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1.如图,点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的一点,过点A作$AB⊥x$轴,垂足为B.C为y轴上一点,连接AC,BC.若$△ ABC$的面积为3,则k的值是
-6
.答案
1.-6
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：AB垂直x轴，因此AB平行于y轴，点C在y轴上，可知△ABC和△ABO同底（底为AB）、高相等（高为AB与y轴的水平距离），二者面积相等。再结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上一点作x轴垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，最后根据图象所在象限判断k的符号即可求出k值。
【解析】
解：连接OA，
∵$AB⊥x$轴，y轴与x轴垂直，
∴$AB// y$轴，
∴△ABC和△ABO同底等高，可得$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=3$，
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的k的几何意义，得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|$，
代入面积得$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴$k＜0$，
因此$k=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是利用平行线间距离相等的性质转化三角形面积，解题时要注意结合函数图象所在象限确定k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：AB垂直x轴，因此AB平行于y轴，点C在y轴上，可知△ABC和△ABO同底（底为AB）、高相等（高为AB与y轴的水平距离），二者面积相等。再结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上一点作x轴垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，最后根据图象所在象限判断k的符号即可求出k值。
【解析】
解：连接OA，
∵$AB⊥x$轴，y轴与x轴垂直，
∴$AB// y$轴，
∴△ABC和△ABO同底等高，可得$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=3$，
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的k的几何意义，得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|$，
代入面积得$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴$k＜0$，
因此$k=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是利用平行线间距离相等的性质转化三角形面积，解题时要注意结合函数图象所在象限确定k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
2.如图，点A，B在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，AB，则$△ OAB$的面积是
9
。答案
2.9
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数解析式求出A、B两点的横坐标，得到两点的完整坐标；再结合反比例函数中k的几何意义，可知过A、B向y轴作垂线得到的两个直角三角形面积相等，因此可将△OAB的面积转化为A、B到y轴的垂线与y轴围成的梯形的面积，通过计算梯形面积即可得到△OAB的面积，避免直接计算不规则三角形面积的麻烦。
【解析】
解：
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，A、B的纵坐标分别为3和6，
∴将$y=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，即$A(4,3)$；
将$y=6$代入$y=\frac{12}{x}$，得$6=\frac{12}{x}$，解得$x=2$，即$B(2,6)$。
过点A作$AC⊥ y$轴于点C，过点B作$BD⊥ y$轴于点D，
则$AC=4$，$BD=2$，$CD=6-3=3$。
根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×12=6$。
观察图形可知：$S_{△ OAB} + S_{△ OAC} = S_{梯形ABDC} + S_{△ OBD}$，
∵$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}$，
∴$S_{△ OAB}=S_{梯形ABDC}$。
计算梯形面积：$S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}×(AC+BD)× CD=\frac{1}{2}×(4+2)×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题的关键是利用k的几何意义将不规则三角形的面积转化为规则梯形的面积，简化了计算过程，这类题型熟练掌握转化思路后很容易得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用反比例函数解析式求出A、B两点的横坐标，得到两点的完整坐标；再结合反比例函数中k的几何意义，可知过A、B向y轴作垂线得到的两个直角三角形面积相等，因此可将△OAB的面积转化为A、B到y轴的垂线与y轴围成的梯形的面积，通过计算梯形面积即可得到△OAB的面积，避免直接计算不规则三角形面积的麻烦。
【解析】
解：
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，A、B的纵坐标分别为3和6，
∴将$y=3$代入$y=\frac{12}{x}$，得$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，即$A(4,3)$；
将$y=6$代入$y=\frac{12}{x}$，得$6=\frac{12}{x}$，解得$x=2$，即$B(2,6)$。
过点A作$AC⊥ y$轴于点C，过点B作$BD⊥ y$轴于点D，
则$AC=4$，$BD=2$，$CD=6-3=3$。
根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×12=6$。
观察图形可知：$S_{△ OAB} + S_{△ OAC} = S_{梯形ABDC} + S_{△ OBD}$，
∵$S_{△ OAC}=S_{△ OBD}$，
∴$S_{△ OAB}=S_{梯形ABDC}$。
计算梯形面积：$S_{梯形ABDC}=\frac{1}{2}×(AC+BD)× CD=\frac{1}{2}×(4+2)×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题的关键是利用k的几何意义将不规则三角形的面积转化为规则梯形的面积，简化了计算过程，这类题型熟练掌握转化思路后很容易得分。
【难度系数】
0.7
3.如图，直线$y=mx$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$交于A，B两点，过点A作$AM⊥x$轴，垂足为M，连接BM。若$S_{△ ABM}=4$，则k的值为
-4
。答案
3.-4
解析
【分析】
首先明确正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，因此O是线段AB的中点，可得△ABM的面积等于2倍△AOM的面积；再结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，代入面积数值求出|k|，最后根据双曲线所在象限判断k的符号，即可得到k的值。
