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9. 设 $ a = x - 2022 $, $ b = x - 2024 $, $ c = x - 2023 $. 若 $ a^2 + b^2 = 16 $, 则 $ c^2 $ 的值是 ()
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
C
解析
【分析】
观察a、b、c三个代数式的结构，发现它们的常数项是连续整数，可将a和b都用含c的代数式表示，再代入已知的$a^2+b^2=16$，利用完全平方公式展开化简，即可直接求出$c^2$的值，无需计算x的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：已知$a = x - 2022$，$b = x - 2024$，$c = x - 2023$，
则$a = (x - 2023) + 1 = c + 1$，$b = (x - 2023) - 1 = c - 1$，
将上述关系代入$a^2 + b^2 = 16$，得：
$(c+1)^2 + (c-1)^2 = 16$
利用完全平方公式展开：
$c^2 + 2c + 1 + c^2 - 2c + 1 = 16$
合并同类项得：
$2c^2 + 2 = 16$
移项计算：
$2c^2 = 14$
$c^2 = 7$
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是发现三个代数式之间的数量关系，通过换元的思路将已知等式转化为仅含c的等式，避免了求解x的复杂运算，要求熟练掌握完全平方公式的展开与合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.7
观察a、b、c三个代数式的结构，发现它们的常数项是连续整数，可将a和b都用含c的代数式表示，再代入已知的$a^2+b^2=16$，利用完全平方公式展开化简，即可直接求出$c^2$的值，无需计算x的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：已知$a = x - 2022$，$b = x - 2024$，$c = x - 2023$，
则$a = (x - 2023) + 1 = c + 1$，$b = (x - 2023) - 1 = c - 1$，
将上述关系代入$a^2 + b^2 = 16$，得：
$(c+1)^2 + (c-1)^2 = 16$
利用完全平方公式展开：
$c^2 + 2c + 1 + c^2 - 2c + 1 = 16$
合并同类项得：
$2c^2 + 2 = 16$
移项计算：
$2c^2 = 14$
$c^2 = 7$
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是发现三个代数式之间的数量关系，通过换元的思路将已知等式转化为仅含c的等式，避免了求解x的复杂运算，要求熟练掌握完全平方公式的展开与合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.7
10. 已知a、b、c是$△ ABC$的三边长，且满足$a^3+ab^2+bc^2 = b^3+a^2b+ac^2$，则$△ ABC$的形状是 （）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
C
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需从已知的三边等式推导边的关系：首先将等式所有项移到左侧，通过分组提公因式的方法因式分解，将左侧转化为几个整式乘积为0的形式，再结合三角形边长为正数的性质，得到因式为0的两种情况，即可对应判断三角形的形状，注意不能随意约去可能为0的因式，避免漏解。
【解析】
对已知等式移项，得：
$a^3 + ab^2 + bc^2 - b^3 - a^2b - ac^2 = 0$
分组整理：
$(a^3 - a^2b) + (ab^2 - b^3) - (ac^2 - bc^2) = 0$
对每组分别提取公因式：
$a^2(a - b) + b^2(a - b) - c^2(a - b) = 0$
再次提取公因式$(a - b)$，得：
$(a - b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
由三角形边长均为正数，可得：
$a - b = 0$ 或 $a^2 + b^2 - c^2 = 0$
即 $a = b$ 或 $a^2 + b^2 = c^2$
因此△ABC为等腰三角形或直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；勾股逆定理；三角形形状判定
【点评】
本题考查代数变形与三角形性质的结合应用，核心是掌握分组因式分解的方法，解题时注意乘积为0的等式有多种成立情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC的形状，需从已知的三边等式推导边的关系：首先将等式所有项移到左侧，通过分组提公因式的方法因式分解，将左侧转化为几个整式乘积为0的形式，再结合三角形边长为正数的性质，得到因式为0的两种情况，即可对应判断三角形的形状，注意不能随意约去可能为0的因式，避免漏解。
【解析】
对已知等式移项，得：
$a^3 + ab^2 + bc^2 - b^3 - a^2b - ac^2 = 0$
分组整理：
$(a^3 - a^2b) + (ab^2 - b^3) - (ac^2 - bc^2) = 0$
对每组分别提取公因式：
$a^2(a - b) + b^2(a - b) - c^2(a - b) = 0$
再次提取公因式$(a - b)$，得：
$(a - b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
由三角形边长均为正数，可得：
$a - b = 0$ 或 $a^2 + b^2 - c^2 = 0$
即 $a = b$ 或 $a^2 + b^2 = c^2$
因此△ABC为等腰三角形或直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；勾股逆定理；三角形形状判定
【点评】
本题考查代数变形与三角形性质的结合应用，核心是掌握分组因式分解的方法，解题时注意乘积为0的等式有多种成立情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.若$|a-2|+b^2-2b+1=0$,则$a=$,$b=$.
