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知识点一 三角形中位线定理的逆命题之一
经过三角形一边的中点且于另
边的直线，必 三角形的第三边
经过三角形一边的中点且于另
边的直线，必 三角形的第三边
答案
平行 平分
解析
【分析】
本题考查三角形中位线定理的逆命题的记忆与推导，解题思路如下：1. 先回忆三角形中位线定理的原内容：连接三角形两边中点的线段（中位线）平行于第三边，且等于第三边的一半；2. 拆解逆命题的已知条件，题目已给出“经过三角形一边的中点”，结合中位线的平行性质，可推出需要补充的第二个条件是平行于另一边；3. 根据平行线分线段成比例的基础结论，过一边中点且平行于另一边的直线，会将第三边分为相等的两段，即平分第三边，即可得到对应答案。
【解析】
根据三角形中位线定理的逆命题内容：经过三角形一边的中点且平行于另一边的直线，必平分三角形的第三边，因此第一个空填“平行”，第二个空填“平分”。
【答案】
平行 平分
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对三角形中位线相关定理及衍生命题的识记和理解，掌握基础定理的条件和结论是解答这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形中位线定理的逆命题的记忆与推导，解题思路如下：1. 先回忆三角形中位线定理的原内容：连接三角形两边中点的线段（中位线）平行于第三边，且等于第三边的一半；2. 拆解逆命题的已知条件，题目已给出“经过三角形一边的中点”，结合中位线的平行性质，可推出需要补充的第二个条件是平行于另一边；3. 根据平行线分线段成比例的基础结论，过一边中点且平行于另一边的直线，会将第三边分为相等的两段，即平分第三边，即可得到对应答案。
【解析】
根据三角形中位线定理的逆命题内容：经过三角形一边的中点且平行于另一边的直线，必平分三角形的第三边，因此第一个空填“平行”，第二个空填“平分”。
【答案】
平行 平分
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对三角形中位线相关定理及衍生命题的识记和理解，掌握基础定理的条件和结论是解答这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
例1 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边的中线,E是AD的中点,连接BE并延长交AC于点F。用图中添加辅助线的方法(取BF的中点M,连接MD)证明:$AF=\frac{1}{2}FC$。
[点拨] 根据三角形的中位线定理得到$DM=\frac{1}{2}FC$,结合全等三角形的对应边相等,通过等量代换证得结论。
[证明] $\because AD$是边BC的中线,
$\therefore D$是BC的中点,
$\therefore DM$是$△ BCF$的中位线,
$\therefore DM=\frac{1}{2}FC,DM// AC$,
$\therefore ∠ ADM=∠ DAF$。
$\because$点E是AD的中点,
$\therefore AE=DE$。
在$△ AEF$和$△ DEM$中,
$\{\begin{array}{l}∠ ADM=∠ DAF,\\AE=DE,\\∠ AEF=∠ DEM,\end{array} $
$\therefore △ AEF≌△ DEM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore DM=AF$,
$\therefore AF=\frac{1}{2}FC$。
[点拨] 根据三角形的中位线定理得到$DM=\frac{1}{2}FC$,结合全等三角形的对应边相等,通过等量代换证得结论。
[证明] $\because AD$是边BC的中线,
$\therefore D$是BC的中点,
$\therefore DM$是$△ BCF$的中位线,
$\therefore DM=\frac{1}{2}FC,DM// AC$,
$\therefore ∠ ADM=∠ DAF$。
$\because$点E是AD的中点,
$\therefore AE=DE$。
在$△ AEF$和$△ DEM$中,
$\{\begin{array}{l}∠ ADM=∠ DAF,\\AE=DE,\\∠ AEF=∠ DEM,\end{array} $
$\therefore △ AEF≌△ DEM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore DM=AF$,
$\therefore AF=\frac{1}{2}FC$。
答案
证明：
∵AD是边BC的中线，
∴D是BC的中点，
又∵M是BF的中点，
∴DM是△BCF的中位线，
∴$DM=\frac{1}{2}FC$，$DM// AC$，
∴$∠ADM=∠DAF$。
∵点E是AD的中点，
∴$AE=DE$。
在△AEF和△DEM中，
$\{\begin{array}{l}∠ADM=∠DAF,\\AE=DE,\\∠AEF=∠DEM,\end{array} $
∴$△ AEF≌△ DEM(\mathrm{ASA})$，
∴$DM=AF$，
