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知识点 多边形内角和定理
1. 多边形内角和定理：
2. 正五边形的每一个内角是
1. 多边形内角和定理：
n边形内角和为$(n-2)×180°$
。2. 正五边形的每一个内角是
$108°$
。答案
1. n边形内角和为$(n-2)×180°$
2. 正n边形每个内角的计算公式为$180°-\frac{360°}{n}$，代入n=5得正五边形每个内角为$108°$
2. 正n边形每个内角的计算公式为$180°-\frac{360°}{n}$，代入n=5得正五边形每个内角为$108°$
解析
【分析】
第1题考查多边形内角和定理的记忆，可通过公式推导逻辑辅助回忆：从n边形的一个顶点出发可引(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，因此n边形内角和就是这(n-2)个三角形的内角和总和。第2题考查正多边形内角的计算，正多边形所有内角大小相等，既可以先算总内角和再除以边数，也可以利用多边形外角和恒为360°的性质，先求单个外角度数，再用平角180°减去外角度数得到内角度数。
【解析】
1. 根据多边形内角和定理的内容，边数为n（n≥3且为整数）的多边形，内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$。
2. 计算正五边形单个内角有两种常见方法：
方法一：利用内角和公式计算，正五边形总内角和为$(5-2)×180°=540°$，因为5个内角大小相等，因此单个内角为$540°÷5=108°$。
方法二：利用外角和性质计算，任意多边形外角和均为360°，正五边形每个外角大小相等，因此单个外角为$360°÷5=72°$，单个内角为$180°-72°=108°$。
【答案】
1. n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为不小于3的整数）
2. $108°$
【知识点】
多边形内角和定理，正多边形内角计算，多边形外角和性质
【点评】
本题是多边形角度计算的基础题型，侧重考查核心公式的记忆与直接应用，熟练掌握相关定理和公式即可快速解题，是后续解决复杂多边形角度问题的基础。
【难度系数】
0.9
第1题考查多边形内角和定理的记忆，可通过公式推导逻辑辅助回忆：从n边形的一个顶点出发可引(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，因此n边形内角和就是这(n-2)个三角形的内角和总和。第2题考查正多边形内角的计算，正多边形所有内角大小相等，既可以先算总内角和再除以边数，也可以利用多边形外角和恒为360°的性质，先求单个外角度数，再用平角180°减去外角度数得到内角度数。
【解析】
1. 根据多边形内角和定理的内容，边数为n（n≥3且为整数）的多边形，内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$。
2. 计算正五边形单个内角有两种常见方法：
方法一：利用内角和公式计算，正五边形总内角和为$(5-2)×180°=540°$，因为5个内角大小相等，因此单个内角为$540°÷5=108°$。
方法二：利用外角和性质计算，任意多边形外角和均为360°，正五边形每个外角大小相等，因此单个外角为$360°÷5=72°$，单个内角为$180°-72°=108°$。
【答案】
1. n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为不小于3的整数）
2. $108°$
【知识点】
多边形内角和定理，正多边形内角计算，多边形外角和性质
【点评】
本题是多边形角度计算的基础题型，侧重考查核心公式的记忆与直接应用，熟练掌握相关定理和公式即可快速解题，是后续解决复杂多边形角度问题的基础。
【难度系数】
0.9
例1 如图,三角形的对角线有0条,四边形的对角线有2条,五边形的对角线有5条,六边形的对角线有9条。
(1)十边形的对角线有多少条?
(2)你能总结出n边形的对角线有多少条吗?(用含n的代数式表示)
[点拨] 本题考查多边形的对角线,要结合对角线的概念进行推导。注意:若每个顶点有$(n-3)$条对角线,则每一条对角线重复了一次。
[解] (1)十边形的对角线有
$\frac{10×(10-3)}{2}=5×7=35$ (条)。
(2)n边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
(1)十边形的对角线有多少条?
