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9.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,M,N分别是AD,BC的中点,若∠B与∠C互余,则MN与BC−AD的关系是 (
A.$2MN＜BC-AD$
B.$2MN＞BC-AD$
C.$2MN=BC-AD$
D.$MN=2(BC-AD)$
C
)A.$2MN＜BC-AD$
B.$2MN＞BC-AD$
C.$2MN=BC-AD$
D.$MN=2(BC-AD)$
答案
C 解析:延长BA,CD,两延长线相交于点P,连接PM,PN。
$\because ∠ B+∠ C=90°$,
$\therefore ∠ P=90°$。
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ PAD=∠ B$,
而M,N分别是AD,BC的中点,
$\therefore AM=MP,BN=PN$,
$\therefore ∠ B=∠ BPN,∠ PAD=∠ APM$,
$\therefore ∠ APM=∠ BPN$,
$\therefore P,M,N$三点共线。
$\because M$是$AD$的中点,$∠ P=90°$,
$\therefore PM=\frac{1}{2}AD$。
同理:$PN=\frac{1}{2}BC$。
$\because PN-PM=\frac{1}{2}(BC-AD)$,
$\therefore MN=\frac{1}{2}(BC-AD)$,
$\therefore 2MN=BC-AD$。
解析
【分析】
本题已知梯形中∠B与∠C互余，可通过延长两腰构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解线段关系。思考步骤：①两角互余可推出对应三角形为直角三角形，因此延长BA、CD交于点P，得到Rt△PBC；②由AD//BC可推出△PAD也是直角三角形；③M、N分别是两个直角三角形斜边的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得到PM与AD、PN与BC的数量关系；④证明P、M、N三点共线后，MN即为PN与PM的差，整理即可得到MN与BC-AD的关系。
【解析】
解：延长BA、CD，两延长线相交于点P，连接PM、PN。
$\because ∠B+∠C=90°$，
$\therefore$ 在$△ PBC$中，$∠P=180°-(∠B+∠C)=90°$，即$△ PBC$为直角三角形。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠PAD=∠B$，
$\therefore ∠PAD+∠PDA=∠B+∠C=90°$，即$△ PAD$也为直角三角形。
$\because M$是$AD$的中点，在$Rt△ PAD$中斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore PM=\frac{1}{2}AD$，且$∠APM=∠PAD$。
$\because N$是$BC$的中点，同理在$Rt△ PBC$中，
$\therefore PN=\frac{1}{2}BC$，且$∠BPN=∠B$。
结合$∠PAD=∠B$，可得$∠APM=∠BPN$，因此$P、M、N$三点共线。
$\therefore MN=PN-PM=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(BC-AD)$，
整理得$2MN=BC-AD$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，平行线的性质，梯形的性质
【点评】
本题核心是利用“两角互余”的条件构造直角三角形，将梯形中的线段关系转化为直角三角形斜边中线的差，解题关键是合理添加辅助线并证明三点共线，能很好地考查几何辅助线构造能力和性质综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题已知梯形中∠B与∠C互余，可通过延长两腰构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解线段关系。思考步骤：①两角互余可推出对应三角形为直角三角形，因此延长BA、CD交于点P，得到Rt△PBC；②由AD//BC可推出△PAD也是直角三角形；③M、N分别是两个直角三角形斜边的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得到PM与AD、PN与BC的数量关系；④证明P、M、N三点共线后，MN即为PN与PM的差，整理即可得到MN与BC-AD的关系。
【解析】
解：延长BA、CD，两延长线相交于点P，连接PM、PN。
$\because ∠B+∠C=90°$，
$\therefore$ 在$△ PBC$中，$∠P=180°-(∠B+∠C)=90°$，即$△ PBC$为直角三角形。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠PAD=∠B$，
$\therefore ∠PAD+∠PDA=∠B+∠C=90°$，即$△ PAD$也为直角三角形。
$\because M$是$AD$的中点，在$Rt△ PAD$中斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore PM=\frac{1}{2}AD$，且$∠APM=∠PAD$。
$\because N$是$BC$的中点，同理在$Rt△ PBC$中，
$\therefore PN=\frac{1}{2}BC$，且$∠BPN=∠B$。
结合$∠PAD=∠B$，可得$∠APM=∠BPN$，因此$P、M、N$三点共线。
$\therefore MN=PN-PM=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}(BC-AD)$，
整理得$2MN=BC-AD$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，平行线的性质，梯形的性质
【点评】
本题核心是利用“两角互余”的条件构造直角三角形，将梯形中的线段关系转化为直角三角形斜边中线的差，解题关键是合理添加辅助线并证明三点共线，能很好地考查几何辅助线构造能力和性质综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10.如图,已知在四边形ABCD中,$AB// CD$,$∠ D=2∠ B$,$AD=16$,$CD=9$。
(1)如果$∠ A=60°$,求证:四边形ABCD是等腰梯形；
(2)求AB的长。
(1)如果$∠ A=60°$,求证:四边形ABCD是等腰梯形；
(2)求AB的长。
答案
(1)证明:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ A+∠ D=180°$。
$\because ∠ A=60°$,
$\therefore ∠ D=120°$。
$\because ∠ D=2∠ B$,
$\therefore ∠ B=∠ A=60°$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是等腰梯形。
(2)解:过$C$作$CE// AD$交$AB$于$E$。
$\therefore ∠ BEC=∠ A=60°$。
$\because ∠ B=60°$,
