登录
4. 把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$是等边$△ ABC$的中点三角形，$△ A_{2}B_{2}C_{2}$是$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的中点三角形，……依此类推，当$AB = 2$时，$△ A_{n}B_{n}C_{n}$的面积为 （
A.$(\dfrac{1}{4})^{n-1}$
B.$(\dfrac{1}{4})^{n}$
C.$(\dfrac{1}{4})^{n} · \sqrt{3}$
D.$(\dfrac{1}{4})^{n-1} · \sqrt{3}$
C
）A.$(\dfrac{1}{4})^{n-1}$
B.$(\dfrac{1}{4})^{n}$
C.$(\dfrac{1}{4})^{n} · \sqrt{3}$
D.$(\dfrac{1}{4})^{n-1} · \sqrt{3}$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：①先计算初始等边$△ ABC$的面积；②结合三角形中位线性质，明确中点三角形和原三角形的面积关系；③根据面积的变化规律推导第n个三角形的面积。首先，等边三角形面积可通过公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（a为边长）计算；其次，中点三角形的边长是原三角形边长的$\frac{1}{2}$，由相似三角形面积比等于相似比的平方，可知中点三角形面积是原三角形的$\frac{1}{4}$；最后根据递推规律，即可得到第n个三角形的面积表达式。
【解析】
第一步：计算等边$△ ABC$的面积
已知$AB=2$，等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}× 边长^2$，则：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$
第二步：分析中点三角形的面积变化规律
由三角形中位线性质可知，中点三角形与原三角形相似，相似比为$1:2$，因此面积比为相似比的平方，即$1:4$，也就是每个中点三角形的面积是它所对应原三角形面积的$\frac{1}{4}$。
第三步：推导$△ A_nB_nC_n$的面积
$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}× \frac{1}{4}=\sqrt{3}× (\frac{1}{4})^1$
$S_{△ A_2B_2C_2}=S_{△ A_1B_1C_1}× \frac{1}{4}=\sqrt{3}× (\frac{1}{4})^2$
……
以此类推，$S_{△ A_nB_nC_n}=\sqrt{3}× (\frac{1}{4})^n=(\frac{1}{4})^n·\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的性质；规律探究
【点评】
本题是典型的图形规律类题目，将三角形中位线、相似三角形面积比的知识点结合，需要准确找到每次图形变化后面积的缩放比例，结合初始面积推导通用表达式，解题时也可代入$n=1$验证选项，避免规律推导时指数出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：①先计算初始等边$△ ABC$的面积；②结合三角形中位线性质，明确中点三角形和原三角形的面积关系；③根据面积的变化规律推导第n个三角形的面积。首先，等边三角形面积可通过公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（a为边长）计算；其次，中点三角形的边长是原三角形边长的$\frac{1}{2}$，由相似三角形面积比等于相似比的平方，可知中点三角形面积是原三角形的$\frac{1}{4}$；最后根据递推规律，即可得到第n个三角形的面积表达式。
【解析】
第一步：计算等边$△ ABC$的面积
已知$AB=2$，等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}× 边长^2$，则：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$
第二步：分析中点三角形的面积变化规律
由三角形中位线性质可知，中点三角形与原三角形相似，相似比为$1:2$，因此面积比为相似比的平方，即$1:4$，也就是每个中点三角形的面积是它所对应原三角形面积的$\frac{1}{4}$。
第三步：推导$△ A_nB_nC_n$的面积
$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}× \frac{1}{4}=\sqrt{3}× (\frac{1}{4})^1$
$S_{△ A_2B_2C_2}=S_{△ A_1B_1C_1}× \frac{1}{4}=\sqrt{3}× (\frac{1}{4})^2$
……
以此类推，$S_{△ A_nB_nC_n}=\sqrt{3}× (\frac{1}{4})^n=(\frac{1}{4})^n·\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的性质；规律探究
【点评】
本题是典型的图形规律类题目，将三角形中位线、相似三角形面积比的知识点结合，需要准确找到每次图形变化后面积的缩放比例，结合初始面积推导通用表达式，解题时也可代入$n=1$验证选项，避免规律推导时指数出错。
