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例2 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点。四边形EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论。
[点拨] 根据三角形的中位线定理，可证明四边形EGFH的对边平行，从而可证明它是平行四边形。
[解] 四边形EGFH是平行四边形。理由如下：
∵点E，G分别是线段AB，AC的中点，
∴EG//BC。
同理HF//BC，GF//AD，EH//AD，
∴GE//HF，GF//EH，
∴四边形EGFH是平行四边形。
[点拨] 根据三角形的中位线定理，可证明四边形EGFH的对边平行，从而可证明它是平行四边形。
[解] 四边形EGFH是平行四边形。理由如下：
∵点E，G分别是线段AB，AC的中点，
∴EG//BC。
同理HF//BC，GF//AD，EH//AD，
∴GE//HF，GF//EH，
∴四边形EGFH是平行四边形。
答案
证明：四边形EGFH是平行四边形。
∵点E，G分别是AB，AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC。
∵点F，H分别是CD，BD的中点，
∴HF是△BCD的中位线，
∴HF//BC，
∴EG//HF。
∵点E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//AD。
∵点F，G分别是CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF//AD，
∴GF//EH。
∴四边形EGFH的两组对边分别平行，
∴四边形EGFH是平行四边形。
∵点E，G分别是AB，AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC。
∵点F，H分别是CD，BD的中点，
∴HF是△BCD的中位线，
∴HF//BC，
∴EG//HF。
∵点E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//AD。
∵点F，G分别是CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF//AD，
∴GF//EH。
∴四边形EGFH的两组对边分别平行，
∴四边形EGFH是平行四边形。
解析
【分析】
要判断四边形EGFH是否为平行四边形，可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法推导。题目给出多组边的中点，可结合三角形中位线定理得到线段的平行关系：先找与EG、HF相关的三角形中位线，推出这组对边平行；再找与GF、EH相关的三角形中位线，推出另一组对边平行，最终即可判定四边形的形状。
【解析】
四边形EGFH是平行四边形，证明如下：
∵点E，G分别是AB，AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC。
∵点F，H分别是CD，BD的中点，
∴HF是△BCD的中位线，
∴HF//BC，
∴EG//HF。
∵点E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//AD。
∵点F，G分别是CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF//AD，
∴GF//EH。
∵四边形EGFH的两组对边分别平行，
∴四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
四边形EGFH是平行四边形。
证明：
∵点E，G分别是AB，AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC。
∵点F，H分别是CD，BD的中点，
∴HF是△BCD的中位线，
∴HF//BC，
∴EG//HF。
∵点E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//AD。
∵点F，G分别是CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF//AD，
∴GF//EH。
∴四边形EGFH的两组对边分别平行，
∴四边形EGFH是平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何中点类问题的基础题型，核心考查三角形中位线定理和平行四边形判定的综合应用，解题时需准确识别中位线对应的三角形，利用中位线的平行性质得到对边平行关系，即可快速完成证明。
【难度系数】
0.8
要判断四边形EGFH是否为平行四边形，可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法推导。题目给出多组边的中点，可结合三角形中位线定理得到线段的平行关系：先找与EG、HF相关的三角形中位线，推出这组对边平行；再找与GF、EH相关的三角形中位线，推出另一组对边平行，最终即可判定四边形的形状。
【解析】
四边形EGFH是平行四边形，证明如下：
∵点E，G分别是AB，AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC。
∵点F，H分别是CD，BD的中点，
∴HF是△BCD的中位线，
∴HF//BC，
∴EG//HF。
∵点E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//AD。
∵点F，G分别是CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF//AD，
∴GF//EH。
∵四边形EGFH的两组对边分别平行，
∴四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
