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1. 有理数的分类$\begin{cases}按定义分：\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。\\按正负分：\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。\end{cases}$
答案
按定义分：整数、分数。按正负分：正有理数、负有理数、0。
解析
【分析】
本题考查有理数的两种分类方式，解题时先明确不同分类的依据：①按定义分类时，依据有理数的本质属性，有理数是整数和分数的统称，因此按定义只分为两类；②按正负分类时，依据数的符号属性，需注意0既不是正数也不是负数，因此要单独列为一类，不要遗漏或错把0归到正/负有理数中。
【解析】
根据有理数的分类规则：
1. 按定义划分：有理数由整数和分数两部分组成，因此第一、二空依次填整数、分数；
2. 按正负性质划分：有理数中大于0的是正有理数，小于0的是负有理数，0既不是正有理数也不是负有理数，因此后三空依次填正有理数、负有理数、0。
【答案】
按定义分：整数、分数。按正负分：正有理数、负有理数、0。
【知识点】
有理数的分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对有理数两种分类标准的掌握，需注意两种分类的依据不同，不要混淆，按正负分类时切勿遗漏0，是有理数章节的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数的两种分类方式，解题时先明确不同分类的依据：①按定义分类时，依据有理数的本质属性，有理数是整数和分数的统称，因此按定义只分为两类；②按正负分类时，依据数的符号属性，需注意0既不是正数也不是负数，因此要单独列为一类，不要遗漏或错把0归到正/负有理数中。
【解析】
根据有理数的分类规则：
1. 按定义划分：有理数由整数和分数两部分组成，因此第一、二空依次填整数、分数；
2. 按正负性质划分：有理数中大于0的是正有理数，小于0的是负有理数，0既不是正有理数也不是负有理数，因此后三空依次填正有理数、负有理数、0。
【答案】
按定义分：整数、分数。按正负分：正有理数、负有理数、0。
【知识点】
有理数的分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对有理数两种分类标准的掌握，需注意两种分类的依据不同，不要混淆，按正负分类时切勿遗漏0，是有理数章节的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
2.数轴:数轴三要素为
定义:只有
原点
、正方向
、单位长度
。定义:只有
符号不同
的两个数叫作互为相反数,a的相反数记作-a
,答案
数轴三要素为原点、正方向、单位长度。只有符号不同的两个数叫作互为相反数，a的相反数记作$-a$。
解析
【分析】
这道题属于基础概念识记类题目，解题时只需回忆课本中数轴、相反数的相关基础定义即可作答。首先思考数轴的构成：要在直线上表示数，首先需要确定0的位置即原点，其次要规定数的增大方向即正方向，还要有统一的计量长度标准即单位长度，三者缺一不可，就是数轴的三要素。再回忆相反数的特征：互为相反数的两个数只有符号有区别，数值大小完全相同，由此对应相反数的定义；求任意数a的相反数只需在它前面添加负号，即可得到其表示形式。
【解析】
根据数学定义：
1. 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，因此数轴的三要素为原点、正方向、单位长度；
2. 只有符号不同的两个数叫作互为相反数，任意数a的相反数记作$\boldsymbol{-a}$（0的相反数为0，也符合该表示规则）。
【答案】
数轴三要素为原点、正方向、单位长度。只有符号不同的两个数叫作互为相反数，a的相反数记作$-a$。
【知识点】
数轴的三要素；相反数的定义；相反数的表示
【点评】
本题是基础概念考察题，重点考查对核心基础定义的记忆掌握情况，相关概念是后续学习有理数运算、数轴应用的必备基础，需要牢固识记。
【难度系数】
0.9
这道题属于基础概念识记类题目，解题时只需回忆课本中数轴、相反数的相关基础定义即可作答。首先思考数轴的构成：要在直线上表示数，首先需要确定0的位置即原点，其次要规定数的增大方向即正方向，还要有统一的计量长度标准即单位长度，三者缺一不可，就是数轴的三要素。再回忆相反数的特征：互为相反数的两个数只有符号有区别，数值大小完全相同，由此对应相反数的定义；求任意数a的相反数只需在它前面添加负号，即可得到其表示形式。