11.若$|a-2|+b^2-2b+1=0$,则$a=$,$b=$.
答案
$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
首先观察等式结构，等式左边包含绝对值和二次三项式，先利用完全平方公式将$b^2-2b+1$变形为$(b-1)^2$，此时等式变为两个非负数相加等于0的形式。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，分别列出关于a和b的一元一次方程，求解即可得到a、b的值。
【解析】
对原式进行变形：
$|a-2| + b^2 - 2b + 1 = |a-2| + (b-1)^2 = 0$
∵ 绝对值和完全平方数均为非负数，即$|a-2|≥0$，$(b-1)^2≥0$
∴ 两个非负数的和为0时，需满足每个非负数都为0，即：
$\begin{cases}a-2=0 \\ b-1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=1\end{cases}$
【答案】
$2$，$1$
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握完全平方公式的变形，以及非负数的和为0时每一项均为0的性质，熟练掌握常见的非负数类型是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
首先观察等式结构，等式左边包含绝对值和二次三项式，先利用完全平方公式将$b^2-2b+1$变形为$(b-1)^2$，此时等式变为两个非负数相加等于0的形式。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，分别列出关于a和b的一元一次方程，求解即可得到a、b的值。
【解析】
对原式进行变形：
$|a-2| + b^2 - 2b + 1 = |a-2| + (b-1)^2 = 0$
∵ 绝对值和完全平方数均为非负数，即$|a-2|≥0$，$(b-1)^2≥0$
∴ 两个非负数的和为0时，需满足每个非负数都为0，即：
$\begin{cases}a-2=0 \\ b-1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\ b=1\end{cases}$
【答案】
$2$，$1$
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握完全平方公式的变形，以及非负数的和为0时每一项均为0的性质，熟练掌握常见的非负数类型是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
12. 若$a^m=2,a^n=3$，则$a^{2m+n}=$。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
观察所求代数式$a^{2m+n}$的指数为$2m+n$，首先逆用同底数幂的乘法法则，可将其拆分为$a^{2m}· a^n$；再看$a^{2m}$的指数是m的2倍，逆用幂的乘方法则，可将其变形为$(a^m)^2$，最后将已知的$a^m=2$、$a^n=3$代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：逆用幂的运算法则对所求式变形：
$a^{2m+n}=a^{2m}· a^n=(a^m)^2· a^n$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入上式：
原式$=2^2×3=4×3=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能根据所求代数式的指数特征对其合理拆分变形，代入已知数值计算即可，是幂运算部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
观察所求代数式$a^{2m+n}$的指数为$2m+n$，首先逆用同底数幂的乘法法则，可将其拆分为$a^{2m}· a^n$；再看$a^{2m}$的指数是m的2倍，逆用幂的乘方法则，可将其变形为$(a^m)^2$，最后将已知的$a^m=2$、$a^n=3$代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：逆用幂的运算法则对所求式变形：
$a^{2m+n}=a^{2m}· a^n=(a^m)^2· a^n$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入上式：
原式$=2^2×3=4×3=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的逆用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能根据所求代数式的指数特征对其合理拆分变形，代入已知数值计算即可，是幂运算部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
13. 因式分解：$2a^3 - 8ab^2 =$ .