(2)你能总结出n边形的对角线有多少条吗?(用含n的代数式表示)
[点拨] 本题考查多边形的对角线,要结合对角线的概念进行推导。注意:若每个顶点有$(n-3)$条对角线,则每一条对角线重复了一次。
[解] (1)十边形的对角线有
$\frac{10×(10-3)}{2}=5×7=35$ (条)。
(2)n边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
答案
解：
(1) 十边形的对角线有
$\frac{10×(10-3)}{2}=35$（条）
答：十边形的对角线有35条。
(2) $n$边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
(1) 十边形的对角线有
$\frac{10×(10-3)}{2}=35$（条）
答：十边形的对角线有35条。
(2) $n$边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
解析
【分析】
要解决多边形对角线条数的问题，首先明确对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。首先思考n边形的顶点总数为n，每个顶点不能和自身、以及相邻的2个顶点连接形成对角线，因此每个顶点可连接的对角线有(n-3)条；n个顶点共能得到n(n-3)条，但每条对角线对应2个顶点，会被重复计算1次，因此总条数需要除以2。第一问将n=10代入推导得到的公式即可算出十边形的对角线条数，第二问直接整理出通用代数式即可。
【解析】
首先推导多边形对角线条数的计算规律：
n边形共有n个顶点，每个顶点与除自身、相邻两个顶点外的其余(n-3)个顶点可连接成对角线，因此n个顶点共可计算出$n(n-3)$条对角线；由于每一条对角线会被它的两个端点各统计一次，存在重复计算，因此实际对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$（$n≥3$，且n为正整数）。
(1) 计算十边形的对角线条数，将$n=10$代入公式：
$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条）
(2) 综上，n边形的对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【答案】
(1) 十边形的对角线有35条；
(2) $n$边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【知识点】
多边形的对角线，列代数式，代数式求值
【点评】
本题主要考查多边形对角线公式的推导与应用，解题的关键是理解对角线条数计算时“重复计数”的特点，避免漏乘或漏除2，掌握公式后可快速求解任意多边形的对角线条数，属于基础规律应用题。
【难度系数】
0.7
要解决多边形对角线条数的问题，首先明确对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。首先思考n边形的顶点总数为n，每个顶点不能和自身、以及相邻的2个顶点连接形成对角线，因此每个顶点可连接的对角线有(n-3)条；n个顶点共能得到n(n-3)条，但每条对角线对应2个顶点，会被重复计算1次，因此总条数需要除以2。第一问将n=10代入推导得到的公式即可算出十边形的对角线条数，第二问直接整理出通用代数式即可。
【解析】
首先推导多边形对角线条数的计算规律：
n边形共有n个顶点，每个顶点与除自身、相邻两个顶点外的其余(n-3)个顶点可连接成对角线，因此n个顶点共可计算出$n(n-3)$条对角线；由于每一条对角线会被它的两个端点各统计一次，存在重复计算，因此实际对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$（$n≥3$，且n为正整数）。
(1) 计算十边形的对角线条数，将$n=10$代入公式：
$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$（条）
(2) 综上，n边形的对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【答案】
(1) 十边形的对角线有35条；
(2) $n$边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【知识点】
多边形的对角线，列代数式，代数式求值
【点评】
本题主要考查多边形对角线公式的推导与应用，解题的关键是理解对角线条数计算时“重复计数”的特点，避免漏乘或漏除2，掌握公式后可快速求解任意多边形的对角线条数，属于基础规律应用题。
【难度系数】
0.7
|变式训练1| 若一个多边形的内角和为$1260°$，则从这个多边形的一个顶点出发的对角线共有（
A.5条
B.6条
C.7条
D.8条
A
）A.5条
B.6条
C.7条
D.8条
答案
A
例2 已知一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍小$60°$,求这个正多边形的边数及内角和。
[点拨] 此题主要考查多边形的内角和与外角和定理,关键是计算出外角的度数,进而得到边数。
[解] 设这个正多边形的外角度数为$x$,则内角度数为$5x-60$。
由题意得$x+5x-60=180$。
解得$x=40$。
$360÷40=9$。
$(9-2)×180°=1260°$。
因此,这个正多边形的边数是9,内角和是$1260°$。
[点拨] 此题主要考查多边形的内角和与外角和定理,关键是计算出外角的度数,进而得到边数。
[解] 设这个正多边形的外角度数为$x$,则内角度数为$5x-60$。
由题意得$x+5x-60=180$。
解得$x=40$。
$360÷40=9$。
$(9-2)×180°=1260°$。
因此,这个正多边形的边数是9,内角和是$1260°$。
答案
解：设这个正多边形的外角度数为$x$，则内角度数为$5x-60°$。
由内角与相邻外角互补，得：
$x+5x-60°=180°$
解得：$x=40°$
因为多边形外角和为$360°$，所以该正多边形的边数为：
$360°÷40°=9$