四边形EGFH是平行四边形。
证明：
∵点E，G分别是AB，AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG//BC。
∵点F，H分别是CD，BD的中点，
∴HF是△BCD的中位线，
∴HF//BC，
∴EG//HF。
∵点E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//AD。
∵点F，G分别是CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF//AD，
∴GF//EH。
∴四边形EGFH的两组对边分别平行，
∴四边形EGFH是平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何中点类问题的基础题型，核心考查三角形中位线定理和平行四边形判定的综合应用，解题时需准确识别中位线对应的三角形，利用中位线的平行性质得到对边平行关系，即可快速完成证明。
【难度系数】
0.8
| 变式训练2 | 如图，$△ ABC$ 的中线$BE$，$CF$ 相交于点$G$，$P$，$Q$ 分别是$BG$，$CG$ 的中点。求证：
(1)四边形$EFPQ$是平行四边形；
(2)$BG=2GE$，$CG=2GF$。
(1)四边形$EFPQ$是平行四边形；
(2)$BG=2GE$，$CG=2GF$。
答案
证明:(1)$\because BE,CF$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore EF$ 是$△ ABC$ 的中位线,
$\therefore EF// BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC$。
$\because P,Q$ 分别是 $BG,CG$ 的中点,
$\therefore PQ$ 是$△ BCG$ 的中位线,$BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore PQ// BC$ 且 $PQ=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore EF// PQ$ 且 $EF=PQ$,
$\therefore$ 四边形 $EFPQ$ 是平行四边形。
(2)由(1)得四边形 $EFPQ$ 是平行四边形,
$\therefore GE=GP,GF=GQ$。
$\because BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
$\therefore EF$ 是$△ ABC$ 的中位线,
$\therefore EF// BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC$。
$\because P,Q$ 分别是 $BG,CG$ 的中点,
$\therefore PQ$ 是$△ BCG$ 的中位线,$BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore PQ// BC$ 且 $PQ=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore EF// PQ$ 且 $EF=PQ$,
$\therefore$ 四边形 $EFPQ$ 是平行四边形。
(2)由(1)得四边形 $EFPQ$ 是平行四边形,
$\therefore GE=GP,GF=GQ$。
$\because BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
解析
【分析】
(1)要证四边形EFPQ是平行四边形，可优先选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法。已知BE、CF是△ABC的中线，可得E、F分别是AC、AB的中点，因此EF是△ABC的中位线，可推出EF与BC的平行关系和数量关系；再结合P、Q是BG、CG的中点，可知PQ是△BCG的中位线，同理可得PQ与BC的平行关系和数量关系，即可得到EF与PQ平行且相等，完成平行四边形的证明。
(2)要证线段的倍分关系，可利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到GE=GP、GF=GQ，再结合P、Q是BG、CG的中点，即可推导出BG与GE、CG与GF的倍分关系。
【解析】
证明:(1)$\because BE,CF$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore EF$ 是$△ ABC$ 的中位线,
$\therefore EF// BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC$。
$\because P,Q$ 分别是 $BG,CG$ 的中点,
$\therefore PQ$ 是$△ BCG$ 的中位线,$BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore PQ// BC$ 且 $PQ=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore EF// PQ$ 且 $EF=PQ$,
$\therefore$ 四边形 $EFPQ$ 是平行四边形。
(2)由(1)得四边形 $EFPQ$ 是平行四边形,
$\therefore GE=GP,GF=GQ$。
$\because BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
【答案】
(1)四边形$EFPQ$是平行四边形；