答案
$\boldsymbol{2a(a+2b)(a-2b)}$
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提、二套、三查”的思路解题：第一步先找公因式，观察原式各项，系数的最大公约数是2，共有的字母为a且最低次数是1，因此先提取公因式2a；提取后得到剩余因式$a^2-4b^2$，第二步判断该式符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查确认所有因式都不能再分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：$\begin{aligned}2a^3 - 8ab^2 &= 2a(a^2 - 4b^2) \\&= 2a[a^2 - (2b)^2] \\&= 2a(a+2b)(a-2b)\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2a(a+2b)(a-2b)}$
【知识点】
提取公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，解题时要严格按照因式分解的步骤操作，注意提取公因式要提尽，套用公式时要准确对应公式的结构，最终需确保分解结果中的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提、二套、三查”的思路解题：第一步先找公因式，观察原式各项，系数的最大公约数是2，共有的字母为a且最低次数是1，因此先提取公因式2a；提取后得到剩余因式$a^2-4b^2$，第二步判断该式符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查确认所有因式都不能再分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：$\begin{aligned}2a^3 - 8ab^2 &= 2a(a^2 - 4b^2) \\&= 2a[a^2 - (2b)^2] \\&= 2a(a+2b)(a-2b)\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2a(a+2b)(a-2b)}$
【知识点】
提取公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，解题时要严格按照因式分解的步骤操作，注意提取公因式要提尽，套用公式时要准确对应公式的结构，最终需确保分解结果中的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
14. (2024·北京)分解因式:$x^3 -25x =$ .
答案
$\boldsymbol{x(x+5)(x-5)}$
解析
【分析】
分解因式按照“一提二套三查”的思路逐步推导：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式x，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式$x^2-25$，符合平方差公式的结构特征，因此套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否均不能再分解，确认分解彻底即可。
【解析】
1. 提取公因式$x$：
$x^3 -25x = x(x^2 - 25)$
2. 对$x^2-25$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=5$）继续分解：
$x(x^2 -25) = x(x+5)(x-5)$
此时所有因式均无法再分解，分解完成。
【答案】
$x(x+5)(x-5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要遵循因式分解的常规顺序，先提公因式再套用对应公式，同时要注意分解必须彻底，避免出现分解到一半就停止的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式按照“一提二套三查”的思路逐步推导：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式x，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式$x^2-25$，符合平方差公式的结构特征，因此套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否均不能再分解，确认分解彻底即可。
【解析】
1. 提取公因式$x$：
$x^3 -25x = x(x^2 - 25)$
2. 对$x^2-25$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=5$）继续分解：
$x(x^2 -25) = x(x+5)(x-5)$
此时所有因式均无法再分解，分解完成。
【答案】
$x(x+5)(x-5)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要遵循因式分解的常规顺序，先提公因式再套用对应公式，同时要注意分解必须彻底，避免出现分解到一半就停止的错误。
【难度系数】
0.8
15. 我国南宋时期数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图3所示的三角形解释二项式$(a+b)^n$的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”。
根据“杨辉三角”，请计算$(a+b)^{20}$的展开式第三项的系数为.
根据“杨辉三角”，请计算$(a+b)^{20}$的展开式第三项的系数为.
