9. 如图,在$△ ABC$中,AE平分$∠ BAC$,$BE⊥ AE$于点E,点F是BC的中点。

(1)如图(1),BE的延长线与AC边相交于点D,求证:$EF=\frac{1}{2}(AC-AB)$；
(2)如图(2),写出线段AB,AC,EF的数量关系,并证明你的结论。

9.(1)证明:
$\because AE⊥ BE$,
$\therefore ∠ AED=∠ AEB=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ ABE=90°,∠ DAE+∠ ADE=90°$。
$\because ∠ BAE=∠ DAE$,
$\therefore ∠ ABE=∠ ADE$,
$\therefore AB=AD$。
$\because AE⊥ BE$,
$\therefore BE=DE$。
$\because BF=FC$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}(AC-AD)=\frac{1}{2}(AC-AB)$。
(2)结论:$EF=\frac{1}{2}(AB-AC)$。
理由:如图(2)中,延长 AC 交 BE 的延长线于点 P。
$\because AE⊥ BP$,
$\therefore ∠ AEP=∠ AEB=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ ABE=90°,∠ PAE+∠ APE=90°$。
$\because ∠ BAE=∠ PAE$,
$\therefore ∠ ABE=∠ APE$,
$\therefore AB=AP,\because AE⊥ BD$,
$\therefore BE=PE,\because BF=FC$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}(AP-AC)=\frac{1}{2}(AB-AC)$。

【分析】
(1) 解题思路：先结合已知的AE平分∠BAC、AE⊥BE，可通过角的等量关系证明△ABD为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到AB=AD且E是BD中点；再结合F是BC中点的条件，可知EF是△BDC的中位线，根据中位线性质即可推导出EF和AC、AB的数量关系。
(2) 解题思路：类比第一问的解题逻辑，先延长AC交BE的延长线于点P，同样利用“角平分线+垂线”的条件证明△ABP是等腰三角形，得到AB=AP且E是BP中点，再结合F是BC中点，利用三角形中位线定理即可推出EF与AB、AC的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE⊥BE$，
∴ $∠AED=∠AEB=90°$，
∴ $∠BAE+∠ABE=90°$，$∠DAE+∠ADE=90°$。
∵ AE平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠DAE$，
∴ $∠ABE=∠ADE$，
∴ $AB=AD$。
∵ $AE⊥BE$，根据等腰三角形三线合一，得$BE=DE$。
又
∵ F是BC的中点，即$BF=FC$，
∴ EF是△BDC的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}(AC-AD)=\frac{1}{2}(AC-AB)$。
(2) 结论：$EF=\frac{1}{2}(AB-AC)$，证明如下：
延长AC交BE的延长线于点P，
∵ $AE⊥BP$，
∴ $∠AEP=∠AEB=90°$，
∴ $∠BAE+∠ABE=90°$，$∠PAE+∠APE=90°$。
∵ AE平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠PAE$，
∴ $∠ABE=∠APE$，
∴ $AB=AP$。
∵ $AE⊥BP$，根据等腰三角形三线合一，得$BE=PE$。
又
∵ F是BC的中点，即$BF=FC$，
∴ EF是△BCP的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}(AP-AC)=\frac{1}{2}(AB-AC)$。
【答案】
(1)证明:
$\because AE⊥ BE$,
$\therefore ∠ AED=∠ AEB=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ ABE=90°,∠ DAE+∠ ADE=90°$。
$\because ∠ BAE=∠ DAE$,
$\therefore ∠ ABE=∠ ADE$,
$\therefore AB=AD$。
$\because AE⊥ BE$,
$\therefore BE=DE$。
$\because BF=FC$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}(AC-AD)=\frac{1}{2}(AC-AB)$。
(2)结论:$EF=\frac{1}{2}(AB-AC)$。
理由:如图(2)中,延长 AC 交 BE 的延长线于点 P。
$\because AE⊥ BP$,
$\therefore ∠ AEP=∠ AEB=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ ABE=90°,∠ PAE+∠ APE=90°$。
$\because ∠ BAE=∠ PAE$,
$\therefore ∠ ABE=∠ APE$,
$\therefore AB=AP,\because AE⊥ BD$,
$\therefore BE=PE,\because BF=FC$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}(AP-AC)=\frac{1}{2}(AB-AC)$。
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形中位线定理，角平分线定义
【点评】
本题是三角形性质的综合典型题，核心解题技巧是利用“角平分线+同一边的垂线”的特征构造等腰三角形，再结合中点条件使用三角形中位线定理推导线段关系，这类辅助线构造方法在三角形证明题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6

10.如图,已知BE,CD是△ABC的角平分线,并且AE⊥BE于点E,AD⊥DC于点D,求证:
(1)DE//BC;
(2)DE=$\frac{1}{2}$(AB+AC−BC)。

10.证明:(1)延长 AD 交 BC 于 G,延长 AE 交 BC 于 H。
$\because BE$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$BE⊥ AH$,
$\therefore AE=EH,BA=BH$,
同理,$AD=DG,CA=CG$,
$\therefore DE$ 是$△ AGH$ 的中位线,
$\therefore DE// BC$。
(2)$\because DE$ 是$△ AGH$ 的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}GH$。
$\because BA=BH,CA=CG$,
$\therefore GH=AB+AC-BC$,
$\therefore DE=\frac{1}{2}(AB+AC-BC)$。

【分析】
遇到“角平分线+边上的垂线”的条件时，首先可利用等腰三角形“三线合一”的性质构造等腰三角形：我们延长AD交BC于G，延长AE交BC于H，可证得△ABH、△ACG均为等腰三角形，进而得到D、E分别是AG、AH的中点，此时DE就是△AGH的中位线，可直接解决第一问平行的结论；第二问则结合等腰三角形腰相等的性质，通过线段的和差关系推导GH与AB、AC、BC的关系，再结合中位线的长度性质即可得证。
【解析】
(1) 延长AD交BC于G，延长AE交BC于H。
∵ BE是△ABC的角平分线，且BE⊥AH，根据等腰三角形三线合一，可得AE=EH，BA=BH。
同理，CD是△ABC的角平分线，且AD⊥DC，可得AD=DG，CA=CG。
∴ D、E分别是AG、AH的中点，即DE是△AGH的中位线。
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，因此DE//BC。
(2)
∵ DE是△AGH的中位线，根据中位线定理可得$DE=\frac{1}{2}GH$。
由(1)已证$BA=BH$，$CA=CG$，观察线段和差关系：$BH+CG=BC+GH$，将$BH=AB$、$CG=AC$代入得$AB+AC=BC+GH$，整理得$GH=AB+AC-BC$。
因此$DE=\frac{1}{2}(AB+AC-BC)$。
【答案】
10.证明:(1)延长 AD 交 BC 于 G,延长 AE 交 BC 于 H。
$\because BE$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$BE⊥ AH$,
$\therefore AE=EH,BA=BH$,
同理,$AD=DG,CA=CG$,
$\therefore DE$ 是$△ AGH$ 的中位线,
$\therefore DE// BC$。
(2)$\because DE$ 是$△ AGH$ 的中位线,
$\therefore DE=\frac{1}{2}GH$。
$\because BA=BH,CA=CG$,
$\therefore GH=AB+AC-BC$,
$\therefore DE=\frac{1}{2}(AB+AC-BC)$。
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 三角形中位线定理
3. 线段和差计算
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，核心解题技巧是构造“角平分线+垂线→等腰三角形”的模型，通过辅助线得到中点后转化为中位线问题求解，这种辅助线做法是几何中非常典型的技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6