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1.把下列各数填入相应的大括号里：
$-3,2.5,1,-0.58,0,\frac{13}{9},0.3$。
整数：$\{ \dots \}$；
分数：$\{ \dots \}$；
正有理数：$\{ \dots \}$；
负有理数：$\{ \dots \}$。
$-3,2.5,1,-0.58,0,\frac{13}{9},0.3$。
整数：$\{ \dots \}$；
分数：$\{ \dots \}$；
正有理数：$\{ \dots \}$；
负有理数：$\{ \dots \}$。
答案
整数：{$-3,1,0,\dots$}；
分数：{$2.5,-0.58,\frac{13}{9},0.3,\dots$}；
正有理数：{$2.5,1,\frac{13}{9},0.3,\dots$}；
负有理数：{$-3,-0.58,\dots$}。
分数：{$2.5,-0.58,\frac{13}{9},0.3,\dots$}；
正有理数：{$2.5,1,\frac{13}{9},0.3,\dots$}；
负有理数：{$-3,-0.58,\dots$}。
解析
【分析】
解题前先明确各类数的定义：①整数包括正整数、0、负整数；②分数包括正分数、负分数，初中阶段有限小数和无限循环小数都可以化成分数形式，因此也属于分数范畴；③正有理数是指大于0的有理数，包含正整数和正分数；④负有理数是指小于0的有理数，包含负整数和负分数，0既不是正数也不是负数。解题时逐个判断给出的数所属的集合，避免漏填或错填。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. 整数判断：-3是负整数，1是正整数，0是整数，因此整数集合为$\{-3,1,0,\dots\}$；
2. 分数判断：$2.5$、$-0.58$、$0.3$是有限小数，可转化为分数，$\frac{13}{9}$是分数，因此分数集合为$\{2.5,-0.58,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
3. 正有理数判断：大于0的有理数有$2.5$、$1$、$\frac{13}{9}$、$0.3$，因此正有理数集合为$\{2.5,1,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
4. 负有理数判断：小于0的有理数有$-3$、$-0.58$，因此负有理数集合为$\{-3,-0.58,\dots\}$。
【答案】
整数：$\{-3,1,0,\dots\}$；
分数：$\{2.5,-0.58,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
正有理数：$\{2.5,1,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
负有理数：$\{-3,-0.58,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类；整数的定义；分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题核心是准确把握各类数的定义，尤其要注意有限小数属于分数范畴，0既不属于正有理数也不属于负有理数，分类时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.85
解题前先明确各类数的定义：①整数包括正整数、0、负整数；②分数包括正分数、负分数，初中阶段有限小数和无限循环小数都可以化成分数形式，因此也属于分数范畴；③正有理数是指大于0的有理数，包含正整数和正分数；④负有理数是指小于0的有理数，包含负整数和负分数，0既不是正数也不是负数。解题时逐个判断给出的数所属的集合，避免漏填或错填。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. 整数判断：-3是负整数，1是正整数，0是整数，因此整数集合为$\{-3,1,0,\dots\}$；
2. 分数判断：$2.5$、$-0.58$、$0.3$是有限小数，可转化为分数，$\frac{13}{9}$是分数，因此分数集合为$\{2.5,-0.58,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
3. 正有理数判断：大于0的有理数有$2.5$、$1$、$\frac{13}{9}$、$0.3$，因此正有理数集合为$\{2.5,1,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
4. 负有理数判断：小于0的有理数有$-3$、$-0.58$，因此负有理数集合为$\{-3,-0.58,\dots\}$。
【答案】
整数：$\{-3,1,0,\dots\}$；
分数：$\{2.5,-0.58,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
正有理数：$\{2.5,1,\frac{13}{9},0.3,\dots\}$；
负有理数：$\{-3,-0.58,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类；整数的定义；分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题核心是准确把握各类数的定义，尤其要注意有限小数属于分数范畴，0既不属于正有理数也不属于负有理数，分类时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.85
