9. [2026阜阳二模]正比例函数$y=k_1x(k_1≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的图象交于$A(a,3),B(4,b)$两点，则$k_2$的值为（）

A.$-12$
B.$-6$
C.$12$
D.$6$

9.A

【分析】
解题思路如下：首先回忆正比例函数与反比例函数的图象性质，二者均为关于原点中心对称的函数，因此它们的交点也关于原点对称。根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的特征，可直接求出点A、B未知的坐标值，再将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出$k_2$的值。也可通过将两点分别代入两个函数解析式联立方程求解，利用对称性解题更简便。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴两函数的交点$A(a,3)$、$B(4,b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标互为相反数，可得：
$a=-4$，$b=-3$，即点A的坐标为$(-4,3)$，
将$A(-4,3)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得：
$3=\frac{k_2}{-4}$，
解得$k_2=3×(-4)=-12$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，中心对称的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数结合的基础题型，核心考查两类函数的中心对称性，利用对称性可快速锁定交点坐标，避免繁琐的联立方程计算，解题时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7

10.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象交于$A(-1,-2),B(n,1)$两点,则不等式$kx+b＜\frac{m}{x}$的解集为.

(第10题) (第11题)

10.$x＜-1或0＜x＜2$

【分析】
要解不等式$kx+b＜\frac{m}{x}$，本质是找一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的$x$的取值范围，解题思路如下：第一步先利用已知点$A$的坐标求出反比例函数的参数$m$，确定反比例函数解析式；第二步将点$B$的纵坐标代入反比例函数，求出点$B$的横坐标$n$；第三步结合两个交点的横坐标，将$x$的取值范围分段，观察各段内两个函数图象的上下位置关系，即可得到不等式的解集，注意反比例函数图象在$x=0$处断开，要分正负半轴分别讨论。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将$A(-1,-2)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$-2=\frac{m}{-1}$，解得$m=2$，因此反比例函数解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
2. 求点$B$的横坐标：
将$B(n,1)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$1=\frac{2}{n}$，解得$n=2$，即$B$点坐标为$(2,1)$。
3. 结合图象确定不等式解集：
不等式$kx+b＜\frac{m}{x}$对应一次函数图象在反比例函数图象下方的区域：
当$x＜-1$时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
当$-1＜x＜0$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，不满足；
当$0＜x＜2$时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
当$x＞2$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，不满足。
因此不等式的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
$x＜-1或0＜x＜2$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，不等式的图象解法，反比例函数的性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的核心是将不等式的求解转化为函数图象位置关系的判断，要注意反比例函数的图象是分两支的，讨论时不能忽略$x=0$处的间断点，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

11. [2026亳州二模]如图,点A在双曲线$y=\frac{4}{x}$上,点B在双曲线$y=\frac{12}{x}$上,且$AB// x$轴,$BC⊥ x$轴于点C,则四边形AOCB的面积为.

11.10

【分析】
解题思路：首先观察到AB平行于x轴，可得A、B两点纵坐标相同，求四边形AOCB的面积有两种常用思路：一是利用反比例函数k的几何意义，通过作辅助线将所求面积转化为大矩形面积减去左侧直角三角形的面积，计算更简便；二是设出A、B的共同纵坐标为参数，分别求出A、B、C三点的坐标，再根据AB平行于OC，判断四边形AOCB是直角梯形，代入梯形面积公式计算，参数会自动消去得到结果。
【解析】
方法一：延长BA交y轴于点D。
∵AB//x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形ODBC是矩形。
根据反比例函数$k$的几何意义：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向两坐标轴作垂线，所得矩形面积为$|k|$，
∵点B在$y=\frac{12}{x}$上，
∴$S_{矩形ODBC}=12$；
∵点A在$y=\frac{4}{x}$上，AD⊥y轴，
∴$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}×4=2$；
则四边形AOCB的面积为：$S_{矩形ODBC}-S_{△ OAD}=12-2=10$。
方法二：设点A、B的纵坐标为$h$（$h＞0$）。
将$y=h$代入$y=\frac{4}{x}$，得$x=\frac{4}{h}$，即$A(\frac{4}{h},h)$；
将$y=h$代入$y=\frac{12}{x}$，得$x=\frac{12}{h}$，即$B(\frac{12}{h},h)$，则$C(\frac{12}{h},0)$。
∵AB//x轴，OC在x轴上，BC⊥x轴，
∴四边形AOCB是直角梯形，
上底$AB=\frac{12}{h}-\frac{4}{h}=\frac{8}{h}$，下底$OC=\frac{12}{h}$，高$BC=h$，
根据梯形面积公式：$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，
代入得：$S_{AOCB}=\frac{(\frac{8}{h}+\frac{12}{h})× h}{2}=\frac{\frac{20}{h}× h}{2}=10$。
【答案】
10
【知识点】
反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，梯形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，既可以通过几何意义快速简化计算，也可以通过设参数的代数方法求解，能够很好地考查学生对反比例函数性质的掌握和图形面积计算的能力。
【难度系数】
0.7

12. [2026合肥期末]如图,一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象交于$A(m,3),B(m+4,n)$两点.
(1)求一次函数的解析式；

(2)当$y_1＜y_2$时,直接写出$x$的取值范围；
(3)求$△ AOB$的面积.