【难度系数】
0.7
5.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点,AB=10,AC=6,则EF的长为
2
。答案
5.2
解析
【分析】
看到角平分线与垂线重合的条件，优先考虑构造等腰三角形：延长BE交AC的延长线于点D，可通过ASA证明△ABE≌△ADE，得到AB=AD、E为BD中点；再结合F是BC中点，可知EF是△BCD的中位线，利用中位线性质即可计算EF的长度。
【解析】
延长BE，交AC的延长线于点D。
1. 证明△ABE≌△ADE：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△ABE和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ DAE\\ AE=AE\\ ∠ AEB=∠ AED\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（ASA），
∴AB=AD=10，BE=DE，即E是BD的中点。
2. 利用中位线性质求EF：
∵F是BC的中点，E是BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}CD$，
∵CD=AD-AC=10-6=4，
∴$EF=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，核心是掌握“角平分线+垂线构造等腰三角形”的常用辅助线模型，再结合中位线性质求解，这类辅助线构造方法在几何题中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
看到角平分线与垂线重合的条件，优先考虑构造等腰三角形：延长BE交AC的延长线于点D，可通过ASA证明△ABE≌△ADE，得到AB=AD、E为BD中点；再结合F是BC中点，可知EF是△BCD的中位线，利用中位线性质即可计算EF的长度。
【解析】
延长BE，交AC的延长线于点D。
1. 证明△ABE≌△ADE：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△ABE和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ DAE\\ AE=AE\\ ∠ AEB=∠ AED\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（ASA），
∴AB=AD=10，BE=DE，即E是BD的中点。
2. 利用中位线性质求EF：
∵F是BC的中点，E是BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}CD$，
∵CD=AD-AC=10-6=4，
∴$EF=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，核心是掌握“角平分线+垂线构造等腰三角形”的常用辅助线模型，再结合中位线性质求解，这类辅助线构造方法在几何题中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
6.如图,在四边形ABCD中,AD=3,BC=5,E,F分别是边AB,CD的中点,连接EF。则EF长的最大值为
4
。答案
6.4
解析
【分析】
要求EF的最大值，已知E、F分别是AB、CD的中点，我们可以通过连接BD取中点构造三角形中位线，将AD、BC的长度转化为与EF相关的线段，再结合三角形三边关系分析EF的最大值情况。首先连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，利用中位线定理得到EG、FG的长度，再根据三角形两边之和大于第三边，可知当E、G、F三点共线时，EF取得最大值，等于EG与FG的和。
【解析】
解：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG。
∵E是AB的中点，G是BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3=1.5$。
同理，F是CD的中点，G是BD的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$。
在△EFG中，根据三角形三边关系可得$EF＜EG+FG$，
当E、G、F三点共线时，$EF=EG+FG=1.5+2.5=4$，此时EF取得最大值。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；三角形三边关系；线段最值计算
【点评】
本题的解题关键是合理添加辅助线构造三角形中位线，把分散的已知线段长度转化为与待求线段相关的线段，再结合三角形三边关系确定最值的取值情况，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求EF的最大值，已知E、F分别是AB、CD的中点，我们可以通过连接BD取中点构造三角形中位线，将AD、BC的长度转化为与EF相关的线段，再结合三角形三边关系分析EF的最大值情况。首先连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG，利用中位线定理得到EG、FG的长度，再根据三角形两边之和大于第三边，可知当E、G、F三点共线时，EF取得最大值，等于EG与FG的和。
【解析】
