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6.在某班毕业联欢会上，全班40名学生要用彩纸折纸鹤布置教室。但班里有10名学生因排练节目而没有折纸鹤，这样折纸鹤的同学平均每人折的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多5只。这个班共折了多少只纸鹤？
答案
解:设原来平均每人折x只,则$40x=(40-10)(x+5)$,解得$x=15$,所以$40x=600$。
答:这个班共折了600只纸鹤。
答:这个班共折了600只纸鹤。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到不变量作为列方程的等量关系。本题中全班要折的纸鹤总数量是固定不变的，无论是原定40名学生折，还是实际只有30名学生折，总数量完全相等。我们可以先设原定全班平均每人折x只，分别用含x的式子表示两种情况的总纸鹤数，根据总数量相等列方程，解出x后再计算总纸鹤数即可。
【解析】
解：设原定全班同学平均每人折x只纸鹤。
根据纸鹤总数量不变列方程：
$40x=(40-10)(x+5)$
化简得：$40x=30x+150$
移项合并同类项得：$10x=150$
解得：$x=15$
总纸鹤数量为：$40×15=600$（只）
答：这个班共折了600只纸鹤。
【答案】
600只
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题目，解题关键是抓住纸鹤总数量不变的隐含等量关系，合理设未知数列方程求解，主要考查学生从实际问题中梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到不变量作为列方程的等量关系。本题中全班要折的纸鹤总数量是固定不变的，无论是原定40名学生折，还是实际只有30名学生折，总数量完全相等。我们可以先设原定全班平均每人折x只，分别用含x的式子表示两种情况的总纸鹤数，根据总数量相等列方程，解出x后再计算总纸鹤数即可。
【解析】
解：设原定全班同学平均每人折x只纸鹤。
根据纸鹤总数量不变列方程：
$40x=(40-10)(x+5)$
化简得：$40x=30x+150$
移项合并同类项得：$10x=150$
解得：$x=15$
总纸鹤数量为：$40×15=600$（只）
答：这个班共折了600只纸鹤。
【答案】
600只
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题目，解题关键是抓住纸鹤总数量不变的隐含等量关系，合理设未知数列方程求解，主要考查学生从实际问题中梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
7.《孙子算经》中有一道实际问题，其内容大意是:今有若干人乘车,若每3人共乘一车,则最终剩余2辆车;若每2人共乘一车,则最终剩余9人无车可乘。问共有多少人?多少辆车?小莹和小亮分别设未知数列方程:
小莹:设人数为$x$,根据车辆数不变列方程$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$;
小亮:设车辆数为$y$,根据人数不变列方程$3(y-2)=2y+9$。
下列说法正确的是(
A.小莹正确,小亮错误
B.小莹错误,小亮正确
C.都正确
D.都不正确
小莹:设人数为$x$,根据车辆数不变列方程$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$;
小亮:设车辆数为$y$,根据人数不变列方程$3(y-2)=2y+9$。
下列说法正确的是(
C
)。A.小莹正确,小亮错误
B.小莹错误,小亮正确
C.都正确
D.都不正确
答案
7.C
解析
【分析】
要判断小莹和小亮所列方程是否正确，需结合二人设置的未知数，分别验证所列方程是否符合对应的等量关系即可：先看小莹的思路，她设人数为x，以车辆数不变为等量关系，可分别用x表示两种乘车方案的总车辆数，验证是否与方程一致；再看小亮的思路，他设车辆数为y，以人数不变为等量关系，可分别用y表示两种乘车方案的总人数，验证方程是否成立。
【解析】
1. 验证小莹的方程：
小莹设总人数为$x$，等量关系为车辆数不变。
第一种乘车方案：每3人共乘一车，剩余2辆车，说明实际使用车辆数比总车辆数少2，由总人数$x=3×(\mathrm{总车辆数}-2)$，变形得总车辆数$=\frac{x}{3}+2$；
第二种乘车方案：每2人共乘一车，剩余9人无车可乘，坐上车的人数为$x-9$，刚好坐满所有车辆，因此总车辆数$=\frac{x-9}{2}$。
根据车辆数不变可列方程$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$，小莹的方程正确。
2. 验证小亮的方程：
小亮设总车辆数为$y$，等量关系为人数不变。
第一种乘车方案：剩余2辆车，实际使用$(y-2)$辆车，每车坐3人，因此总人数$=3(y-2)$；
第二种乘车方案：$y$辆车每车坐2人，共坐$2y$人，加上剩余的9人，总人数$=2y+9$。
根据人数不变可列方程$3(y-2)=2y+9$，小亮的方程也正确。
综上二人列的方程都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次方程；找等量关系；一元一次方程实际应用