2. 数轴上点A,B,C的位置如图所示。请回答下列问题：
(1)表示有理数-3的是点
(2)在数轴上标出点D,E,其中点D,E分别表示有理数$-\frac{5}{2}$和1.5；
(3)将$-3,0,-\frac{5}{2},1.5$用“＜”连接：
(1)表示有理数-3的是点
A
,将点C向左移动4个单位长度得到点$C'$,则点$C'$表示的有理数是-2
；(2)在数轴上标出点D,E,其中点D,E分别表示有理数$-\frac{5}{2}$和1.5；
(3)将$-3,0,-\frac{5}{2},1.5$用“＜”连接：
$-3＜-\frac{5}{2}＜0＜1.5$
答案
(1)A -2
(2)
，点D,E即为所求。(3)$-3＜-\frac{5}{2}＜0＜1.5$
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：先观察数轴上各点对应的数值，找到对应-3的点；再根据数轴上点向左平移时数值减少的规律，计算点C平移后对应的数。
2. 解决第(2)问：先把分数$-\frac{5}{2}$转化为小数-2.5，再分别找到-2.5（在-3和-2的中点处）、1.5（在1和2的中点处）在数轴上的位置标注即可。
3. 解决第(3)问：根据有理数比较大小的规则：负数＜0＜正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，对给出的四个数排序即可。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点A对应的数是-3，因此表示有理数-3的是点A；点C对应的数是2，向左移动4个单位长度，得到的数为$2-4=-2$，即点$C'$表示的有理数是-2。
(2) 先换算：$-\frac{5}{2}=-2.5$，在数轴上-3和-2的中点位置标注点D，在1和2的中点位置标注点E，标注结果如参考图所示。
(3) 先比较两个负数的大小：$|-3|=3$，$|-\frac{5}{2}|=2.5$，因为$3＞2.5$，所以$-3＜-\frac{5}{2}$；再根据负数小于0，0小于正数的规则，可得完整排序：$-3＜-\frac{5}{2}＜0＜1.5$。
【答案】
(1)A -2
(2)，点D,E即为所求。
(3)$-3＜-\frac{5}{2}＜0＜1.5$
【知识点】
数轴的认识，有理数大小比较，数轴上点的平移
【点评】
本题是数轴的基础应用类题目，核心考察数轴的基本性质和有理数大小比较的规则，题型较为基础，熟练掌握相关概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：先观察数轴上各点对应的数值，找到对应-3的点；再根据数轴上点向左平移时数值减少的规律，计算点C平移后对应的数。
2. 解决第(2)问：先把分数$-\frac{5}{2}$转化为小数-2.5，再分别找到-2.5（在-3和-2的中点处）、1.5（在1和2的中点处）在数轴上的位置标注即可。
3. 解决第(3)问：根据有理数比较大小的规则：负数＜0＜正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，对给出的四个数排序即可。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点A对应的数是-3，因此表示有理数-3的是点A；点C对应的数是2，向左移动4个单位长度，得到的数为$2-4=-2$，即点$C'$表示的有理数是-2。
(2) 先换算：$-\frac{5}{2}=-2.5$，在数轴上-3和-2的中点位置标注点D，在1和2的中点位置标注点E，标注结果如参考图所示。
(3) 先比较两个负数的大小：$|-3|=3$，$|-\frac{5}{2}|=2.5$，因为$3＞2.5$，所以$-3＜-\frac{5}{2}$；再根据负数小于0，0小于正数的规则，可得完整排序：$-3＜-\frac{5}{2}＜0＜1.5$。
【答案】
(1)A -2
(2)
，点D,E即为所求。(3)$-3＜-\frac{5}{2}＜0＜1.5$
【知识点】
数轴的认识，有理数大小比较，数轴上点的平移
【点评】
本题是数轴的基础应用类题目，核心考察数轴的基本性质和有理数大小比较的规则，题型较为基础，熟练掌握相关概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
例2 已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A到原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有哪些？
思路导引
首先根据点A和原点的距离为2，求出点A对应的数可能是2，也可能是－2。再进一步根据A和B两点之间的距离为1，求得点B对应的所有数。
归纳总结
此题考查了数轴的有关知识，主要包括点和数之间的对应关系，同时，考查了数轴上点与点之间距离的应用。
跟踪练习
思路导引
首先根据点A和原点的距离为2，求出点A对应的数可能是2，也可能是－2。再进一步根据A和B两点之间的距离为1，求得点B对应的所有数。
归纳总结
此题考查了数轴的有关知识，主要包括点和数之间的对应关系，同时，考查了数轴上点与点之间距离的应用。
跟踪练习
答案
解:当点A表示的数为2时,点B对应的数为1或3；
当点A表示的数为-2时,点B对应的数为-3或-1。
当点A表示的数为-2时,点B对应的数为-3或-1。
解析
【分析】
