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|变式训练2| 在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，∠A = 50°，那么∠C =
130
°答案
130
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰梯形相关性质和平行线的性质：首先，等腰梯形的两底平行，平行直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补；其次，等腰梯形同一底上的两个内角相等。我们可以先利用平行线的同旁内角互补求出与∠A同旁的内角∠B的度数，再利用等腰梯形同一底上内角相等的性质得到∠C的度数，也可以直接推导得出等腰梯形对角互补的关系快速计算。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，
∴ ∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ 等腰梯形同一底上的两个内角相等，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠A + ∠C = 180°，
已知∠A=50°，代入得：
∠C = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130
【知识点】
等腰梯形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查等腰梯形性质与平行线性质的结合应用，熟练掌握几何图形的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰梯形相关性质和平行线的性质：首先，等腰梯形的两底平行，平行直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补；其次，等腰梯形同一底上的两个内角相等。我们可以先利用平行线的同旁内角互补求出与∠A同旁的内角∠B的度数，再利用等腰梯形同一底上内角相等的性质得到∠C的度数，也可以直接推导得出等腰梯形对角互补的关系快速计算。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，
∴ ∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ 等腰梯形同一底上的两个内角相等，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠A + ∠C = 180°，
已知∠A=50°，代入得：
∠C = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130
【知识点】
等腰梯形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查等腰梯形性质与平行线性质的结合应用，熟练掌握几何图形的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1.一组对边平行，且对角线相等的四边形是（
A.等腰梯形
B.矩形
C.正方形
D.等腰梯形或矩形
D
）A.等腰梯形
B.矩形
C.正方形
D.等腰梯形或矩形
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确“一组对边平行”的四边形包含两类情况：只有一组对边平行的梯形，以及两组对边都平行的平行四边形，我们需要分别对应两种情况推导符合对角线相等条件的图形，再结合选项判断即可。第一步先分析梯形的情况：对角线相等的梯形是等腰梯形，符合条件；第二步分析平行四边形的情况：对角线相等的平行四边形是矩形，也符合条件；同时要注意正方形需要额外满足邻边相等、对角线互相垂直等条件，题干没有相关描述，因此不符合。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 若该四边形只有一组对边平行，则它是梯形，根据等腰梯形的判定定理：对角线相等的梯形是等腰梯形，因此此时该四边形为等腰梯形；
2. 若该四边形两组对边都平行，则它是平行四边形，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，因此此时该四边形为矩形。
综上，满足条件的四边形是等腰梯形或矩形，选项A、B仅描述了其中一种情况，不全面；选项C的正方形需要满足邻边相等、对角线互相垂直等额外条件，题干未给出，不符合要求。因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰梯形的判定、矩形的判定、四边形分类
【点评】
本题容易出现的错误是忽略“一组对边平行”包含的两种情况，仅想到梯形或者仅想到平行四边形，从而错选A或B，解题时要注意分类讨论思想的运用，全面考虑所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确“一组对边平行”的四边形包含两类情况：只有一组对边平行的梯形，以及两组对边都平行的平行四边形，我们需要分别对应两种情况推导符合对角线相等条件的图形，再结合选项判断即可。第一步先分析梯形的情况：对角线相等的梯形是等腰梯形，符合条件；第二步分析平行四边形的情况：对角线相等的平行四边形是矩形，也符合条件；同时要注意正方形需要额外满足邻边相等、对角线互相垂直等条件，题干没有相关描述，因此不符合。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 若该四边形只有一组对边平行，则它是梯形，根据等腰梯形的判定定理：对角线相等的梯形是等腰梯形，因此此时该四边形为等腰梯形；
2. 若该四边形两组对边都平行，则它是平行四边形，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，因此此时该四边形为矩形。
综上，满足条件的四边形是等腰梯形或矩形，选项A、B仅描述了其中一种情况，不全面；选项C的正方形需要满足邻边相等、对角线互相垂直等额外条件，题干未给出，不符合要求。因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰梯形的判定、矩形的判定、四边形分类
【点评】
本题容易出现的错误是忽略“一组对边平行”包含的两种情况，仅想到梯形或者仅想到平行四边形，从而错选A或B，解题时要注意分类讨论思想的运用，全面考虑所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
2.如果一个四边形四个内角的度数之比是$1:2:2:3$,那么这个四边形是（