【点评】
本题考查一元一次方程的实际应用，解题核心是根据设未知数的角度不同，准确选取对应的不变量作为等量关系列方程，属于基础题型，能锻炼多角度分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要判断小莹和小亮所列方程是否正确，需结合二人设置的未知数，分别验证所列方程是否符合对应的等量关系即可：先看小莹的思路，她设人数为x，以车辆数不变为等量关系，可分别用x表示两种乘车方案的总车辆数，验证是否与方程一致；再看小亮的思路，他设车辆数为y，以人数不变为等量关系，可分别用y表示两种乘车方案的总人数，验证方程是否成立。
【解析】
1. 验证小莹的方程：
小莹设总人数为$x$，等量关系为车辆数不变。
第一种乘车方案：每3人共乘一车，剩余2辆车，说明实际使用车辆数比总车辆数少2，由总人数$x=3×(\mathrm{总车辆数}-2)$，变形得总车辆数$=\frac{x}{3}+2$；
第二种乘车方案：每2人共乘一车，剩余9人无车可乘，坐上车的人数为$x-9$，刚好坐满所有车辆，因此总车辆数$=\frac{x-9}{2}$。
根据车辆数不变可列方程$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$，小莹的方程正确。
2. 验证小亮的方程：
小亮设总车辆数为$y$，等量关系为人数不变。
第一种乘车方案：剩余2辆车，实际使用$(y-2)$辆车，每车坐3人，因此总人数$=3(y-2)$；
第二种乘车方案：$y$辆车每车坐2人，共坐$2y$人，加上剩余的9人，总人数$=2y+9$。
根据人数不变可列方程$3(y-2)=2y+9$，小亮的方程也正确。
综上二人列的方程都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次方程；找等量关系；一元一次方程实际应用
【点评】
本题考查一元一次方程的实际应用，解题核心是根据设未知数的角度不同，准确选取对应的不变量作为等量关系列方程，属于基础题型，能锻炼多角度分析实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
8.明代数学家程大位的《算法统宗》记载了一个问题,大意是:山上有一座古寺,在这座寺庙里,3个和尚合吃一碗饭,4个和尚合分一碗汤,一共用了364只碗。求寺里有多少个和尚。请解决该问题。
答案
8.624个
解析
【分析】
解决这个问题的核心是找到题目中的等量关系：饭碗总数 + 汤碗总数 = 总碗数364。我们可以设寺里和尚的总数量为未知数x，再分别表示出饭碗和汤碗的数量：3个和尚合吃一碗饭，所以饭碗数是总人数除以3；4个和尚合分一碗汤，所以汤碗数是总人数除以4，再根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设寺里有x个和尚。
根据题意，饭碗的数量为$\frac{x}{3}$只，汤碗的数量为$\frac{x}{4}$只，可列方程：
$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 364$
通分计算得：
$\frac{4x + 3x}{12} = 364$
$\frac{7x}{12} = 364$
系数化为1，得：
$x = 364 × \frac{12}{7} = 624$
【答案】
624个
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次方程的求解，等量关系梳理
【点评】
本题源自古代数学典籍，将生活实际问题与方程知识结合，解题的关键是准确梳理不同用途的碗数与总人数的对应关系，进而建立正确的方程求解，难度不高，注重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
解决这个问题的核心是找到题目中的等量关系：饭碗总数 + 汤碗总数 = 总碗数364。我们可以设寺里和尚的总数量为未知数x，再分别表示出饭碗和汤碗的数量：3个和尚合吃一碗饭，所以饭碗数是总人数除以3；4个和尚合分一碗汤，所以汤碗数是总人数除以4，再根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设寺里有x个和尚。
根据题意，饭碗的数量为$\frac{x}{3}$只，汤碗的数量为$\frac{x}{4}$只，可列方程：
$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 364$
通分计算得：
$\frac{4x + 3x}{12} = 364$
$\frac{7x}{12} = 364$
系数化为1，得：
$x = 364 × \frac{12}{7} = 624$
【答案】
624个
【知识点】
一元一次方程的应用，一元一次方程的求解，等量关系梳理
【点评】
本题源自古代数学典籍，将生活实际问题与方程知识结合，解题的关键是准确梳理不同用途的碗数与总人数的对应关系，进而建立正确的方程求解，难度不高，注重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
9.爸爸和小亮饭后在看电视,下面是他们的一段对话。
小亮:爸爸,电视上说年过花甲,什么是花甲呢?
爸爸:花甲就是指人的年龄到了 60 岁,再过几年,你爷爷就到花甲年龄了。
小亮:噢,到时一定要给爷爷过花甲大寿,那还要等几年呢?