解题时先运用绝对值的几何意义确定点A的所有可能取值：点到原点的距离等于该点对应数的绝对值，因此到原点距离为2的点A对应数有2和-2两种情况；再结合数轴上两点间距离的含义，到点A距离为1的点B分别在点A的左侧和右侧，分两种情况计算对应的B值即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
解：
∵ 点A到原点的距离为2
∴ 点A对应的数为2或-2
① 当点A表示的数为2时：
点B在A左侧时，对应数为 $2 - 1 = 1$
点B在A右侧时，对应数为 $2 + 1 = 3$
② 当点A表示的数为-2时：
点B在A左侧时，对应数为 $-2 - 1 = -3$
点B在A右侧时，对应数为 $-2 + 1 = -1$
【答案】
满足条件的点B对应的数为-3、-1、1、3
【知识点】
1. 数轴的认识
2. 绝对值的几何意义
3. 数轴上两点距离计算
【点评】
本题主要考查对数轴相关概念的理解，解题需用到分类讨论思想，易错点是遗漏点A的两种可能取值，或者遗漏每个A值对应的两个B值，做题时要注意有序枚举所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先运用绝对值的几何意义确定点A的所有可能取值：点到原点的距离等于该点对应数的绝对值，因此到原点距离为2的点A对应数有2和-2两种情况；再结合数轴上两点间距离的含义，到点A距离为1的点B分别在点A的左侧和右侧，分两种情况计算对应的B值即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
解：
∵ 点A到原点的距离为2
∴ 点A对应的数为2或-2
① 当点A表示的数为2时：
点B在A左侧时，对应数为 $2 - 1 = 1$
点B在A右侧时，对应数为 $2 + 1 = 3$
② 当点A表示的数为-2时：
点B在A左侧时，对应数为 $-2 - 1 = -3$
点B在A右侧时，对应数为 $-2 + 1 = -1$
【答案】
满足条件的点B对应的数为-3、-1、1、3
【知识点】
1. 数轴的认识
2. 绝对值的几何意义
3. 数轴上两点距离计算
【点评】
本题主要考查对数轴相关概念的理解，解题需用到分类讨论思想，易错点是遗漏点A的两种可能取值，或者遗漏每个A值对应的两个B值，做题时要注意有序枚举所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3.在数轴上，点A表示的数是－1，将点A沿数轴移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数是
-4或2
。答案
-4或2
解析
【分析】
解题时首先要明确数轴上点的移动存在两种方向：向左移动和向右移动，题目未指明移动方向，因此需要分两种情况讨论。数轴上点向右移动时，对应的数增大，移动几个单位就加几；向左移动时，对应的数减小，移动几个单位就减几。结合点A表示的数是-1，分别计算两种移动情况下点B对应的数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点A沿数轴向右移动3个单位长度到达点B：
点B表示的数为 $-1 + 3 = 2$
2. 若点A沿数轴向左移动3个单位长度到达点B：
点B表示的数为 $-1 - 3 = -4$
综上，点B表示的数是-4或2。
【答案】
-4或2
【知识点】
数轴上点的平移；有理数加减运算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略移动方向的不确定性，仅计算其中一种移动情况导致漏解。解题时遇到未指明移动方向的数轴平移问题，一定要考虑左右两种移动情况，全面分析得到所有可能的结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确数轴上点的移动存在两种方向：向左移动和向右移动，题目未指明移动方向，因此需要分两种情况讨论。数轴上点向右移动时，对应的数增大，移动几个单位就加几；向左移动时，对应的数减小，移动几个单位就减几。结合点A表示的数是-1，分别计算两种移动情况下点B对应的数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点A沿数轴向右移动3个单位长度到达点B：
点B表示的数为 $-1 + 3 = 2$
2. 若点A沿数轴向左移动3个单位长度到达点B：
点B表示的数为 $-1 - 3 = -4$
综上，点B表示的数是-4或2。
【答案】
-4或2
【知识点】
数轴上点的平移；有理数加减运算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略移动方向的不确定性，仅计算其中一种移动情况导致漏解。解题时遇到未指明移动方向的数轴平移问题，一定要考虑左右两种移动情况，全面分析得到所有可能的结果。
【难度系数】
0.6
4.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示。
(1)在数轴上分别用A,B两点表示−a,−b。
(2)若表示数b与−b的点相距20个单位长度,则b与−b分别是什么?
(3)在(2)的条件下,若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度,则a与−a分别是多少?
例3 已知|a|=10,|b|=20,且a＞b,试求出所有可能的a和b的值。
(1)在数轴上分别用A,B两点表示−a,−b。
(2)若表示数b与−b的点相距20个单位长度,则b与−b分别是什么?
(3)在(2)的条件下,若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度,则a与−a分别是多少?