A.平行四边形
B.矩形
C.直角梯形
D.等腰梯形
C
）A.平行四边形
B.矩形
C.直角梯形
D.等腰梯形
答案
C
解析
【分析】
首先明确任意四边形的内角和为360°，题目给出了四个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法求出每个内角的具体度数，再结合选项中各类特殊四边形的角的特征，逐一排除不符合的选项，最终确定正确答案。
【解析】
解：
∵ 四边形的内角和为360°，四个内角的度数之比是$1:2:2:3$
∴ 设四个内角的度数分别为$x$、$2x$、$2x$、$3x$，可列方程：
$x+2x+2x+3x=360°$
合并同类项得：$8x=360°$
解得：$x=45°$
因此四个内角的度数分别为：
$45°×1=45°$，$45°×2=90°$，$45°×2=90°$，$45°×3=135°$
逐一分析选项：
A. 平行四边形要求对角相等，该四边形角度不符合，排除；
B. 矩形四个内角均为$90°$，不符合，排除；
C. 直角梯形有一组对边平行，且有两个直角：此处两个$90°$为同旁内角，可推出一组对边平行，符合直角梯形特征；
D. 等腰梯形要求同一底上的内角相等，该四边形角度不符合，排除。
【答案】
C
【知识点】
四边形内角和；特殊四边形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用内角和定理结合比例计算出各内角度数，再对应不同四边形的角的特征判断图形类型，熟练掌握常见特殊四边形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先明确任意四边形的内角和为360°，题目给出了四个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法求出每个内角的具体度数，再结合选项中各类特殊四边形的角的特征，逐一排除不符合的选项，最终确定正确答案。
【解析】
解：
∵ 四边形的内角和为360°，四个内角的度数之比是$1:2:2:3$
∴ 设四个内角的度数分别为$x$、$2x$、$2x$、$3x$，可列方程：
$x+2x+2x+3x=360°$
合并同类项得：$8x=360°$
解得：$x=45°$
因此四个内角的度数分别为：
$45°×1=45°$，$45°×2=90°$，$45°×2=90°$，$45°×3=135°$
逐一分析选项：
A. 平行四边形要求对角相等，该四边形角度不符合，排除；
B. 矩形四个内角均为$90°$，不符合，排除；
C. 直角梯形有一组对边平行，且有两个直角：此处两个$90°$为同旁内角，可推出一组对边平行，符合直角梯形特征；
D. 等腰梯形要求同一底上的内角相等，该四边形角度不符合，排除。
【答案】
C
【知识点】
四边形内角和；特殊四边形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用内角和定理结合比例计算出各内角度数，再对应不同四边形的角的特征判断图形类型，熟练掌握常见特殊四边形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，下列条件中，不能判断梯形$ABCD$是等腰梯形的是（
A.$∠ ABC=∠ DCB$
B.$∠ DBC=∠ ACB$
C.$∠ DAC=∠ DBC$
D.$∠ ACD=∠ DAC$
D
）A.$∠ ABC=∠ DCB$
B.$∠ DBC=∠ ACB$
C.$∠ DAC=∠ DBC$
D.$∠ ACD=∠ DAC$
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确等腰梯形的3种判定方法：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形。题目已经给出AD//BC，确认图形是梯形，只需逐一验证每个选项能否推出上述3种判定条件即可，最终选出无法判定的选项。
【解析】
已知梯形ABCD中AD//BC，逐一分析选项：
A. ∠ABC和∠DCB是底BC上的两个内角，根据“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”，可直接判定梯形ABCD是等腰梯形，A不符合题意；
B. 由∠DBC=∠ACB得OB=OC（等角对等边），又因为AD//BC，所以∠ADB=∠DBC、∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），进而推出∠ADB=∠DAC，得OA=OD，因此OA+OC=OD+OB即AC=BD，根据“对角线相等的梯形是等腰梯形”，可判定是等腰梯形，B不符合题意；
C. 由AD//BC得∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），结合已知∠DAC=∠DBC，可推出∠ACB=∠DBC，后续推导同选项B，可得AC=BD，能判定是等腰梯形，C不符合题意；
D. 由∠ACD=∠DAC仅能推出AD=CD（等角对等边），也就是上底和其中一条腰长度相等，无法推出两腰相等、同一底上两角相等或对角线相等的判定条件，不能判定梯形是等腰梯形，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰梯形的判定；平行线的性质；等角对等边
【点评】
本题围绕等腰梯形的判定设置选项，需要结合平行线、等腰三角形的性质推导边角关系，解题时要注意对已知角的等量转换，避免混淆无关的边角对应关系。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确等腰梯形的3种判定方法：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形。题目已经给出AD//BC，确认图形是梯形，只需逐一验证每个选项能否推出上述3种判定条件即可，最终选出无法判定的选项。
【解析】
已知梯形ABCD中AD//BC，逐一分析选项：
A. ∠ABC和∠DCB是底BC上的两个内角，根据“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”，可直接判定梯形ABCD是等腰梯形，A不符合题意；
B. 由∠DBC=∠ACB得OB=OC（等角对等边），又因为AD//BC，所以∠ADB=∠DBC、∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），进而推出∠ADB=∠DAC，得OA=OD，因此OA+OC=OD+OB即AC=BD，根据“对角线相等的梯形是等腰梯形”，可判定是等腰梯形，B不符合题意；
C. 由AD//BC得∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），结合已知∠DAC=∠DBC，可推出∠ACB=∠DBC，后续推导同选项B，可得AC=BD，能判定是等腰梯形，C不符合题意；