12.解：(1)$y=-\frac{1}{2}x+4.$(2)$0＜x＜2或x＞6.$(3)8.

【分析】
(1) 要得到一次函数解析式，需先求A、B两点坐标：A、B均在反比例函数图象上，先将A点坐标代入反比例函数求出m，得到A点坐标，再根据B点横坐标为m+4，代入反比例函数求出n，得到B点坐标，最后将A、B两点代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到k、b的值。
(2) 求$y_1＜y_2$时x的取值范围，结合图象找一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x的范围即可，注意题中$x＞0$的前提条件。
(3) $△ AOB$是不规则三角形，可采用割补法计算面积：先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，用坐标轴与一次函数围成的大三角形面积，减去两个小三角形的面积，即可得到$△ AOB$的面积。
【解析】
(1) 把点$A(m,3)$代入反比例函数$y_2=\frac{6}{x}$，得：
$3=\frac{6}{m}$，解得$m=2$，
∴点A坐标为$(2,3)$，点B的横坐标为$m+4=6$，
把$x=6$代入$y_2=\frac{6}{x}$，得$n=\frac{6}{6}=1$，
∴点B坐标为$(6,1)$，
将$A(2,3)$、$B(6,1)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k+b=3 \\ 6k+b=1\end{cases}$
两式相减得$-4k=2$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
将$k=-\frac{1}{2}$代入$2k+b=3$，得$-1+b=3$，解得$b=4$，
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$。
(2) 观察图象，$x＞0$时一次函数图象在反比例函数图象下方的区域对应x的取值为$0＜x＜2$或$x＞6$，即$y_1＜y_2$时x的取值范围是$0＜x＜2$或$x＞6$。
(3) 设一次函数$y=-\frac{1}{2}x+4$与y轴交于点C，与x轴交于点D：
令$x=0$，得$y=4$，
∴$C(0,4)$；
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，
∴$D(8,0)$。
则$S_{△ COD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×4×8=16$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× x_A=\frac{1}{2}×4×2=4$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OD× y_B=\frac{1}{2}×8×1=4$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ COD}-S_{△ AOC}-S_{△ BOD}=16-4-4=8$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}x+4$；(2)$0＜x＜2或x＞6$；(3)$8$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了数形结合思想的应用，以及不规则图形面积的计算技巧，需要熟练掌握函数的基本性质和割补法的应用思路。
【难度系数】
0.65

13. 能力训练点·探究建模 [2026 安庆期中] 如图，过反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$。若$S_2+S_3+S_4=5$，则k的值为。

13.4

【分析】
解题时先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积等于|k|。我们可以先设出点A的坐标，根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，表示出点B、D的坐标，再分别计算出S₂、S₃、S₄的表达式，结合已知条件S₂+S₃+S₄=5列方程，即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{k}{a})$（$a＞0$，由图象可知$k＞0$）。
1. 求点B、D的坐标：
因为AB平行于x轴，所以点B的纵坐标与点A相同，为$\frac{k}{a}$。
将$y=\frac{k}{a}$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$\frac{k}{a}=-\frac{2}{x}$，解得$x=-\frac{2a}{k}$，即$B(-\frac{2a}{k}, \frac{k}{a})$。
因为AD平行于y轴，所以点D的横坐标与点A相同，为$a$。
将$x=a$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$y=-\frac{2}{a}$，即$D(a, -\frac{2}{a})$。
2. 计算各小矩形面积：
$S_2$是第二象限的矩形，长为$\frac{2a}{k}$，宽为$\frac{k}{a}$，则$S_2=\frac{2a}{k} × \frac{k}{a}=2$；
$S_4$是第四象限的矩形，长为$a$，宽为$\frac{2}{a}$，则$S_4=a × \frac{2}{a}=2$；
$S_3$是第三象限的矩形，长为$\frac{2a}{k}$，宽为$\frac{2}{a}$，则$S_3=\frac{2a}{k} × \frac{2}{a}=\frac{4}{k}$。
3. 列方程求解k：
已知$S_2+S_3+S_4=5$，代入得：
$2 + \frac{4}{k} + 2 =5$
化简得$\frac{4}{k}=1$，解得$k=4$，经检验$k=4$符合题意。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形面积计算
【点评】
本题将反比例函数性质与矩形面积结合考查，解题的核心是熟练运用反比例函数k的几何意义，通过设点坐标表示各部分面积建立方程，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6