \\&= (x^2 -2x +1) + y^2 \\&= (x-1)^2 + y^2\end{aligned}$
$\because (x-1)^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$，
$\therefore M - N ≥ 0$，即$\boldsymbol{M ≥ N}$。
(1) ① $\because x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，
$\therefore$ 横线处填$\boldsymbol{1=(x-1)^2}$；
② $\because 4y^2 + 4y + 1 = (2y+1)^2$，
$\therefore$ 横线处填$\boldsymbol{4y^2}$。
(2) 对代数式配方：
$x^2 -12x +37 = x^2 -12x + 36 + 37 - 36 = (x-6)^2 +1$
$\because$ 无论$x$取何值，$(x-6)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x-6)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$，
即无论$x$取何值，代数式$x^2 -12x +37$都是正数。
(3) 用作差法比较$M$、$N$的大小：
$\begin{aligned}M - N &= (2x^2 +4x +5 + y^2) - (x^2 +6x +4) \\&= 2x^2 +4x +5 + y^2 -x^2 -6x -4 \\&= x^2 -2x + y^2 +1 \\&= (x^2 -2x +1) + y^2 \\&= (x-1)^2 + y^2\end{aligned}$
$\because (x-1)^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$，
$\therefore M - N ≥ 0$，即$\boldsymbol{M ≥ N}$。
解析
【分析】
（1）补全完全平方式需紧扣完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的结构特征：①已知二次项$x^2$和一次项$-2x$，对应公式中$a=x$，$2ab=2x$，可推得$b=1$，因此缺失的常数项为$b^2=1$；②已知一次项$4y$和常数项1，对应公式中$2ab=4y$，$b=1$，可推得$a=2y$，因此缺失的二次项为$a^2=(2y)^2=4y^2$。
（2）要证明代数式无论$x$取何值均为正数，只需将代数式配方为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方式的非负性即可证明：先对二次项和一次项配常数项（一次项系数一半的平方），再调整常数项保证式子的值不变，最后判断配方后式子的取值范围即可。
（3）比较两个代数式大小常用作差法：若$M-N≥0$则$M≥N$，若$M-N≤0$则$M≤N$。先对$M-N$去括号、合并同类项，再对所得式子配方，利用平方的非负性判断差的符号，即可得到$M$和$N$的大小关系。
【解析】
(1) ①根据完全平方公式：$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，因此横线处填1；
②根据完全平方公式：$4y^2 + 4y + 1 = (2y+1)^2$，因此横线处填$4y^2$。
(2) 对代数式$x^2 -12x +37$配方：
$x^2 -12x +37 = (x^2 -12x + 36) + 37 - 36 = (x-6)^2 +1$
∵ 任意实数的平方为非负数，即无论$x$取何值，$(x-6)^2 ≥ 0$
∴ $(x-6)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$
即无论$x$取何值，代数式$x^2 -12x +37$都是正数。
(3) 用作差法比较$M、N$的大小，计算$M-N$：
$\begin{aligned}M - N &= (2x^2 +4x +5 + y^2) - (x^2 +6x +4) \\&= 2x^2 +4x +5 + y^2 -x^2 -6x -4 \\&= x^2 -2x + y^2 +1 \\&= (x^2 -2x +1) + y^2 \\&= (x-1)^2 + y^2\end{aligned}$
∵ $(x-1)^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$
∴ $M - N ≥ 0$，即$M≥N$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{1}$；②$\boldsymbol{4y^2}$
(2) 无论$x$取何值，代数式$x^2 -12x +37$都是正数，证明成立。
(3) $\boldsymbol{M≥N}$
【知识点】
完全平方公式，配方法的应用，作差法比较大小
【点评】
本题围绕配方法这一核心代数变形方法展开，覆盖了完全平方式结构识别、配方法判断代数式符号、作差法比较代数式大小三类常见题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方技巧对整式进行变形，是整式运算章节的典型基础题，能有效考查学生对代数变形方法的掌握程度。
【难度系数】
0.75
（1）补全完全平方式需紧扣完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$的结构特征：①已知二次项$x^2$和一次项$-2x$，对应公式中$a=x$，$2ab=2x$，可推得$b=1$，因此缺失的常数项为$b^2=1$；②已知一次项$4y$和常数项1，对应公式中$2ab=4y$，$b=1$，可推得$a=2y$，因此缺失的二次项为$a^2=(2y)^2=4y^2$。
（2）要证明代数式无论$x$取何值均为正数，只需将代数式配方为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方式的非负性即可证明：先对二次项和一次项配常数项（一次项系数一半的平方），再调整常数项保证式子的值不变，最后判断配方后式子的取值范围即可。
（3）比较两个代数式大小常用作差法：若$M-N≥0$则$M≥N$，若$M-N≤0$则$M≤N$。先对$M-N$去括号、合并同类项，再对所得式子配方，利用平方的非负性判断差的符号，即可得到$M$和$N$的大小关系。
【解析】
(1) ①根据完全平方公式：$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，因此横线处填1；
②根据完全平方公式：$4y^2 + 4y + 1 = (2y+1)^2$，因此横线处填$4y^2$。
(2) 对代数式$x^2 -12x +37$配方：
$x^2 -12x +37 = (x^2 -12x + 36) + 37 - 36 = (x-6)^2 +1$
∵ 任意实数的平方为非负数，即无论$x$取何值，$(x-6)^2 ≥ 0$
∴ $(x-6)^2 +1 ≥ 1 ＞ 0$
即无论$x$取何值，代数式$x^2 -12x +37$都是正数。
(3) 用作差法比较$M、N$的大小，计算$M-N$：
$\begin{aligned}M - N &= (2x^2 +4x +5 + y^2) - (x^2 +6x +4) \\&= 2x^2 +4x +5 + y^2 -x^2 -6x -4 \\&= x^2 -2x + y^2 +1 \\&= (x^2 -2x +1) + y^2 \\&= (x-1)^2 + y^2\end{aligned}$
∵ $(x-1)^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$
∴ $M - N ≥ 0$，即$M≥N$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{1}$；②$\boldsymbol{4y^2}$
(2) 无论$x$取何值，代数式$x^2 -12x +37$都是正数，证明成立。
(3) $\boldsymbol{M≥N}$
【知识点】
完全平方公式，配方法的应用，作差法比较大小
【点评】
本题围绕配方法这一核心代数变形方法展开，覆盖了完全平方式结构识别、配方法判断代数式符号、作差法比较代数式大小三类常见题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方技巧对整式进行变形，是整式运算章节的典型基础题，能有效考查学生对代数变形方法的掌握程度。
【难度系数】
0.75