D. 由∠ACD=∠DAC仅能推出AD=CD（等角对等边），也就是上底和其中一条腰长度相等，无法推出两腰相等、同一底上两角相等或对角线相等的判定条件，不能判定梯形是等腰梯形，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰梯形的判定；平行线的性质；等角对等边
【点评】
本题围绕等腰梯形的判定设置选项，需要结合平行线、等腰三角形的性质推导边角关系，解题时要注意对已知角的等量转换，避免混淆无关的边角对应关系。
【难度系数】
0.7
4.如图,等腰梯形ABCD中,AB//DC,AD=BC=8,AB=10,CD=6,则梯形ABCD的面积是（
A.$16\sqrt{15}$
B.$16\sqrt{5}$
C.$32\sqrt{15}$
D.$16\sqrt{17}$
A
）A.$16\sqrt{15}$
B.$16\sqrt{5}$
C.$32\sqrt{15}$
D.$16\sqrt{17}$
答案
A
解析
【分析】
要求等腰梯形的面积，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，已知上底CD=6、下底AB=10，只需要求出梯形的高即可。对于等腰梯形，我们可以通过过上底的两个端点向下底作垂线的辅助线方法，将梯形转化为两个全等的直角三角形和一个矩形，先求出直角三角形的较短直角边长，再利用勾股定理求出高，最后代入公式计算面积。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，过点C作$CF⊥ AB$于点F。
∵$AB// DC$，$DE⊥ AB$，$CF⊥ AB$，
∴四边形DEFC是矩形，$DE=CF$，$EF=CD=6$。
∵梯形ABCD是等腰梯形，$AD=BC$，$∠ A=∠ B$，$∠ DEA=∠ CFB=90°$，
∴$△ ADE≌△ BCF$，
∴$AE=BF=\frac{AB-EF}{2}=\frac{10-6}{2}=2$。
在$Rt△ ADE$中，$AD=8$，$AE=2$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。
∴梯形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×(CD+AB)× DE=\frac{1}{2}×(6+10)×2\sqrt{15}=16\sqrt{15}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰梯形的性质；勾股定理；梯形面积计算
【点评】
本题是梯形面积计算的常规题型，核心解题思路是通过作高将梯形问题转化为熟悉的直角三角形和矩形问题，这种辅助线作法是解决梯形相关问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求等腰梯形的面积，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，已知上底CD=6、下底AB=10，只需要求出梯形的高即可。对于等腰梯形，我们可以通过过上底的两个端点向下底作垂线的辅助线方法，将梯形转化为两个全等的直角三角形和一个矩形，先求出直角三角形的较短直角边长，再利用勾股定理求出高，最后代入公式计算面积。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，过点C作$CF⊥ AB$于点F。
∵$AB// DC$，$DE⊥ AB$，$CF⊥ AB$，
∴四边形DEFC是矩形，$DE=CF$，$EF=CD=6$。
∵梯形ABCD是等腰梯形，$AD=BC$，$∠ A=∠ B$，$∠ DEA=∠ CFB=90°$，
∴$△ ADE≌△ BCF$，
∴$AE=BF=\frac{AB-EF}{2}=\frac{10-6}{2}=2$。
在$Rt△ ADE$中，$AD=8$，$AE=2$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。
∴梯形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×(CD+AB)× DE=\frac{1}{2}×(6+10)×2\sqrt{15}=16\sqrt{15}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰梯形的性质；勾股定理；梯形面积计算
【点评】
本题是梯形面积计算的常规题型，核心解题思路是通过作高将梯形问题转化为熟悉的直角三角形和矩形问题，这种辅助线作法是解决梯形相关问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5.等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则此梯形的面积是
120
。答案
120
解析
【分析】
要计算等腰梯形的面积，已知上底和下底的长度，根据梯形面积公式$S=(上底+下底)×高÷2$，只需要求出梯形的高即可。首先利用等腰梯形的对称性，过上底两端点向下底作垂线，可将下底分为三段，两侧短段长度相等，再结合对角线长度，用勾股定理就能求出高，最终代入公式算出面积。
【解析】
1. 作辅助线：过等腰梯形上底的两个端点分别向下底作高，垂足将下底分为三段。已知上底长10，下底长20，由等腰梯形的对称性可得，两侧短段的长度均为$(20-10)÷2=5$。
2. 求高：对角线与高、下底上长度为$20-5=15$的线段构成直角三角形，已知对角线长17，根据勾股定理得高$h=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$。
3. 计算面积：代入梯形面积公式，$S=(10+20)×8÷2=120$。
【答案】
120
【知识点】
等腰梯形的性质；勾股定理；梯形面积计算
【点评】
本题解题的核心是通过作高构造直角三角形，将已知的对角线、上下底长度和未知的高建立关联，考察学生对等腰梯形性质的灵活运用能力，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.7
要计算等腰梯形的面积，已知上底和下底的长度，根据梯形面积公式$S=(上底+下底)×高÷2$，只需要求出梯形的高即可。首先利用等腰梯形的对称性，过上底两端点向下底作垂线，可将下底分为三段，两侧短段长度相等，再结合对角线长度，用勾股定理就能求出高，最终代入公式算出面积。
【解析】
1. 作辅助线：过等腰梯形上底的两个端点分别向下底作高，垂足将下底分为三段。已知上底长10，下底长20，由等腰梯形的对称性可得，两侧短段的长度均为$(20-10)÷2=5$。