【解析】
解：
∵直线$y=mx$过原点，双曲线$y=\dfrac{k}{x}$关于原点中心对称
∴交点A、B关于原点O对称，即O为AB的中点
∴$S_{△ ABM}=2S_{△ AOM}$
已知$S_{△ ABM}=4$，代入得：$2S_{△ AOM}=4$，解得$S_{△ AOM}=2$
根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ AOM}=\dfrac{1}{2}|k|$
∴$\dfrac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$
由图可知双曲线位于第二、四象限，
∴$k＜0$
因此$k=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 函数图像的中心对称性
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是利用函数图像的对称性将所求三角形面积转化为符合k几何意义的三角形面积，同时要注意结合图像判断k的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
首先明确正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，因此O是线段AB的中点，可得△ABM的面积等于2倍△AOM的面积；再结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，代入面积数值求出|k|，最后根据双曲线所在象限判断k的符号，即可得到k的值。
【解析】
解：
∵直线$y=mx$过原点，双曲线$y=\dfrac{k}{x}$关于原点中心对称
∴交点A、B关于原点O对称，即O为AB的中点
∴$S_{△ ABM}=2S_{△ AOM}$
已知$S_{△ ABM}=4$，代入得：$2S_{△ AOM}=4$，解得$S_{△ AOM}=2$
根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ AOM}=\dfrac{1}{2}|k|$
∴$\dfrac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$
由图可知双曲线位于第二、四象限，
∴$k＜0$
因此$k=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 函数图像的中心对称性
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是利用函数图像的对称性将所求三角形面积转化为符合k几何意义的三角形面积，同时要注意结合图像判断k的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
4.如图，在平面直角坐标系中，过点$M(-3,2)$分别作$x$轴、$y$轴的垂线与反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象交于$A$，$B$两点，连接$OA$，$OB$，则四边形$MAOB$的面积为
8
。答案
4.8
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，四边形MAOB是不规则图形，可采用割补法转化为规则图形的面积和计算：①先计算点M与坐标轴围成的矩形面积；②再根据反比例函数k的几何意义，求出反比例函数上A、B两点分别与坐标轴、原点围成的直角三角形的面积；③最后将三部分面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
设过点$M(-3,2)$作x轴的垂线垂足为$C$，作y轴的垂线垂足为$D$，则$C(-3,0)$，$D(0,2)$。
1. 计算矩形$OCDM$的面积：矩形的长为$|x_M|=3$，宽为$|y_M|=2$，因此$S_{矩形OCDM}=3×2=6$。
2. 根据反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的$k$的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点围成的直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}|k|$，本题中$k=2$，因此$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}×|2|=1$，$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}×|2|=1$。
3. 四边形$MAOB$的面积为三部分面积之和：$S_{四边形MAOB}=S_{矩形OCDM}+S_{△ OAC}+S_{△ OBD}=6+1+1=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数k的几何意义；割补法求面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是利用k的几何意义快速计算相关三角形的面积，通过割补法将不规则四边形转化为规则图形的面积和求解，解题思路清晰，掌握k的几何意义可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，四边形MAOB是不规则图形，可采用割补法转化为规则图形的面积和计算：①先计算点M与坐标轴围成的矩形面积；②再根据反比例函数k的几何意义，求出反比例函数上A、B两点分别与坐标轴、原点围成的直角三角形的面积；③最后将三部分面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
设过点$M(-3,2)$作x轴的垂线垂足为$C$，作y轴的垂线垂足为$D$，则$C(-3,0)$，$D(0,2)$。
1. 计算矩形$OCDM$的面积：矩形的长为$|x_M|=3$，宽为$|y_M|=2$，因此$S_{矩形OCDM}=3×2=6$。
2. 根据反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的$k$的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点围成的直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}|k|$，本题中$k=2$，因此$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}×|2|=1$，$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}×|2|=1$。
3. 四边形$MAOB$的面积为三部分面积之和：$S_{四边形MAOB}=S_{矩形OCDM}+S_{△ OAC}+S_{△ OBD}=6+1+1=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数k的几何意义；割补法求面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是利用k的几何意义快速计算相关三角形的面积，通过割补法将不规则四边形转化为规则图形的面积和求解，解题思路清晰，掌握k的几何意义可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5.已知反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=-\frac{3}{x}(x＞0)$的图象如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC//y轴，分别交反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=-\frac{3}{x}(x＞0)$的图象于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE=AC，则四边形ACDE的面积为
7
。答案
5.7
解析
【分析】
