知识点二 特殊梯形
1. 两腰相等的梯形叫作梯形，有一个角是直角的梯形叫作梯形。
2. 等腰梯形的性质：
(1)等腰梯形是轴对称图形，对称轴是的直线。
(2)等腰梯形的边，是一组对边平行，另一对边不平行但相等。
(3)等腰梯形同一底上的两个角相等。
(4)等腰梯形的两条对角线相等。
3. 等腰梯形的判定方法：
(1)一组对边平行，另一组对边不平行，但相等的四边形是等腰梯形。
(2)同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
(3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

1. 等腰 直角
2. 两条底边中点的直线

【分析】
本题考查梯形相关的基础概念与性质，解题时直接回忆课本对应知识点即可作答。第1小题对应特殊梯形的分类定义，牢记两类特殊梯形的命名规则：按腰的特点，两腰相等的梯形命名为等腰梯形；按内角特点，有一个内角是直角的梯形命名为直角梯形。第2小题对应等腰梯形的轴对称性质，轴对称图形的对称轴是对折后能让图形两部分完全重合的直线，等腰梯形上下底平行且两腰相等，只有沿过上下两底中点的直线对折才能完全重合，因此对称轴就是这条直线。
【解析】
1. 根据特殊梯形的定义可知：两腰相等的梯形叫作等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。
2. 根据等腰梯形的轴对称性质可知：等腰梯形是轴对称图形，将其沿过两条底边中点的直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合，因此其对称轴是过两条底边中点的直线。
【答案】
1. 等腰 直角
2. 两条底边中点的直线
【知识点】
特殊梯形的定义、等腰梯形的性质、轴对称图形概念
【点评】
本题属于基础概念识记类习题，主要考查对梯形相关基础知识点的掌握情况，只要熟练掌握课本中的基础定义和性质就能快速正确作答。
【难度系数】
0.9

例1 下列命题中，错误的是 （）
A.一组对边平行的四边形是梯形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.一组邻边相等的平行四边形是菱形
[点拨] 根据梯形、平行四边形、矩形、菱形的判定进行判断即可。
[解] A.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C.对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D.一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意。
故选A。

解：
A. 梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，仅一组对边平行的四边形还可能是平行四边形，该命题错误，符合题意；
B. 根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该命题正确，不符合题意；
C. 根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，该命题正确，不符合题意；
D. 根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，该命题正确，不符合题意。
故选A。

【分析】
本题要求选出错误的命题，解题时需先明确梯形、平行四边形、矩形、菱形的定义及判定定理，再将每个选项的描述与对应的判定规则逐一对比，判断描述是否完整准确，最终筛选出错误选项。
【解析】
A. 梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，仅说一组对边平行的四边形还可能是平行四边形，该命题错误，符合题意；
B. 根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该命题正确，不符合题意；
C. 根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，该命题正确，不符合题意；
D. 根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，该命题正确，不符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
梯形的定义；特殊四边形的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是考查学生对常见特殊四边形定义、判定规则的记忆准确度，解题时要注意不要遗漏概念中的限定条件，避免因概念记忆不完整判断失误。
【难度系数】
0.85

|变式训练1| 下列命题中，假命题有
（）
①有两个角相等的梯形是等腰梯形
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
③一组对角互补的梯形是等腰梯形
④等腰梯形是轴对称图形

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

【分析】
要判断假命题的个数，需结合梯形、等腰梯形的定义、性质和判定定理，逐一分析4个命题的真假，最后统计假命题的数量即可。解题时要注意区分特殊梯形（如直角梯形）的特点，同时不要混淆梯形和平行四边形的概念：梯形是仅有一组对边平行的四边形，平行四边形不属于梯形。
【解析】
对4个命题逐一判断：
1. 命题①：直角梯形中有两个内角为直角，满足“有两个角相等”的条件，但直角梯形不是等腰梯形，因此①是假命题；
2. 命题②：平行四边形同样满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但平行四边形不属于梯形，更不是等腰梯形，因此②是假命题；
3. 命题③：梯形上下底互相平行，因此同一腰上的两个内角互补，若一组对角互补，可推导得出同一底上的两个内角相等，符合等腰梯形的判定定理，因此③是真命题；
4. 命题④：等腰梯形沿上下底中点的连线折叠，直线两侧的部分可完全重合，因此等腰梯形是轴对称图形，④是真命题。
综上，假命题共有2个。
【答案】
B
【知识点】
等腰梯形的判定；等腰梯形的性质；命题真假判断
【点评】
本题重点考查等腰梯形的相关概念和判定方法，解题时要注意特殊反例的应用，通过举反例可以快速判断命题为假，同时要牢记梯形和平行四边形的概念边界，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7

例2 等腰梯形的腰长为13 cm，两底差为10 cm，则高为 （）

A.$\sqrt{69}$ cm
B.12 cm
C.69 cm
D.144 cm
[点拨] 本题考查等腰梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，要求学生掌握等腰梯形的性质，知道先过上底的一个顶点作下底的垂线，组成一个直角三角形，再解这个直角三角形。
[解] 如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD=12 cm，两底差为10 cm，过点A和点D作BC的垂线，垂足为点E和点F。
∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形。
∵两底差为10 cm，
∴BE + CF = 10 cm，则 BE = CF = 5 cm，根据勾股定理可得 $AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=12$ cm，故选B。

B

【分析】
本题是等腰梯形求高的基础题，解题思路如下：首先，解决梯形问题常用的方法是作高将梯形转化为矩形和直角三角形，把未知问题转化为熟悉的四边形、三角形问题求解；其次，利用等腰梯形的对称性，可知两底的差等于左右两个直角三角形的底边之和，且两个底边长度相等，即可求出单个直角三角形的底边长；最后，已知腰长为直角三角形的斜边，结合勾股定理即可求出高的长度。
【解析】
已知四边形ABCD是等腰梯形，腰长$AB=CD=13\mathrm{cm}$，两底差$BC-AD=10\mathrm{cm}$。
过点A作$AE⊥ BC$于点E，过点D作$DF⊥ BC$于点F：
1. $\because AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，$AD// BC$
$\therefore AE// DF$，四边形AEFD是矩形，可得$EF=AD$
$\therefore BE+FC=BC-EF=BC-AD=10\mathrm{cm}$
2. $\because$等腰梯形ABCD中$AB=CD$，$∠ B=∠ C$，$∠ AEB=∠ DFC=90°$
$\therefore △ ABE≌△ DCF$，即$BE=FC$
$\therefore BE=FC=10÷2=5\mathrm{cm}$
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，AB为斜边，长度为$13\mathrm{cm}$，$BE=5\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\mathrm{cm}$
因此高为12cm，选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题是梯形相关计算的典型基础题，核心解题思想是转化思想，通过作高将梯形问题转化为矩形和直角三角形的问题求解，要求学生熟练掌握等腰梯形的性质，能灵活运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7