2. 求高：对角线与高、下底上长度为$20-5=15$的线段构成直角三角形，已知对角线长17，根据勾股定理得高$h=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$。
3. 计算面积：代入梯形面积公式，$S=(10+20)×8÷2=120$。
【答案】
120
【知识点】
等腰梯形的性质；勾股定理；梯形面积计算
【点评】
本题解题的核心是通过作高构造直角三角形，将已知的对角线、上下底长度和未知的高建立关联，考察学生对等腰梯形性质的灵活运用能力，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.7
6.已知高为12的梯形ABCD中，AD//BC，∠B是锐角，AD=8，AB=15，CD=13，那么梯形ABCD的面积为
180或120
。答案
180或120
解析
【分析】
梯形的面积公式为（上底+下底）×高÷2，本题已知上底AD=8、高为12，因此只需求出下底BC的长度即可计算面积。我们可以通过作梯形的两条高，将梯形拆分为1个矩形和2个直角三角形，先利用勾股定理求出两个直角三角形的水平边长，再结合点C的位置分两种情况讨论下底BC的长度，最后代入公式计算面积。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF=12，四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=8。
在Rt△ABE中，AB=15，AE=12，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$。
在Rt△DFC中，CD=13，DF=12，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
分两种情况计算BC的长度：
① 当点C在点F的右侧时：
$BC=BE+EF+FC=9+8+5=22$，
梯形面积$S=\frac{(AD+BC)×高}{2}=\frac{(8+22)×12}{2}=180$。
② 当点C在点F的左侧时（此时∠C为钝角，满足题中仅∠B为锐角的条件）：
$BC=BE+EF-FC=9+8-5=12$，
梯形面积$S=\frac{(8+12)×12}{2}=120$。
【答案】
180或120
【知识点】
梯形面积计算，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略点C在F左侧的情况，解题时要结合已知条件全面考虑图形的多种可能，掌握梯形作高转化为矩形和直角三角形的常用辅助线方法，就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.6
梯形的面积公式为（上底+下底）×高÷2，本题已知上底AD=8、高为12，因此只需求出下底BC的长度即可计算面积。我们可以通过作梯形的两条高，将梯形拆分为1个矩形和2个直角三角形，先利用勾股定理求出两个直角三角形的水平边长，再结合点C的位置分两种情况讨论下底BC的长度，最后代入公式计算面积。
【解析】
解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF=12，四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=8。
在Rt△ABE中，AB=15，AE=12，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$。
在Rt△DFC中，CD=13，DF=12，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
分两种情况计算BC的长度：
① 当点C在点F的右侧时：
$BC=BE+EF+FC=9+8+5=22$，
梯形面积$S=\frac{(AD+BC)×高}{2}=\frac{(8+22)×12}{2}=180$。
② 当点C在点F的左侧时（此时∠C为钝角，满足题中仅∠B为锐角的条件）：
$BC=BE+EF-FC=9+8-5=12$，
梯形面积$S=\frac{(8+12)×12}{2}=120$。
【答案】
180或120
【知识点】
梯形面积计算，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略点C在F左侧的情况，解题时要结合已知条件全面考虑图形的多种可能，掌握梯形作高转化为矩形和直角三角形的常用辅助线方法，就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.6
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$CE$和$BD$分别为两个底角的平分线。求证:四边形$BCDE$是等腰梯形。
答案
证明:$\because AB=AC$,BD,CE是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ECB$。
又$\because BC=CB$,
$\therefore △ EBC≌△ DCB(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BE=CD$,
$\therefore AE=AD$,
$\therefore ∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$。
$\because ∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$,
$\therefore ∠ AED=∠ ABC$,
$\therefore DE// BC$,
$\therefore$ 四边形$BCDE$是等腰梯形。
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ECB$。
又$\because BC=CB$,
$\therefore △ EBC≌△ DCB(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BE=CD$,
$\therefore AE=AD$,
$\therefore ∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$。
$\because ∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$,
$\therefore ∠ AED=∠ ABC$,
$\therefore DE// BC$,
$\therefore$ 四边形$BCDE$是等腰梯形。
解析
【分析】