例3 已知|a|=10,|b|=20,且a＞b,试求出所有可能的a和b的值。
答案
(1)
(2)表示数b与其相反数的点相距20个单位长度,则表示b的点到原点的距离为$20÷2=10$,所以b是-10,-b是10。
(3)因为表示-b的点到原点的距离为10,而表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度,所以表示a的点到原点的距离为$10-5=5$,所以a是5,-a是-5。
例3答案：$a=10,b=-20$或$a=-10,b=-20$。
解析
【分析】
解决这道题我们可以结合数轴的性质和相反数、绝对值的概念逐步推导：
1. 第(1)问：根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等，据此就能在数轴上找到-a和-b对应的点A、B。
2. 第(2)问：互为相反数的两个点到原点的距离相等，所以两点之间的距离是其中一个点到原点距离的2倍，先算出b到原点的距离，再结合b在原点左侧是负数，就能得到b和-b的值。
3. 第(3)问：已知-b的值，结合a和-b的距离，再根据数轴上a的位置在原点右侧、且在-b左侧，就能算出a的值，进而得到-a。
对于例3：先根据绝对值的性质得到a、b所有可能的取值，再结合a＞b的条件筛选出符合要求的取值即可。
【解析】
(1) 因为互为相反数的两个数到原点的距离相等，分别在原点两侧：a在原点右侧，所以-a在原点左侧，与a到原点距离相等，标记为点A；b在原点左侧，所以-b在原点右侧，与b到原点距离相等，标记为点B。
(2) 互为相反数的两个点到原点的距离相等，已知b与-b相距20个单位长度，所以b到原点的距离为$20÷2=10$。又因为从数轴可知b＜0，所以$b=-10$，则$-b=10$。
(3) 由(2)可知$-b=10$，已知a与-b相距5个单位长度，且从数轴可知$0＜a＜10$，所以$a=10-5=5$，则$-a=-5$。
例3：
由绝对值的性质可得：$|a|=10$，所以$a=10$或$a=-10$；$|b|=20$，所以$b=20$或$b=-20$。
已知$a＞b$：
当$a=10$时，$10＞20$不成立，$10＞-20$成立，所以此时$b=-20$；
当$a=-10$时，$-10＞20$不成立，$-10＞-20$成立，所以此时$b=-20$。
综上得到所有符合条件的取值。
【答案】
(1)
(2)b是-10，-b是10。
(3)a是5，-a是-5。
例3：$a=10,b=-20$或$a=-10,b=-20$。
【知识点】
数轴的应用，相反数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题依托数轴考查有理数的相关基础概念，将数与形结合，能更直观地判断数的正负、大小和距离关系，是对有理数基础概念的综合考查，掌握相反数、绝对值的几何意义是解题关键。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以结合数轴的性质和相反数、绝对值的概念逐步推导：
1. 第(1)问：根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等，据此就能在数轴上找到-a和-b对应的点A、B。
2. 第(2)问：互为相反数的两个点到原点的距离相等，所以两点之间的距离是其中一个点到原点距离的2倍，先算出b到原点的距离，再结合b在原点左侧是负数，就能得到b和-b的值。
3. 第(3)问：已知-b的值，结合a和-b的距离，再根据数轴上a的位置在原点右侧、且在-b左侧，就能算出a的值，进而得到-a。
对于例3：先根据绝对值的性质得到a、b所有可能的取值，再结合a＞b的条件筛选出符合要求的取值即可。
【解析】
(1) 因为互为相反数的两个数到原点的距离相等，分别在原点两侧：a在原点右侧，所以-a在原点左侧，与a到原点距离相等，标记为点A；b在原点左侧，所以-b在原点右侧，与b到原点距离相等，标记为点B。
(2) 互为相反数的两个点到原点的距离相等，已知b与-b相距20个单位长度，所以b到原点的距离为$20÷2=10$。又因为从数轴可知b＜0，所以$b=-10$，则$-b=10$。
(3) 由(2)可知$-b=10$，已知a与-b相距5个单位长度，且从数轴可知$0＜a＜10$，所以$a=10-5=5$，则$-a=-5$。
例3：
由绝对值的性质可得：$|a|=10$，所以$a=10$或$a=-10$；$|b|=20$，所以$b=20$或$b=-20$。
已知$a＞b$：
当$a=10$时，$10＞20$不成立，$10＞-20$成立，所以此时$b=-20$；
当$a=-10$时，$-10＞20$不成立，$-10＞-20$成立，所以此时$b=-20$。
综上得到所有符合条件的取值。
【答案】
(1)
(2)b是-10，-b是10。
(3)a是5，-a是-5。
例3：$a=10,b=-20$或$a=-10,b=-20$。
【知识点】
数轴的应用，相反数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题依托数轴考查有理数的相关基础概念，将数与形结合，能更直观地判断数的正负、大小和距离关系，是对有理数基础概念的综合考查，掌握相反数、绝对值的几何意义是解题关键。
【难度系数】
0.7