【解析】
根据数学定义：
1. 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，因此数轴的三要素为原点、正方向、单位长度；
2. 只有符号不同的两个数叫作互为相反数，任意数a的相反数记作$\boldsymbol{-a}$（0的相反数为0，也符合该表示规则）。
【答案】
数轴三要素为原点、正方向、单位长度。只有符号不同的两个数叫作互为相反数，a的相反数记作$-a$。
【知识点】
数轴的三要素；相反数的定义；相反数的表示
【点评】
本题是基础概念考察题，重点考查对核心基础定义的记忆掌握情况，相关概念是后续学习有理数运算、数轴应用的必备基础，需要牢固识记。
【难度系数】
0.9
例1 完成下列各题。
(1)比较大小：−0.11
(2)在图①所示的数轴上表示下列各数，并用“＜”连接这些数：2.5，−3，4，−$\frac{3}{2}$，0。
(3)将(2)中的有理数填入图②中的圆圈内。
(4)如图③，数轴上的点A、点B、点C、点D对应的有理数分别是整数a,b,c,d，并
满足$c-2a=7$，且四个点中有一个是坐标原点。试问：坐标原点为哪个点？说明理由。
思路导引
(1)根据负数比较大小的法则进行比较即可；
(2)在数轴上表示出各数，这些数从左到右依次变大；
(3)根据有理数的分类进行解答即可；
(4)分别假设A，B，C，D是原点，再根据$c-2a=7$作出判断即可。
归纳总结
本题主要考查的是有理数的概念和大小比较，在解答此题时要注意进行类型归纳，巧妙利用有理数的知识和大小比较的性质。
跟踪练习
(1)比较大小：−0.11
＜
−0.1，−$\frac{3}{2}$ ＜
−$\frac{5}{4}$(填“＞”“＜”或“=”)。(2)在图①所示的数轴上表示下列各数，并用“＜”连接这些数：2.5，−3，4，−$\frac{3}{2}$，0。
(3)将(2)中的有理数填入图②中的圆圈内。
(4)如图③，数轴上的点A、点B、点C、点D对应的有理数分别是整数a,b,c,d，并
满足$c-2a=7$，且四个点中有一个是坐标原点。试问：坐标原点为哪个点？说明理由。
思路导引
(1)根据负数比较大小的法则进行比较即可；
(2)在数轴上表示出各数，这些数从左到右依次变大；
(3)根据有理数的分类进行解答即可；
(4)分别假设A，B，C，D是原点，再根据$c-2a=7$作出判断即可。
归纳总结
本题主要考查的是有理数的概念和大小比较，在解答此题时要注意进行类型归纳，巧妙利用有理数的知识和大小比较的性质。
跟踪练习
答案
解:(1)＜ ＜
(2)
$-3＜-\frac{3}{2}＜0＜2.5＜4$。
(3)
(4)假如点A是原点,则a=0,c=7,此时$b=\frac{21}{4}$,不是整数,故点A不可能是原点；
假如点B是原点,则a=-3,c=1,符合$c-2a=7$,故点B是原点；
假如点C是原点,则$a=-\frac{7}{2}$不是整数,故点C不可能是原点；
假如点D是原点,$c=-\frac{21}{11}$,不是整数,故点D不可能是原点。
综上,点B是原点。
解析
【分析】
(1) 比较两个负数大小遵循“绝对值大的负数反而更小”的规则，先计算两个负数的绝对值，通过比较绝对值的大小即可得到负数的大小关系。
(2) 先将各数对应标注在数轴上，数轴上的数从左到右依次增大，按照数在数轴上从左到右的顺序排列，即可得到从小到大的顺序，用“＜”连接即可。
(3) 明确分类标准：负数是小于0的数，正数是大于0的数，整数包括正整数、0、负整数；两个圆圈重叠的区域表示同时属于两类的数，据此将数填入对应区域即可。
(4) 采用分类讨论的思路，分别假设A、B、C、D为坐标原点，得到对应a的取值后代入$c-2a=7$计算c的值，再验证a、b、c、d是否均为整数，符合条件的假设对应的点就是原点。
【解析】
(1) ① 比较-0.11和-0.1：
计算绝对值：$\left|-0.11\right|=0.11$，$\left|-0.1\right|=0.1$，
因为$0.11＞0.1$，根据负数比较大小的规则，得$-0.11 ＜ -0.1$。
② 比较$-\frac{3}{2}$和$-\frac{5}{4}$：
先转化为小数：$-\frac{3}{2}=-1.5$，$-\frac{5}{4}=-1.25$，
计算绝对值：$\left|-1.5\right|=1.5$，$\left|-1.25\right|=1.25$，
因为$1.5＞1.25$，所以$-\frac{3}{2} ＜ -\frac{5}{4}$。
