11.(1)如图(1),在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,求证:∠BME=∠CNE。
(2)如图(2),在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E,F分别是BC,AD中点,连接EF,分别交DC,AB于点M,N,判断△OMN的形状并说明理由。

11.(1)证明:如图所示,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HE,HF。
$\because E,F$ 分别是 $AD,BC$ 的中点,
$\therefore HF,HE$ 分别是$△ BCD,△ ABD$ 的中位线,
$\therefore HF// CN,HE// BM,HF=\frac{1}{2}CD,HE=\frac{1}{2}AB$。
$\because AB=CD$,
$\therefore HF=HE$,
$\therefore ∠ HEF=∠ HFE$。
$\because HF// CN,HE// BM$,
$\therefore ∠ HEF=∠ BME,∠ HFE=∠ CNE$,
$\therefore ∠ BME=∠ CNE$。
(2)解:$△ OMN$ 是等腰三角形。理由如下:
如图,取 BD 的中点 H,连接 HE,HF。
$\because E,F$ 分别是 $BC,AD$ 的中点,
$\therefore HF,HE$ 分别是$△ ABD,△ BCD$ 的中位线,
$\therefore HF// AB,HE// CD,HF=\frac{1}{2}AB,HE=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$,
$\therefore HF=HE$,
$\therefore ∠ HFE=∠ HEF$。
$\because HF// AB,HE// CD$,
$\therefore ∠ HFE=∠ ONM,∠ HEF=∠ OMN$,
$\therefore ∠ ONM=∠ OMN$,
$\therefore OM=ON$,
$\therefore △ OMN$ 是等腰三角形。

【分析】
两小问均给出线段相等和多个中点的条件，解题核心是构造三角形中位线，利用中位线性质实现线段、角的转化：
(1)要证∠BME=∠CNE，无直接证明的全等或平行条件，因此取BD中点H，连接HE、HF，结合E、F是中点的条件，可得HE、HF分别是对应三角形的中位线，通过中位线的平行性质将待证两角转化为△HEF的两个底角，再结合AB=CD得到HE=HF，即可证得两角相等。
(2)判断△OMN的形状，沿用同样的辅助线思路，取BD中点构造中位线，得到HF=HE推出等角，再通过平行线性质将等角转化为△OMN的两个内角，即可判断三角形形状。
【解析】
(1)证明：连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE，HF。

∵E,F分别是BC,AD的中点，
∴HF是△ABD的中位线，HE是△BCD的中位线，
∴$HF// BM$，$HE// CN$，$HF=\frac{1}{2}AB$，$HE=\frac{1}{2}CD$。
∵$AB=CD$，
∴$HF=HE$，
∴$∠HEF=∠HFE$。
∵$HF// BM$，$HE// CN$，
∴$∠HEF=∠BME$，$∠HFE=∠CNE$，
∴$∠BME=∠CNE$。
(2)$△OMN$是等腰三角形，理由如下：
取BD的中点H，连接HE,HF。

∵E,F分别是BC,AD的中点，
∴HF是△ABD的中位线，HE是△BCD的中位线，
∴$HF// AB$，$HE// CD$，$HF=\frac{1}{2}AB$，$HE=\frac{1}{2}CD$。
∵$AB=CD$，
∴$HF=HE$，
∴$∠HFE=∠HEF$。
∵$HF// AB$，$HE// CD$，
∴$∠HFE=∠ONM$，$∠HEF=∠OMN$，
∴$∠ONM=∠OMN$，
∴$OM=ON$，即$△OMN$是等腰三角形。
【答案】
(1)证明:如图所示,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HE,HF。
$\because E,F$ 分别是 $AD,BC$ 的中点,
$\therefore HF,HE$ 分别是$△ BCD,△ ABD$ 的中位线,
$\therefore HF// CN,HE// BM,HF=\frac{1}{2}CD,HE=\frac{1}{2}AB$。
$\because AB=CD$,
$\therefore HF=HE$,
$\therefore ∠ HEF=∠ HFE$。
$\because HF// CN,HE// BM$,
$\therefore ∠ HEF=∠ BME,∠ HFE=∠ CNE$,
$\therefore ∠ BME=∠ CNE$。
(2)解:$△ OMN$ 是等腰三角形。理由如下:
如图,取 BD 的中点 H,连接 HE,HF。
$\because E,F$ 分别是 $BC,AD$ 的中点,
$\therefore HF,HE$ 分别是$△ ABD,△ BCD$ 的中位线,
$\therefore HF// AB,HE// CD,HF=\frac{1}{2}AB,HE=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$,
$\therefore HF=HE$,
$\therefore ∠ HFE=∠ HEF$。
$\because HF// AB,HE// CD$,
$\therefore ∠ HFE=∠ ONM,∠ HEF=∠ OMN$,
$\therefore ∠ ONM=∠ OMN$,
$\therefore OM=ON$,
$\therefore △ OMN$ 是等腰三角形。
【知识点】
三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是中点类几何题的典型题型，解题关键是通过取公共边的中点构造三角形中位线，将分散的边相等条件转化为同一三角形中的等线段，再结合平行线的性质实现角的转移，进而解决问题。
【难度系数】
0.6

知识点一 梯形的定义
1.梯形:一组对边平行,另一组对边的四边形叫作梯形。平行的两条边称为梯形的底,较短的底通常称为上底,较长的底通常称为下底,不平行的两边称为梯形的。
2.要点:
(1)定义需要满足三个条件:①四边形;②一组对边平行;③另一组对边不平行。
(2)有一组对边平行的四边形可能是平行四边形或梯形,关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同。梯形只有一组对边平行,而平行四边形两组对边都平行;平行四边形中平行的边必相等,梯形中平行的一组对边必不相等。
(3)在识别梯形的两底时,不能仅由两底所处的位置决定,而是由两底的长度来决定梯形的上、下底。

1. 不平行 腰

【分析】
这道题考查梯形的基础概念，解题时需结合教材中梯形的定义及各部分命名规则思考：首先区分梯形与平行四边形的核心差异，梯形仅一组对边平行，因此另一组对边需满足不平行的要求；其次回忆梯形各部分的名称规定，不平行的两条边的专属名称为腰，对应空缺位置填写即可。
【解析】
根据梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形，因此第一空填“不平行”；根据梯形的各部分命名规则，不平行的两条边称为梯形的腰，因此第二空填“腰”。
【答案】
不平行；腰
【知识点】
梯形的定义；梯形的组成名称
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对教材基础定义的记忆掌握程度，牢记梯形的核心定义和各部分名称即可快速得分。
【难度系数】
0.9