答案
$\boldsymbol{190}$
解析
【分析】
解题时我们可以先从简单的低次二项式入手，观察杨辉三角中对应展开式第三项的系数变化规律：
1. 先列出不同n值下$(a+b)^n$第三项的系数：
$n=2$时，$(a+b)^2$展开第三项系数为1；
$n=3$时，$(a+b)^3$展开第三项系数为3；
$n=4$时，$(a+b)^4$展开第三项系数为6；
$n=5$时，$(a+b)^5$展开第三项系数为10；
2. 对比系数和n的关系，可总结出通用规律：$(a+b)^n$的第三项系数为$1+2+3+\dots+(n-1)$，再用求和公式（首项加末项乘项数除以2）即可计算对应数值，最后代入$n=20$求解即可。
【解析】
我们通过观察低次二项式展开式第三项的系数找规律：
当$n=2$时，第三项系数：$1 = \frac{2×1}{2}$
当$n=3$时，第三项系数：$3 = \frac{3×2}{2}$
当$n=4$时，第三项系数：$6 = \frac{4×3}{2}$
当$n=5$时，第三项系数：$10 = \frac{5×4}{2}$
由此可归纳得出规律：$(a+b)^n$的展开式第三项的系数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
当$n=20$时，代入公式得：
$\frac{20×(20-1)}{2} = \frac{20×19}{2} = 190$
【答案】
$\boldsymbol{190}$
【知识点】
杨辉三角的规律；数字规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题结合我国古代数学经典成果命题，核心考查学生的观察归纳能力，解题的关键是从简单情况入手总结通用规律，再代入计算即可，同时也能让学生体会我国古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先从简单的低次二项式入手，观察杨辉三角中对应展开式第三项的系数变化规律：
1. 先列出不同n值下$(a+b)^n$第三项的系数：
$n=2$时，$(a+b)^2$展开第三项系数为1；
$n=3$时，$(a+b)^3$展开第三项系数为3；
$n=4$时，$(a+b)^4$展开第三项系数为6；
$n=5$时，$(a+b)^5$展开第三项系数为10；
2. 对比系数和n的关系，可总结出通用规律：$(a+b)^n$的第三项系数为$1+2+3+\dots+(n-1)$，再用求和公式（首项加末项乘项数除以2）即可计算对应数值，最后代入$n=20$求解即可。
【解析】
我们通过观察低次二项式展开式第三项的系数找规律：
当$n=2$时，第三项系数：$1 = \frac{2×1}{2}$
当$n=3$时，第三项系数：$3 = \frac{3×2}{2}$
当$n=4$时，第三项系数：$6 = \frac{4×3}{2}$
当$n=5$时，第三项系数：$10 = \frac{5×4}{2}$
由此可归纳得出规律：$(a+b)^n$的展开式第三项的系数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
当$n=20$时，代入公式得：
$\frac{20×(20-1)}{2} = \frac{20×19}{2} = 190$
【答案】
$\boldsymbol{190}$
【知识点】
杨辉三角的规律；数字规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题结合我国古代数学经典成果命题，核心考查学生的观察归纳能力，解题的关键是从简单情况入手总结通用规律，再代入计算即可，同时也能让学生体会我国古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共75分)
16.(10分)下面是小华同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程：
(2x−3y)²−(x−2y)(x+2y)
=4x²−6xy+3y²−x²−2y² …………………………… 第一步
=3x²−6xy+y². …………………………… 第二步
小禹看到小华的做法后,对他说:“你做错了,在第一步运用公式时出现了错误,你好好检查一下.”小华仔细检查后发现,小禹说的是正确的.
解答下列问题：
(1)请你用标记符号“○”在以上小华解答过程的第一步中圈出所有错误之处；
(2)请写出此题的正确解答过程.
16.(10分)下面是小华同学在笔记本上完成课堂练习的解题过程：
(2x−3y)²−(x−2y)(x+2y)
=4x²−6xy+3y²−x²−2y² …………………………… 第一步
=3x²−6xy+y². …………………………… 第二步
小禹看到小华的做法后,对他说:“你做错了,在第一步运用公式时出现了错误,你好好检查一下.”小华仔细检查后发现,小禹说的是正确的.
解答下列问题：
(1)请你用标记符号“○”在以上小华解答过程的第一步中圈出所有错误之处；
(2)请写出此题的正确解答过程.