(2) 将2.5、-3、4、$-\frac{3}{2}$、0标注在数轴上，根据数轴上左边的数小于右边的数，即可得到大小关系。
(3) 按照负数、整数、正数的定义，将对应数填入重叠区域或单独区域即可。
(4) 逐一假设验证：
若点A是原点，则$a=0$，代入$c-2a=7$得$c=7$，此时$b=\frac{21}{4}$不是整数，不符合条件；
若点B是原点，则$a=-3$，代入$c-2a=7$得$c=1$，此时a、b、c、d均为整数，符合条件；
若点C是原点，则$c=0$，代入得$a=-\frac{7}{2}$不是整数，不符合条件；
若点D是原点，代入计算得$c=-\frac{21}{11}$不是整数，不符合条件。
综上可得点B为原点。
【答案】
(1)＜ ＜
(2)
$-3＜-\frac{3}{2}＜0＜2.5＜4$
(3)
(4)假如点A是原点,则a=0,c=7,此时$b=\frac{21}{4}$,不是整数,故点A不可能是原点；
假如点B是原点,则a=-3,c=1,符合$c-2a=7$,故点B是原点；
假如点C是原点,则$a=-\frac{7}{2}$不是整数,故点C不可能是原点；
假如点D是原点,$c=-\frac{21}{11}$,不是整数,故点D不可能是原点。
综上,点B是原点。
【知识点】
有理数大小比较；数轴的应用；有理数分类
【点评】
本题综合考察有理数章节的基础知识点，解题时需要熟练掌握负数比较大小的规则，灵活运用数轴的性质和分类讨论思想，注重基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
(1) 比较两个负数大小遵循“绝对值大的负数反而更小”的规则，先计算两个负数的绝对值，通过比较绝对值的大小即可得到负数的大小关系。
(2) 先将各数对应标注在数轴上，数轴上的数从左到右依次增大，按照数在数轴上从左到右的顺序排列，即可得到从小到大的顺序，用“＜”连接即可。
(3) 明确分类标准：负数是小于0的数，正数是大于0的数，整数包括正整数、0、负整数；两个圆圈重叠的区域表示同时属于两类的数，据此将数填入对应区域即可。
(4) 采用分类讨论的思路，分别假设A、B、C、D为坐标原点，得到对应a的取值后代入$c-2a=7$计算c的值，再验证a、b、c、d是否均为整数，符合条件的假设对应的点就是原点。
【解析】
(1) ① 比较-0.11和-0.1：
计算绝对值：$\left|-0.11\right|=0.11$，$\left|-0.1\right|=0.1$，
因为$0.11＞0.1$，根据负数比较大小的规则，得$-0.11 ＜ -0.1$。
② 比较$-\frac{3}{2}$和$-\frac{5}{4}$：
先转化为小数：$-\frac{3}{2}=-1.5$，$-\frac{5}{4}=-1.25$，
计算绝对值：$\left|-1.5\right|=1.5$，$\left|-1.25\right|=1.25$，
因为$1.5＞1.25$，所以$-\frac{3}{2} ＜ -\frac{5}{4}$。
(2) 将2.5、-3、4、$-\frac{3}{2}$、0标注在数轴上，根据数轴上左边的数小于右边的数，即可得到大小关系。
(3) 按照负数、整数、正数的定义，将对应数填入重叠区域或单独区域即可。
(4) 逐一假设验证：
若点A是原点，则$a=0$，代入$c-2a=7$得$c=7$，此时$b=\frac{21}{4}$不是整数，不符合条件；
若点B是原点，则$a=-3$，代入$c-2a=7$得$c=1$，此时a、b、c、d均为整数，符合条件；
若点C是原点，则$c=0$，代入得$a=-\frac{7}{2}$不是整数，不符合条件；
若点D是原点，代入计算得$c=-\frac{21}{11}$不是整数，不符合条件。
综上可得点B为原点。
【答案】
(1)＜ ＜
(2)
$-3＜-\frac{3}{2}＜0＜2.5＜4$
(3)
(4)假如点A是原点,则a=0,c=7,此时$b=\frac{21}{4}$,不是整数,故点A不可能是原点；
假如点B是原点,则a=-3,c=1,符合$c-2a=7$,故点B是原点；
假如点C是原点,则$a=-\frac{7}{2}$不是整数,故点C不可能是原点；
假如点D是原点,$c=-\frac{21}{11}$,不是整数,故点D不可能是原点。
综上,点B是原点。
【知识点】
有理数大小比较；数轴的应用；有理数分类
【点评】
本题综合考察有理数章节的基础知识点，解题时需要熟练掌握负数比较大小的规则，灵活运用数轴的性质和分类讨论思想，注重基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