要证明四边形BCDE是等腰梯形，首先回忆等腰梯形的判定规则：需要先证明四边形是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行），再证明不平行的一组对边相等，或同一底上的两个内角相等。首先结合已知条件，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB，结合BD、CE是底角的角平分线，可推出∠DBC=∠ECB，进而可通过ASA证明△EBC≌△DCB，得到BE=CD；接下来需要证明DE//BC，可通过AB-BE=AC-CD得到AE=AD，即△AED也是等腰三角形，它和△ABC有公共顶角∠A，因此两个三角形的底角相等，即∠AED=∠ABC，由同位角相等即可推出DE//BC，最后结合BE、CD不平行且相等，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AB=AC$，BD，CE是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$，$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ECB=\frac{1}{2}∠ACB$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ECB$。
又$\because BC=CB$,
$\therefore △ EBC≌△ DCB(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BE=CD$,
$\therefore AB-BE=AC-CD$，即$AE=AD$,
$\therefore ∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$。
$\because ∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$,
$\therefore ∠ AED=∠ ABC$,
$\therefore DE// BC$,
又$\because BE$与$CD$不平行，且$BE=CD$,
$\therefore$ 四边形$BCDE$是等腰梯形。
【答案】
四边形$BCDE$是等腰梯形，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的判定
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，串联了等腰三角形、全等三角形、等腰梯形三类图形的性质与判定，解题的关键是明确等腰梯形的判定条件，逐步推导所需的边、角关系，熟练掌握基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明四边形BCDE是等腰梯形，首先回忆等腰梯形的判定规则：需要先证明四边形是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行），再证明不平行的一组对边相等，或同一底上的两个内角相等。首先结合已知条件，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB，结合BD、CE是底角的角平分线，可推出∠DBC=∠ECB，进而可通过ASA证明△EBC≌△DCB，得到BE=CD；接下来需要证明DE//BC，可通过AB-BE=AC-CD得到AE=AD，即△AED也是等腰三角形，它和△ABC有公共顶角∠A，因此两个三角形的底角相等，即∠AED=∠ABC，由同位角相等即可推出DE//BC，最后结合BE、CD不平行且相等，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AB=AC$，BD，CE是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$，$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ECB=\frac{1}{2}∠ACB$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ECB$。
又$\because BC=CB$,
$\therefore △ EBC≌△ DCB(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BE=CD$,
$\therefore AB-BE=AC-CD$，即$AE=AD$,
$\therefore ∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$。
$\because ∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$,
$\therefore ∠ AED=∠ ABC$,
$\therefore DE// BC$,
又$\because BE$与$CD$不平行，且$BE=CD$,
$\therefore$ 四边形$BCDE$是等腰梯形。
【答案】
四边形$BCDE$是等腰梯形，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的判定
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，串联了等腰三角形、全等三角形、等腰梯形三类图形的性质与判定，解题的关键是明确等腰梯形的判定条件，逐步推导所需的边、角关系，熟练掌握基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8.如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD,垂足为E。
(1)求证:DA=DE;
(2)若AD=2,BC=6,求AB。
(1)求证:DA=DE;
(2)若AD=2,BC=6,求AB。
答案
(1)证明:$\because BC=CD$,
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB$。
又$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CDB$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ EDB$中,
$\begin{cases}∠ DAB=∠ DEB,\\∠ ADB=∠ EDB,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ EDB(\mathrm{AAS})$,
从而可得结论$DA=DE$。