首先观察图形特征：AC平行于y轴，DE在y轴上，因此AC与DE互相平行，结合已知DE=AC，可判断四边形ACDE是平行四边形，平行四边形面积公式为底×高。我们可设点B的横坐标为a（a＞0），利用反比例函数解析式分别表示出A、C两点的坐标，求出AC的长度，再确定平行四边形的高（即AC到y轴的水平距离，等于a），代入面积公式计算即可，计算过程中参数a会消去，得到固定面积。
【解析】
设点B的横坐标为$a(a＞0)$，
∵$AC// y$轴，
∴点A、C的横坐标均为$a$。
将$x=a$代入$y=\frac{4}{x}$，得点A坐标为$(a,\frac{4}{a})$；
将$x=a$代入$y=-\frac{3}{x}$，得点C坐标为$(a,-\frac{3}{a})$。
∴$AC=\frac{4}{a}-(-\frac{3}{a})=\frac{7}{a}$。
∵$AC// y$轴，DE在y轴上，
∴$AC// DE$，又$DE=AC$，
∴四边形ACDE是平行四边形。
平行四边形ACDE的高为AC到y轴的水平距离，即$a$，
∴$S_{四边形ACDE}=AC× 水平距离=\frac{7}{a}× a=7$。
【答案】
7
【知识点】
反比例函数的图象与性质，平行四边形的面积，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是通过边的平行且相等关系判定平行四边形，利用设参消参的思想避开未知参数的求解，直接得到定值面积，对几何图形性质的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先观察图形特征：AC平行于y轴，DE在y轴上，因此AC与DE互相平行，结合已知DE=AC，可判断四边形ACDE是平行四边形，平行四边形面积公式为底×高。我们可设点B的横坐标为a（a＞0），利用反比例函数解析式分别表示出A、C两点的坐标，求出AC的长度，再确定平行四边形的高（即AC到y轴的水平距离，等于a），代入面积公式计算即可，计算过程中参数a会消去，得到固定面积。
【解析】
设点B的横坐标为$a(a＞0)$，
∵$AC// y$轴，
∴点A、C的横坐标均为$a$。
将$x=a$代入$y=\frac{4}{x}$，得点A坐标为$(a,\frac{4}{a})$；
将$x=a$代入$y=-\frac{3}{x}$，得点C坐标为$(a,-\frac{3}{a})$。
∴$AC=\frac{4}{a}-(-\frac{3}{a})=\frac{7}{a}$。
∵$AC// y$轴，DE在y轴上，
∴$AC// DE$，又$DE=AC$，
∴四边形ACDE是平行四边形。
平行四边形ACDE的高为AC到y轴的水平距离，即$a$，
∴$S_{四边形ACDE}=AC× 水平距离=\frac{7}{a}× a=7$。
【答案】
7
【知识点】
反比例函数的图象与性质，平行四边形的面积，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是通过边的平行且相等关系判定平行四边形，利用设参消参的思想避开未知参数的求解，直接得到定值面积，对几何图形性质的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6.如图,矩形OABC与反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1是非零常数,x＞0)$的图象交于点M,N,与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2是非零常数,x＞0)$的图象交于点B,连接OM,ON.若四边形OMBN的面积为6,则$k_1 - k_2=$
-6
.答案
6.-6
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过该点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于$|k|$，所得直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题中先根据k的几何意义，分别得到矩形OABC的面积与$k_2$的关系，$△ OAM$、$△ OCN$的面积与$k_1$的关系；再观察图形可知，四边形OMBN的面积等于矩形OABC的面积减去两个小三角形的面积，结合已知的四边形面积列出等式，整理即可求出$k_1-k_2$的值。
【解析】
解：
∵反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$、$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象都在第一象限，
∴$k_1＞0$，$k_2＞0$。
∵点B在$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，四边形OABC是矩形，
∴$S_{矩形OABC}=k_2$。
∵点M、N都在$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象上，
∴$S_{△ OAM}=\frac{1}{2}k_1$，$S_{△ OCN}=\frac{1}{2}k_1$。
由图形可知：$S_{四边形OMBN}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAM}-S_{△ OCN}$，
已知$S_{四边形OMBN}=6$，代入得：
$k_2 - \frac{1}{2}k_1 - \frac{1}{2}k_1 =6$，
整理得$k_2 -k_1=6$，
∴$k_1 -k_2=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积和差计算，矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题的关键是将不规则的四边形面积转化为规则的矩形、三角形面积的差，熟练掌握反比例函数k的几何意义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过该点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于$|k|$，所得直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题中先根据k的几何意义，分别得到矩形OABC的面积与$k_2$的关系，$△ OAM$、$△ OCN$的面积与$k_1$的关系；再观察图形可知，四边形OMBN的面积等于矩形OABC的面积减去两个小三角形的面积，结合已知的四边形面积列出等式，整理即可求出$k_1-k_2$的值。
【解析】
解：
∵反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$、$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象都在第一象限，
∴$k_1＞0$，$k_2＞0$。
∵点B在$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，四边形OABC是矩形，
∴$S_{矩形OABC}=k_2$。
∵点M、N都在$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象上，
∴$S_{△ OAM}=\frac{1}{2}k_1$，$S_{△ OCN}=\frac{1}{2}k_1$。
由图形可知：$S_{四边形OMBN}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAM}-S_{△ OCN}$，
已知$S_{四边形OMBN}=6$，代入得：
$k_2 - \frac{1}{2}k_1 - \frac{1}{2}k_1 =6$，
整理得$k_2 -k_1=6$，
∴$k_1 -k_2=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积和差计算，矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题的关键是将不规则的四边形面积转化为规则的矩形、三角形面积的差，熟练掌握反比例函数k的几何意义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