(2)$BG=2GE$，$CG=2GF$。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题是三角形和平行四边形结合的基础综合题，解题核心是从已知的中点条件入手，灵活运用三角形中位线定理得到线段的平行关系和数量关系，再结合平行四边形的性质推导线段倍分关系，需熟练掌握相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.8
(1)要证四边形EFPQ是平行四边形，可优先选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法。已知BE、CF是△ABC的中线，可得E、F分别是AC、AB的中点，因此EF是△ABC的中位线，可推出EF与BC的平行关系和数量关系；再结合P、Q是BG、CG的中点，可知PQ是△BCG的中位线，同理可得PQ与BC的平行关系和数量关系，即可得到EF与PQ平行且相等，完成平行四边形的证明。
(2)要证线段的倍分关系，可利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到GE=GP、GF=GQ，再结合P、Q是BG、CG的中点，即可推导出BG与GE、CG与GF的倍分关系。
【解析】
证明:(1)$\because BE,CF$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore EF$ 是$△ ABC$ 的中位线,
$\therefore EF// BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC$。
$\because P,Q$ 分别是 $BG,CG$ 的中点,
$\therefore PQ$ 是$△ BCG$ 的中位线,$BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore PQ// BC$ 且 $PQ=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore EF// PQ$ 且 $EF=PQ$,
$\therefore$ 四边形 $EFPQ$ 是平行四边形。
(2)由(1)得四边形 $EFPQ$ 是平行四边形,
$\therefore GE=GP,GF=GQ$。
$\because BG=2GP,CG=2GQ$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
【答案】
(1)四边形$EFPQ$是平行四边形；
(2)$BG=2GE$，$CG=2GF$。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题是三角形和平行四边形结合的基础综合题，解题核心是从已知的中点条件入手，灵活运用三角形中位线定理得到线段的平行关系和数量关系，再结合平行四边形的性质推导线段倍分关系，需熟练掌握相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.8
1.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一地点C，然后分别测出AC，BC的中点M，N，并测出MN的长为18 m，由此他就知道了A，B间的距离。下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是 （
A.$AB=36\ \mathrm{m}$
B.$MN// AB$
C.$2CM=AC$
D.$BC=2MN$
D
）A.$AB=36\ \mathrm{m}$
B.$MN// AB$
C.$2CM=AC$
D.$BC=2MN$
答案
1.D
解析
【分析】
本题可根据三角形中位线定理和线段中点的性质逐一分析选项：首先由M、N分别是AC、BC的中点，可判断MN是△ABC的中位线，根据中位线性质可得MN与AB的位置和数量关系，再结合中点定义判断各选项正误即可。
【解析】
解：
∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，$CM=\frac{1}{2}AC$。
根据三角形中位线定理可得：
$MN// AB$，$MN=\frac{1}{2}AB$，
因此B选项结论正确；
已知$MN=18\ \mathrm{m}$，代入得$AB=2MN=2×18=36\ \mathrm{m}$，A选项结论正确；
由$CM=\frac{1}{2}AC$可得$2CM=AC$，C选项结论正确；
仅能推出$AB=2MN$，BC与MN没有固定的2倍数量关系，因此D选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的定义
【点评】
本题结合实际场景考查三角形中位线的性质，解题核心是快速识别出图形中的中位线，结合中点性质即可快速判断选项，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题可根据三角形中位线定理和线段中点的性质逐一分析选项：首先由M、N分别是AC、BC的中点，可判断MN是△ABC的中位线，根据中位线性质可得MN与AB的位置和数量关系，再结合中点定义判断各选项正误即可。
【解析】
解：
∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，$CM=\frac{1}{2}AC$。
根据三角形中位线定理可得：
$MN// AB$，$MN=\frac{1}{2}AB$，
因此B选项结论正确；
已知$MN=18\ \mathrm{m}$，代入得$AB=2MN=2×18=36\ \mathrm{m}$，A选项结论正确；
由$CM=\frac{1}{2}AC$可得$2CM=AC$，C选项结论正确；
仅能推出$AB=2MN$，BC与MN没有固定的2倍数量关系，因此D选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的定义
【点评】