由多边形内角和公式，得该正多边形内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
答：这个正多边形的边数是9，内角和是$1260°$。
由内角与相邻外角互补，得：
$x+5x-60°=180°$
解得：$x=40°$
因为多边形外角和为$360°$，所以该正多边形的边数为：
$360°÷40°=9$
由多边形内角和公式，得该正多边形内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
答：这个正多边形的边数是9，内角和是$1260°$。
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，正多边形同一顶点处的内角与外角是邻补角，和为180°，结合题目给出的内角与外角的数量关系，可设外角度数为未知数，列方程求解外角度数；第二步，任意多边形的外角和恒为360°，正多边形每个外角大小相等，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数；第三步，将求出的边数代入多边形内角和公式，就能计算出内角和。
【解析】
设这个正多边形的外角度数为$x$，则内角度数为$5x-60°$。
由内角与相邻外角互补，得：
$x+5x-60°=180°$
解得：$x=40°$
因为多边形外角和为$360°$，所以该正多边形的边数为：
$360°÷40°=9$
由多边形内角和公式，得该正多边形内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
答：这个正多边形的边数是9，内角和是$1260°$。
【答案】
边数为9，内角和为$1260°$
【知识点】
多边形内外角互补关系；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形相关的基础计算题，解题关键是利用内角和相邻外角的互补关系先求出外角度数，再结合固定的外角和求出边数，最后套用内角和公式即可，对定理的理解和运用是解题核心。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思考：第一步，正多边形同一顶点处的内角与外角是邻补角，和为180°，结合题目给出的内角与外角的数量关系，可设外角度数为未知数，列方程求解外角度数；第二步，任意多边形的外角和恒为360°，正多边形每个外角大小相等，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数；第三步，将求出的边数代入多边形内角和公式，就能计算出内角和。
【解析】
设这个正多边形的外角度数为$x$，则内角度数为$5x-60°$。
由内角与相邻外角互补，得：
$x+5x-60°=180°$
解得：$x=40°$
因为多边形外角和为$360°$，所以该正多边形的边数为：
$360°÷40°=9$
由多边形内角和公式，得该正多边形内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
答：这个正多边形的边数是9，内角和是$1260°$。
【答案】
边数为9，内角和为$1260°$
【知识点】
多边形内外角互补关系；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形相关的基础计算题，解题关键是利用内角和相邻外角的互补关系先求出外角度数，再结合固定的外角和求出边数，最后套用内角和公式即可，对定理的理解和运用是解题核心。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 一个多边形的各个内角都相等，每个内角与外角的差为100度，则这个多边形是（
A.七边形
B.八边形
C.九边形
D.十边形
C
）A.七边形
B.八边形
C.九边形
D.十边形
答案
C
解析
【分析】
首先明确该多边形为正多边形，所有内角、外角分别相等。解题思路分为两步：第一步，利用同一顶点处内角与外角互为邻补角（和为180°），结合题干给出的内角与外角差为100°的条件，求出单个外角的度数；第二步，任意多边形的外角和固定为360°，用外角和除以单个外角的度数即可得到多边形的边数，对应选出选项即可。
【解析】
设这个多边形的每个外角度数为$x$，则每个内角度数为$x+100°$。
∵ 多边形同一顶点处的内角和外角为邻补角，和为$180°$
∴ $x + (x+100°) = 180°$
解得：$x=40°$
∵ 任意多边形的外角和为$360°$，且该正多边形每个外角都相等
∴ 多边形边数$n=360°÷40°=9$，即该多边形为九边形。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；邻补角的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题属于多边形相关的基础常考题，解题关键是抓住正多边形外角相等、多边形外角和固定为360°的特点，通过内角与外角的和差关系求出外角度数即可计算边数，解题时注意不要混淆内角和与外角和的公式。
【难度系数】
0.7
首先明确该多边形为正多边形，所有内角、外角分别相等。解题思路分为两步：第一步，利用同一顶点处内角与外角互为邻补角（和为180°），结合题干给出的内角与外角差为100°的条件，求出单个外角的度数；第二步，任意多边形的外角和固定为360°，用外角和除以单个外角的度数即可得到多边形的边数，对应选出选项即可。
【解析】
设这个多边形的每个外角度数为$x$，则每个内角度数为$x+100°$。
∵ 多边形同一顶点处的内角和外角为邻补角，和为$180°$
∴ $x + (x+100°) = 180°$
解得：$x=40°$
∵ 任意多边形的外角和为$360°$，且该正多边形每个外角都相等
∴ 多边形边数$n=360°÷40°=9$，即该多边形为九边形。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；邻补角的性质；多边形外角和定理
【点评】
本题属于多边形相关的基础常考题，解题关键是抓住正多边形外角相等、多边形外角和固定为360°的特点，通过内角与外角的和差关系求出外角度数即可计算边数，解题时注意不要混淆内角和与外角和的公式。
【难度系数】
0.7