$\therefore ∠ BCE=180°-60°-60°=60°$,
$\therefore ∠ B=∠ BEC=∠ BCE$,
$\therefore △ BCE$是等边三角形,
$\therefore BE=CE$。
$\because DC// AB$,
$\therefore$ 四边形$AECD$是平行四边形,
$\therefore AE=DC=9,CE=AD=16$,
$\therefore BE=16$,
$\therefore AB=AE+BE=9+16=25$。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是等腰梯形，已知AB//CD，已满足梯形的定义，只需再证明同一底上的两个内角相等即可。先利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合∠A的度数求出∠D，再根据∠D和∠B的数量关系求出∠B的度数，验证∠A=∠B即可完成证明。
(2) 求AB的长度可采用梯形中常用的平移腰辅助线法：过点C作CE//AD交AB于E，将梯形分割为平行四边形AECD和△BCE。利用平行四边形对边相等的性质得到AE=CD、CE=AD，再结合角度关系证明△BCE是等边三角形，得到BE=CE，最后通过AB=AE+BE代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A+∠ D=180°$。
$\because ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ D=120°$。
$\because ∠ D=2∠ B$，
$\therefore ∠ B=60°$，即$∠ B=∠ A=60°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是等腰梯形。
(2) 解：过$C$作$CE// AD$交$AB$于$E$。
$\because CE//AD$，
$\therefore ∠ BEC=∠ A=60°$。
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BCE=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ B=∠ BEC=∠ BCE$，
$\therefore △ BCE$是等边三角形，
$\therefore BE=CE$。
$\because DC// AB$，$CE//AD$，
$\therefore$ 四边形$AECD$是平行四边形，
$\therefore AE=DC=9$，$CE=AD=16$，
$\therefore BE=CE=16$，
$\therefore AB=AE+BE=9+16=25$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是等腰梯形；
(2) $AB=25$，辅助线如图：
【知识点】
等腰梯形的判定；平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于梯形的基础常规题型，核心考查梯形中平移腰的辅助线构造方法，通过转化将梯形问题变为平行四边形和三角形的问题求解，同时融合了平行线性质、特殊三角形性质等知识点，掌握梯形常见辅助线的做法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ABCD是等腰梯形，已知AB//CD，已满足梯形的定义，只需再证明同一底上的两个内角相等即可。先利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合∠A的度数求出∠D，再根据∠D和∠B的数量关系求出∠B的度数，验证∠A=∠B即可完成证明。
(2) 求AB的长度可采用梯形中常用的平移腰辅助线法：过点C作CE//AD交AB于E，将梯形分割为平行四边形AECD和△BCE。利用平行四边形对边相等的性质得到AE=CD、CE=AD，再结合角度关系证明△BCE是等边三角形，得到BE=CE，最后通过AB=AE+BE代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A+∠ D=180°$。
$\because ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ D=120°$。
$\because ∠ D=2∠ B$，
$\therefore ∠ B=60°$，即$∠ B=∠ A=60°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是等腰梯形。
(2) 解：过$C$作$CE// AD$交$AB$于$E$。
$\because CE//AD$，
$\therefore ∠ BEC=∠ A=60°$。
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BCE=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ B=∠ BEC=∠ BCE$，
$\therefore △ BCE$是等边三角形，
$\therefore BE=CE$。
$\because DC// AB$，$CE//AD$，
$\therefore$ 四边形$AECD$是平行四边形，
$\therefore AE=DC=9$，$CE=AD=16$，
$\therefore BE=CE=16$，
$\therefore AB=AE+BE=9+16=25$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是等腰梯形；
(2) $AB=25$，辅助线如图：
【知识点】
等腰梯形的判定；平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于梯形的基础常规题型，核心考查梯形中平移腰的辅助线构造方法，通过转化将梯形问题变为平行四边形和三角形的问题求解，同时融合了平行线性质、特殊三角形性质等知识点，掌握梯形常见辅助线的做法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11.在梯形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，EF⊥AB于点F，求证：$S_{梯形ABCD}=AB·EF$。
答案
证明:连接$BE$,并延长交$AD$的延长线于点$M$,连接$AE$。
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ CBE=∠ M,∠ C=∠ EDM$。
$\because E$是$DC$的中点,
$\therefore CE=DE,S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABM}$。
在$△ BCE$和$△ MDE$中,
$\begin{cases}∠ CBE=∠ M,\\∠ C=∠ EDM,\\CE=DE,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ MDE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore S_{△ ABM}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}$。