解：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG。
∵E是AB的中点，G是BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴$EG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3=1.5$。
同理，F是CD的中点，G是BD的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$。
在△EFG中，根据三角形三边关系可得$EF＜EG+FG$，
当E、G、F三点共线时，$EF=EG+FG=1.5+2.5=4$，此时EF取得最大值。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；三角形三边关系；线段最值计算
【点评】
本题的解题关键是合理添加辅助线构造三角形中位线，把分散的已知线段长度转化为与待求线段相关的线段，再结合三角形三边关系确定最值的取值情况，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.如图,在△ABC 中,点 E 是边 AC 的中点,点 F 是 BE 的中点,连接 AF 并延长交边 BC 于点 D,BD＝2。求边 BC 的长。
答案
7.解:取 AD 的中点 G,连接 EG,如图所示。
$\therefore EG$ 是$△ ADC$ 的中位线,
$\therefore EG=\frac{1}{2}DC,EG// CD$,
$\therefore ∠ GEF=∠ DBF$。
$\because$ 点 F 是 BE 的中点,
$\therefore BF=FE$,
在$△ BDF$ 和$△ EGF$ 中,
$\begin{cases}∠ GEF=∠ DBF,\\BF=EF,\\∠ BFD=∠ EFG,\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ EGF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore GE=BD=2,\therefore CD=2EG=4$,
$\therefore BC=BD+DC=2+4=6$。
解析
【分析】
题干中给出了多处中点条件（E为AC中点、F为BE中点），遇到中点相关的线段计算问题，可优先考虑构造三角形中位线建立线段间的关系。为了建立已知线段BD和未知线段DC的联系，我们可以取AD的中点G，连接EG：首先利用三角形中位线定理，得到EG与DC的数量关系（$EG=\frac{1}{2}DC$）和位置关系（$EG// DC$）；再结合F是BE中点的条件，利用平行线的内错角相等、对顶角相等、中点对应边相等，证明△BDF和△EGF全等，得到EG=BD，进而求出DC的长度，最后通过$BC=BD+DC$即可算出结果。
【解析】
解：取AD的中点G，连接EG，如图所示。
∵点E是AC的中点，G是AD的中点，
∴EG是△ADC的中位线，
∴$EG=\frac{1}{2}DC$，$EG// CD$，
∴$∠GEF=∠DBF$。
∵点F是BE的中点，
∴$BF=FE$，
在$△BDF$和$△EGF$中，
$\begin{cases}∠GEF=∠DBF,\\BF=EF,\\∠BFD=∠EFG,\end{cases}$
∴$△BDF≌△EGF(\mathrm{ASA})$，
∴$GE=BD=2$，
∴$CD=2EG=2×2=4$，
∴$BC=BD+DC=2+4=6$。
【答案】
BC的长为6。
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，线段和差计算
【点评】
本题是三角形线段计算的典型中档题型，核心考查中点相关辅助线的构造思路，将中位线的性质与全等三角形的知识结合，实现未知线段和已知线段的转化，解题的关键是熟练掌握中点类问题的辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.7
题干中给出了多处中点条件（E为AC中点、F为BE中点），遇到中点相关的线段计算问题，可优先考虑构造三角形中位线建立线段间的关系。为了建立已知线段BD和未知线段DC的联系，我们可以取AD的中点G，连接EG：首先利用三角形中位线定理，得到EG与DC的数量关系（$EG=\frac{1}{2}DC$）和位置关系（$EG// DC$）；再结合F是BE中点的条件，利用平行线的内错角相等、对顶角相等、中点对应边相等，证明△BDF和△EGF全等，得到EG=BD，进而求出DC的长度，最后通过$BC=BD+DC$即可算出结果。
【解析】
解：取AD的中点G，连接EG，如图所示。
∵点E是AC的中点，G是AD的中点，
∴EG是△ADC的中位线，
∴$EG=\frac{1}{2}DC$，$EG// CD$，
∴$∠GEF=∠DBF$。
∵点F是BE的中点，
∴$BF=FE$，
在$△BDF$和$△EGF$中，
$\begin{cases}∠GEF=∠DBF,\\BF=EF,\\∠BFD=∠EFG,\end{cases}$
∴$△BDF≌△EGF(\mathrm{ASA})$，
∴$GE=BD=2$，
∴$CD=2EG=2×2=4$，
∴$BC=BD+DC=2+4=6$。
【答案】
BC的长为6。
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，线段和差计算
【点评】