答案
(1) 标记错误之处
小华第一步的原式为：$4x^2-6xy+3y^2-x^2-2y^2$
需要圈出的错误部分：
$◯ 3y^2$、$◯ -6xy$ 修正：此处实际错误是完全平方展开的交叉项系数和平方项，正确标记为：圈出$4x^2-6xy+◯{3y^2}-x^2◯{-2y^2}$，即三处错误点：$-6xy$的系数错误、$3y^2$错误、$-2y^2$错误。
---
(2) 正确解答过程
解：
$\begin{aligned}(2x-3y)^2-(x-2y)(x+2y)&=4x^2 - 12xy + 9y^2 - (x^2 - 4y^2)\\&=4x^2 - 12xy + 9y^2 - x^2 + 4y^2\\&=3x^2 - 12xy + 13y^2\end{aligned}$
小华第一步的原式为：$4x^2-6xy+3y^2-x^2-2y^2$
需要圈出的错误部分：
$◯ 3y^2$、$◯ -6xy$ 修正：此处实际错误是完全平方展开的交叉项系数和平方项，正确标记为：圈出$4x^2-6xy+◯{3y^2}-x^2◯{-2y^2}$，即三处错误点：$-6xy$的系数错误、$3y^2$错误、$-2y^2$错误。
---
(2) 正确解答过程
解：
$\begin{aligned}(2x-3y)^2-(x-2y)(x+2y)&=4x^2 - 12xy + 9y^2 - (x^2 - 4y^2)\\&=4x^2 - 12xy + 9y^2 - x^2 + 4y^2\\&=3x^2 - 12xy + 13y^2\end{aligned}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个整式乘法公式的结构：①完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开后是三项，交叉项系数是2倍的$a$、$b$系数的乘积，平方项系数也要对应平方；②平方差公式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，展开后是两项，减的是$b$的平方。
针对第(1)问，对照两个公式逐部分核对小华的第一步展开式，找到不符合公式的错误部分圈出即可；
针对第(2)问，先分别用完全平方公式、平方差公式展开两个式子，再去括号，最后合并同类项得到正确结果。
【解析】
(1) 小华第一步的式子为$4x^2 - 6xy + 3y^2 - x^2 - 2y^2$，错误之处标记如下：
$4x^2 - \underset{◯}{6xy} + \underset{◯}{3y^2} - x^2 \underset{◯}{-2y^2}$，即圈出$-6xy$、$3y^2$、$-2y^2$三处。
(2) 正确解答过程：
$\begin{aligned}(2x-3y)^2 - (x-2y)(x+2y) &= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - (x^2 - 4y^2) \\&= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - x^2 + 4y^2 \\&= 3x^2 - 12xy + 13y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 圈出第一步中的$-6xy$、$3y^2$、$-2y^2$三处；
(2) 正确结果为$3x^2 - 12xy + 13y^2$，过程见解析。
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的正确应用，解题时需牢记公式的结构特征，展开时要注意系数的计算和符号的变化，去括号时若括号前是负号，括号内各项都要变号，避免因公式记错或符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确两个整式乘法公式的结构：①完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开后是三项，交叉项系数是2倍的$a$、$b$系数的乘积，平方项系数也要对应平方；②平方差公式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，展开后是两项，减的是$b$的平方。
针对第(1)问，对照两个公式逐部分核对小华的第一步展开式，找到不符合公式的错误部分圈出即可；
针对第(2)问，先分别用完全平方公式、平方差公式展开两个式子，再去括号，最后合并同类项得到正确结果。
【解析】
(1) 小华第一步的式子为$4x^2 - 6xy + 3y^2 - x^2 - 2y^2$，错误之处标记如下：
$4x^2 - \underset{◯}{6xy} + \underset{◯}{3y^2} - x^2 \underset{◯}{-2y^2}$，即圈出$-6xy$、$3y^2$、$-2y^2$三处。
(2) 正确解答过程：
$\begin{aligned}(2x-3y)^2 - (x-2y)(x+2y) &= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - (x^2 - 4y^2) \\&= 4x^2 - 12xy + 9y^2 - x^2 + 4y^2 \\&= 3x^2 - 12xy + 13y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 圈出第一步中的$-6xy$、$3y^2$、$-2y^2$三处；
(2) 正确结果为$3x^2 - 12xy + 13y^2$，过程见解析。
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的正确应用，解题时需牢记公式的结构特征，展开时要注意系数的计算和符号的变化，去括号时若括号前是负号，括号内各项都要变号，避免因公式记错或符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.8