本题结合实际场景考查三角形中位线的性质，解题核心是快速识别出图形中的中位线，结合中点性质即可快速判断选项，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,$AB=7$,$AC=11$,$M$是$BC$的中点,$AD$平分$∠ BAC$,$MF// AD$,则$FC$的长为 (
A.7
B.8
C.9
D.10
C
)A.7
B.8
C.9
D.10
答案
2.C
解析
【分析】
本题是三角形综合题，解题思路如下：首先看到M是BC的中点，可通过倍长中线（延长FM到E，使ME=MF，连接BE）构造全等三角形，将FC转化为BE；再结合AD平分∠BAC、MF//AD的条件，利用平行线和角平分线的性质推导角相等，得到等腰三角形，得出AE=AF的等量关系；最后结合已知AB、AC的长度，建立关于FC的方程求解即可。
【解析】
解：延长FM到点E，使ME=MF，连接BE。
∵ M是BC的中点，
∴ BM=CM。
在△BME和△CMF中：
$\{\begin{array}{l} BM=CM\\ ∠BME=∠CMF\\ ME=MF\end{array} $
∴ △BME ≌ △CMF（SAS），
∴ BE=FC，∠E=∠CFM。
∵ MF//AD，
∴ ∠CFM=∠CAD（两直线平行，同位角相等），∠BAD=∠AFE（两直线平行，内错角相等）。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠E=∠AFE，
∴ AE=AF（等角对等边）。
设FC=x，则BE=x，AF=AC - FC=11 - x，AE=BE - AB = x - 7。
∵ AE=AF，
∴ x - 7 = 11 - x，
解得x=9，即FC=9。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于三角形部分的典型综合题，核心考察辅助线的构造能力，通过倍长中线构造全等实现线段转化，再结合角的关系推导等腰三角形，建立线段等量关系求解，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是三角形综合题，解题思路如下：首先看到M是BC的中点，可通过倍长中线（延长FM到E，使ME=MF，连接BE）构造全等三角形，将FC转化为BE；再结合AD平分∠BAC、MF//AD的条件，利用平行线和角平分线的性质推导角相等，得到等腰三角形，得出AE=AF的等量关系；最后结合已知AB、AC的长度，建立关于FC的方程求解即可。
【解析】
解：延长FM到点E，使ME=MF，连接BE。
∵ M是BC的中点，
∴ BM=CM。
在△BME和△CMF中：
$\{\begin{array}{l} BM=CM\\ ∠BME=∠CMF\\ ME=MF\end{array} $
∴ △BME ≌ △CMF（SAS），
∴ BE=FC，∠E=∠CFM。
∵ MF//AD，
∴ ∠CFM=∠CAD（两直线平行，同位角相等），∠BAD=∠AFE（两直线平行，内错角相等）。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠E=∠AFE，
∴ AE=AF（等角对等边）。
设FC=x，则BE=x，AF=AC - FC=11 - x，AE=BE - AB = x - 7。
∵ AE=AF，
∴ x - 7 = 11 - x，
解得x=9，即FC=9。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于三角形部分的典型综合题，核心考察辅助线的构造能力，通过倍长中线构造全等实现线段转化，再结合角的关系推导等腰三角形，建立线段等量关系求解，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3.如图,点D,E分别为$△ ABC$的边AB,AC的中点,连接BE,DE,点F,H分别为BE,CE的中点,连接FH,DF,若$DF=3$,则AC的长为 (
A.15
B.12
C.10
D.9
B
)A.15
B.12
C.10
D.9
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先观察题中给出的多个中点条件：首先点D是AB中点、点F是BE中点，可判断DF是△ABE的中位线，结合三角形中位线定理可先求出AE的长度；再利用点E是AC中点的条件，即可求出AC的总长。
【解析】
∵ 点D是AB的中点，点F是BE的中点，
∴ DF是△ABE的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DF=\frac{1}{2}AE$，
已知$DF=3$，代入得$AE=2DF=2×3=6$。
又
∵ 点E是AC的中点，
∴ $AC=2AE=2×6=12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的性质
【点评】
本题重点考查三角形中位线定理的应用，解题核心是准确识别图形中的中位线，结合中点的性质逐步推导线段长度，只要熟练掌握中位线的性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题中给出的多个中点条件：首先点D是AB中点、点F是BE中点，可判断DF是△ABE的中位线，结合三角形中位线定理可先求出AE的长度；再利用点E是AC中点的条件，即可求出AC的总长。
【解析】
∵ 点D是AB的中点，点F是BE的中点，
∴ DF是△ABE的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DF=\frac{1}{2}AE$，
已知$DF=3$，代入得$AE=2DF=2×3=6$。
又
∵ 点E是AC的中点，
∴ $AC=2AE=2×6=12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的性质
【点评】
本题重点考查三角形中位线定理的应用，解题核心是准确识别图形中的中位线，结合中点的性质逐步推导线段长度，只要熟练掌握中位线的性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