$\because EF⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· EF$,
$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABCD}=AB· EF$。
解析
【分析】
要证明梯形面积等于$AB·EF$，我们可以通过转化思想，将梯形面积转化为熟悉的三角形面积推导。已知E是CD中点，针对梯形腰中点的问题，常用辅助线是延长连接顶点与中点的线段，和另一底的延长线相交构造全等三角形，把梯形转化为等面积的三角形。本题中延长BE交AD延长线于M，先证$△ BCE$和$△ MDE$全等，可得梯形面积等于$△ ABM$的面积；再结合E是BM中点，可得$△ ABE$面积是$△ ABM$的一半，而$△ ABE$的面积可通过底AB和高EF计算，最后通过等量代换就能得到结论。
【解析】
证明：连接$BE$，并延长交$AD$的延长线于点$M$，连接$AE$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ CBE=∠ M$，$∠ C=∠ EDM$。
$\because E$是$DC$的中点，
$\therefore CE=DE$，且$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABM}$。
在$△ BCE$和$△ MDE$中：
$\begin{cases}∠ CBE=∠ M,\\∠ C=∠ EDM,\\CE=DE,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ MDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ MDE}$，故$S_{△ ABM}=S_{梯形ABCD}$。
$\because EF⊥ AB$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB·EF$，
代入$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}$，
两边同乘2可得$S_{梯形ABCD}=AB·EF$，得证。
【答案】
证明:连接$BE$,并延长交$AD$的延长线于点$M$,连接$AE$。
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ CBE=∠ M,∠ C=∠ EDM$。
$\because E$是$DC$的中点,
$\therefore CE=DE,S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABM}$。
在$△ BCE$和$△ MDE$中,
$\begin{cases}∠ CBE=∠ M,\\∠ C=∠ EDM,\\CE=DE,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ MDE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore S_{△ ABM}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}$。
$\because EF⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· EF$,
$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABCD}=AB· EF$。
【知识点】
1.梯形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题是梯形面积证明的典型题型，核心是通过构造全等三角形实现梯形到三角形的等面积转化，借助中点性质完成等量代换，解题关键是掌握中点类几何问题构造辅助线的常用思路。
【难度系数】
0.6
要证明梯形面积等于$AB·EF$，我们可以通过转化思想，将梯形面积转化为熟悉的三角形面积推导。已知E是CD中点，针对梯形腰中点的问题，常用辅助线是延长连接顶点与中点的线段，和另一底的延长线相交构造全等三角形，把梯形转化为等面积的三角形。本题中延长BE交AD延长线于M，先证$△ BCE$和$△ MDE$全等，可得梯形面积等于$△ ABM$的面积；再结合E是BM中点，可得$△ ABE$面积是$△ ABM$的一半，而$△ ABE$的面积可通过底AB和高EF计算，最后通过等量代换就能得到结论。
【解析】
证明：连接$BE$，并延长交$AD$的延长线于点$M$，连接$AE$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ CBE=∠ M$，$∠ C=∠ EDM$。
$\because E$是$DC$的中点，
$\therefore CE=DE$，且$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABM}$。
在$△ BCE$和$△ MDE$中：
$\begin{cases}∠ CBE=∠ M,\\∠ C=∠ EDM,\\CE=DE,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ MDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ MDE}$，故$S_{△ ABM}=S_{梯形ABCD}$。
$\because EF⊥ AB$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB·EF$，
代入$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}$，
两边同乘2可得$S_{梯形ABCD}=AB·EF$，得证。
【答案】
证明:连接$BE$,并延长交$AD$的延长线于点$M$,连接$AE$。
$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ CBE=∠ M,∠ C=∠ EDM$。
$\because E$是$DC$的中点,
$\therefore CE=DE,S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABM}$。
在$△ BCE$和$△ MDE$中,
$\begin{cases}∠ CBE=∠ M,\\∠ C=∠ EDM,\\CE=DE,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ MDE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore S_{△ ABM}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}$。
$\because EF⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· EF$,
$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABCD}=AB· EF$。
【知识点】
1.梯形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题是梯形面积证明的典型题型，核心是通过构造全等三角形实现梯形到三角形的等面积转化，借助中点性质完成等量代换，解题关键是掌握中点类几何问题构造辅助线的常用思路。
【难度系数】
0.6