爸爸:你来计算一下吧,22 年前,你爷爷的年龄是我年龄的 3 倍,而 10 年前,你爷爷的年龄是我年龄的 2 倍。
小亮:……
你能帮小亮求出他爷爷和他爸爸的年龄吗?
小亮:爸爸,电视上说年过花甲,什么是花甲呢?
爸爸:花甲就是指人的年龄到了 60 岁,再过几年,你爷爷就到花甲年龄了。
小亮:噢,到时一定要给爷爷过花甲大寿,那还要等几年呢?
爸爸:你来计算一下吧,22 年前,你爷爷的年龄是我年龄的 3 倍,而 10 年前,你爷爷的年龄是我年龄的 2 倍。
小亮:……
你能帮小亮求出他爷爷和他爸爸的年龄吗?
答案
解:设爸爸今年x岁,则爸爸和爷爷的年龄可列表表示如下(单位:岁):
| | 爸爸 | 爷爷 |
| ---- | ---- | ---- |
| 10年前年龄 | $x-10$ | $2(x-10)$ |
| 22年前年龄 | $x-22$ | $2(x-10)-12$或$3(x-22)$ |
列方程得$2(x-10)-12=3(x-22)$,解得$x=34$,
所以$2(x-10)=48,48+10=58$(岁)。
答:爷爷今年58岁,爸爸今年34岁。
| | 爸爸 | 爷爷 |
| ---- | ---- | ---- |
| 10年前年龄 | $x-10$ | $2(x-10)$ |
| 22年前年龄 | $x-22$ | $2(x-10)-12$或$3(x-22)$ |
列方程得$2(x-10)-12=3(x-22)$,解得$x=34$,
所以$2(x-10)=48,48+10=58$(岁)。
答:爷爷今年58岁,爸爸今年34岁。
解析
【分析】
这是一道年龄类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住两人年龄差始终不变的特点。我们可以先设爸爸今年的年龄为未知数，再根据题目给出的“10年前爷爷年龄是爸爸的2倍”“22年前爷爷年龄是爸爸的3倍”两个条件，分别用含未知数的式子表示出爷爷22年前的年龄，同一个时间点爷爷的年龄是固定的，因此两个式子相等，即可列出方程求解。
【解析】
解：设爸爸今年$x$岁，根据题意梳理不同时间点的年龄：
10年前爸爸年龄为$(x-10)$岁，此时爷爷年龄为$2(x-10)$岁；
22年前比10年前早$22-10=12$年，因此22年前爷爷的年龄可表示为$2(x-10)-12$岁；
同时22年前爸爸年龄为$(x-22)$岁，爷爷年龄是爸爸的3倍，也可表示为$3(x-22)$岁。
列方程得：
$2(x-10)-12=3(x-22)$
展开计算：$2x-20-12=3x-66$
移项合并同类项得：$x=34$
则爸爸今年34岁，爷爷今年的年龄为$2×(34-10)+10=58$（岁）。
【答案】
爷爷今年58岁，爸爸今年34岁。
【知识点】
一元一次方程应用，年龄问题，等量关系构建
【点评】
本题属于常见的一元一次方程实际应用题型，解题的关键是理清不同时间点两个人年龄的对应关系，抓住年龄差不变的规律找到等量关系，熟练掌握一元一次方程的解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道年龄类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住两人年龄差始终不变的特点。我们可以先设爸爸今年的年龄为未知数，再根据题目给出的“10年前爷爷年龄是爸爸的2倍”“22年前爷爷年龄是爸爸的3倍”两个条件，分别用含未知数的式子表示出爷爷22年前的年龄，同一个时间点爷爷的年龄是固定的，因此两个式子相等，即可列出方程求解。
【解析】
解：设爸爸今年$x$岁，根据题意梳理不同时间点的年龄：
10年前爸爸年龄为$(x-10)$岁，此时爷爷年龄为$2(x-10)$岁；
22年前比10年前早$22-10=12$年，因此22年前爷爷的年龄可表示为$2(x-10)-12$岁；
同时22年前爸爸年龄为$(x-22)$岁，爷爷年龄是爸爸的3倍，也可表示为$3(x-22)$岁。
列方程得：
$2(x-10)-12=3(x-22)$
展开计算：$2x-20-12=3x-66$
移项合并同类项得：$x=34$
则爸爸今年34岁，爷爷今年的年龄为$2×(34-10)+10=58$（岁）。
【答案】
爷爷今年58岁，爸爸今年34岁。
【知识点】
一元一次方程应用，年龄问题，等量关系构建
【点评】
本题属于常见的一元一次方程实际应用题型，解题的关键是理清不同时间点两个人年龄的对应关系，抓住年龄差不变的规律找到等量关系，熟练掌握一元一次方程的解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