(2)解:由(1)得$DA=DE$,
故可得$AD=DE=2,BC=CD=6$,
则$EC=CD-DE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,$BE=\sqrt{BC^2-EC^2}=2\sqrt{5}$。
$\because △ ADB≌△ EDB$,
$\therefore AB=BE=2\sqrt{5}$。
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB$。
又$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CDB$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ EDB$中,
$\begin{cases}∠ DAB=∠ DEB,\\∠ ADB=∠ EDB,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ EDB(\mathrm{AAS})$,
从而可得结论$DA=DE$。
(2)解:由(1)得$DA=DE$,
故可得$AD=DE=2,BC=CD=6$,
则$EC=CD-DE=4$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,$BE=\sqrt{BC^2-EC^2}=2\sqrt{5}$。
$\because △ ADB≌△ EDB$,
$\therefore AB=BE=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1)要证明DA=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DA在Rt△ADB中，DE在Rt△EDB中，首先利用等腰三角形等边对等角和平行线的性质，推导得到∠ADB=∠CDB，再结合两个直角和公共边BD，即可证明两个三角形全等，从而得到DA=DE。
(2)求AB的长度，由(1)的全等可得AB=BE，因此只需计算BE的长度即可。先根据已知线段长度求出EC的长，再在Rt△BEC中利用勾股定理计算BE，即可得到AB的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because BC=CD$，
$\therefore ∠CBD=∠CDB$。
又$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADB=∠CBD$，
$\therefore ∠ADB=∠CDB$。
在$\mathrm{Rt}△ADB$和$\mathrm{Rt}△EDB$中，
$\begin{cases}∠DAB=∠DEB,\\∠ADB=∠EDB,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ADB≌△EDB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DA=DE$。
(2)解：
由(1)的全等结论可得$DA=DE$，$AB=BE$。
已知$AD=2$，$BC=CD=6$，
$\therefore DE=2$，$EC=CD-DE=6-2=4$。
在$\mathrm{Rt}△BEC$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2-EC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$\therefore AB=BE=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明成立，$DA=DE$；
(2) $AB=2\sqrt{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是梯形背景下的基础几何综合题，将全等三角形证明与勾股定理应用结合，核心是通过角的等量推导找到全等三角形，利用全等性质完成线段转化，解题时要注意公共边等隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明DA=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知DA在Rt△ADB中，DE在Rt△EDB中，首先利用等腰三角形等边对等角和平行线的性质，推导得到∠ADB=∠CDB，再结合两个直角和公共边BD，即可证明两个三角形全等，从而得到DA=DE。
(2)求AB的长度，由(1)的全等可得AB=BE，因此只需计算BE的长度即可。先根据已知线段长度求出EC的长，再在Rt△BEC中利用勾股定理计算BE，即可得到AB的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because BC=CD$，
$\therefore ∠CBD=∠CDB$。
又$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADB=∠CBD$，
$\therefore ∠ADB=∠CDB$。
在$\mathrm{Rt}△ADB$和$\mathrm{Rt}△EDB$中，
$\begin{cases}∠DAB=∠DEB,\\∠ADB=∠EDB,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ADB≌△EDB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DA=DE$。
(2)解：
由(1)的全等结论可得$DA=DE$，$AB=BE$。
已知$AD=2$，$BC=CD=6$，
$\therefore DE=2$，$EC=CD-DE=6-2=4$。
在$\mathrm{Rt}△BEC$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2-EC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$\therefore AB=BE=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明成立，$DA=DE$；
(2) $AB=2\sqrt{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是梯形背景下的基础几何综合题，将全等三角形证明与勾股定理应用结合，核心是通过角的等量推导找到全等三角形，利用全等性质完成线段转化，解题时要注意公共边等隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