本题是三角形线段计算的典型中档题型，核心考查中点相关辅助线的构造思路，将中位线的性质与全等三角形的知识结合，实现未知线段和已知线段的转化，解题的关键是熟练掌握中点类问题的辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.7
8.如图,在四边形ABCD中,E,F,M分别是AB,CD,BD的中点,AD=BC,MN⊥EF,垂足为N。求证:EN=FN。
答案
8.证明:如图,连接 MF,ME。
$\because F,M$ 分别是 $CD,BD$ 的中点,
$\therefore MF$ 是$△ BCD$ 的中位线,
$\therefore MF=\frac{1}{2}BC$。
$\because E,M$ 分别是 $AB,BD$ 的中点,
$\therefore ME$ 是$△ BAD$ 的中位线,
$\therefore ME=\frac{1}{2}AD$。
$\because AD=BC$,
$\therefore ME=MF$。
$\because MN⊥ EF$,
$\therefore EN=FN$。(等腰三角形三线合一)
解析
【分析】
要证明EN=FN，已知MN⊥EF，若能证明△MEF为等腰三角形，即可根据等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。题目中给出多个中点，且有AD=BC的条件，可先连接ME、MF构造三角形中位线，利用中位线定理建立ME和AD、MF和BC的数量关系，进而推导ME=MF，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接MF，ME。
∵F、M分别是CD、BD的中点，
∴MF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得$MF=\frac{1}{2}BC$。
∵E、M分别是AB、BD的中点，
∴ME是△BAD的中位线，根据三角形中位线定理可得$ME=\frac{1}{2}AD$。
∵已知AD=BC，
∴$ME=MF$，即△MEF是等腰三角形。
又
∵MN⊥EF，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得EN=FN。
【答案】
证明:如图,连接 MF,ME。
$\because F,M$ 分别是 $CD,BD$ 的中点,
$\therefore MF$ 是$△ BCD$ 的中位线,
$\therefore MF=\frac{1}{2}BC$。
$\because E,M$ 分别是 $AB,BD$ 的中点,
$\therefore ME$ 是$△ BAD$ 的中位线,
$\therefore ME=\frac{1}{2}AD$。
$\because AD=BC$,
$\therefore ME=MF$。
$\because MN⊥ EF$,
$\therefore EN=FN$。(等腰三角形三线合一)
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形三线合一，中点的性质
【点评】
本题是中点类几何证明的基础常考题，解题核心是通过连接中点构造中位线，将已知的边相等条件转化为待证三角形的边相等，再结合等腰三角形性质推导结论，熟练掌握中位线辅助线的构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明EN=FN，已知MN⊥EF，若能证明△MEF为等腰三角形，即可根据等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。题目中给出多个中点，且有AD=BC的条件，可先连接ME、MF构造三角形中位线，利用中位线定理建立ME和AD、MF和BC的数量关系，进而推导ME=MF，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接MF，ME。
∵F、M分别是CD、BD的中点，
∴MF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得$MF=\frac{1}{2}BC$。
∵E、M分别是AB、BD的中点，
∴ME是△BAD的中位线，根据三角形中位线定理可得$ME=\frac{1}{2}AD$。
∵已知AD=BC，
∴$ME=MF$，即△MEF是等腰三角形。
又
∵MN⊥EF，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得EN=FN。
【答案】
证明:如图,连接 MF,ME。
$\because F,M$ 分别是 $CD,BD$ 的中点,
$\therefore MF$ 是$△ BCD$ 的中位线,
$\therefore MF=\frac{1}{2}BC$。
$\because E,M$ 分别是 $AB,BD$ 的中点,
$\therefore ME$ 是$△ BAD$ 的中位线,
$\therefore ME=\frac{1}{2}AD$。
$\because AD=BC$,
$\therefore ME=MF$。
$\because MN⊥ EF$,
$\therefore EN=FN$。(等腰三角形三线合一)
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形三线合一，中点的性质
【点评】
本题是中点类几何证明的基础常考题，解题核心是通过连接中点构造中位线，将已知的边相等条件转化为待证三角形的边相等，再结合等腰三角形性质推导结论，熟练掌握中位线辅助线的构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