∴$AF=\frac{1}{2}FC$。
∵AD是边BC的中线，
∴D是BC的中点，
又∵M是BF的中点，
∴DM是△BCF的中位线，
∴$DM=\frac{1}{2}FC$，$DM// AC$，
∴$∠ADM=∠DAF$。
∵点E是AD的中点，
∴$AE=DE$。
在△AEF和△DEM中，
$\{\begin{array}{l}∠ADM=∠DAF,\\AE=DE,\\∠AEF=∠DEM,\end{array} $
∴$△ AEF≌△ DEM(\mathrm{ASA})$，
∴$DM=AF$，
∴$AF=\frac{1}{2}FC$。
解析
【分析】
要证明$AF=\frac{1}{2}FC$，可通过等量代换将AF转化为和FC存在倍分关系的线段。首先结合已知的多个中点条件：AD是BC的中线即D为BC中点，M是BF的中点，可利用三角形中位线定理得到DM与FC的数量关系、位置关系；再结合E是AD中点的条件，由平行线的性质得到等角，加上对顶角相等，可证明$△ AEF$和$△ DEM$全等，得到$AF=DM$，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
∵AD是边BC的中线，
∴D是BC的中点，
又
∵M是BF的中点，
∴DM是$△ BCF$的中位线，
∴$DM=\frac{1}{2}FC$，$DM// AC$，
∴$∠ADM=∠DAF$。
∵点E是AD的中点，
∴$AE=DE$。
在$△ AEF$和$△ DEM$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADM=∠DAF,\\AE=DE,\\∠AEF=∠DEM,\end{array} $
∴$△ AEF≌△ DEM(\mathrm{ASA})$，
∴$DM=AF$，
∴$AF=\frac{1}{2}FC$。
【答案】
$AF=\frac{1}{2}FC$
【知识点】
三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；中线的定义
【点评】
本题是考察中点相关性质综合运用的典型题，通过中位线得到线段的倍分关系和平行关系，再结合全等三角形完成线段的等量转化，逻辑清晰，能很好地巩固中位线、全等三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
要证明$AF=\frac{1}{2}FC$，可通过等量代换将AF转化为和FC存在倍分关系的线段。首先结合已知的多个中点条件：AD是BC的中线即D为BC中点，M是BF的中点，可利用三角形中位线定理得到DM与FC的数量关系、位置关系；再结合E是AD中点的条件，由平行线的性质得到等角，加上对顶角相等，可证明$△ AEF$和$△ DEM$全等，得到$AF=DM$，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
∵AD是边BC的中线，
∴D是BC的中点，
又
∵M是BF的中点，
∴DM是$△ BCF$的中位线，
∴$DM=\frac{1}{2}FC$，$DM// AC$，
∴$∠ADM=∠DAF$。
∵点E是AD的中点，
∴$AE=DE$。
在$△ AEF$和$△ DEM$中，
$\{\begin{array}{l}∠ADM=∠DAF,\\AE=DE,\\∠AEF=∠DEM,\end{array} $
∴$△ AEF≌△ DEM(\mathrm{ASA})$，
∴$DM=AF$，
∴$AF=\frac{1}{2}FC$。
【答案】
$AF=\frac{1}{2}FC$
【知识点】
三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；中线的定义
【点评】
本题是考察中点相关性质综合运用的典型题，通过中位线得到线段的倍分关系和平行关系，再结合全等三角形完成线段的等量转化，逻辑清晰，能很好地巩固中位线、全等三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
变式训练1 如图，$△ ABC$ 的中线BE，CF 相交于点G，用图中添加辅助线的方法(延长 BE 到 D，$GD=BG$，连接 AD)证明：$BG=2GE$，$CG=2GF$。
答案
证明:$\because GD=BG,BF=FA$,
$\therefore FG$ 是$△ ABD$ 的中位线,
$\therefore AD=2FG,FG// AD$,
$\therefore ∠ DAE=∠ ACF$。
在$△ AED$ 和$△ CEG$ 中,
$\begin{cases}∠ EAD=∠ ECG,\\AE=EC,\\∠ AED=∠ CEG,\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CEG$,
$\therefore AD=CG,GE=ED$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
$\therefore FG$ 是$△ ABD$ 的中位线,
$\therefore AD=2FG,FG// AD$,
$\therefore ∠ DAE=∠ ACF$。
在$△ AED$ 和$△ CEG$ 中,
$\begin{cases}∠ EAD=∠ ECG,\\AE=EC,\\∠ AED=∠ CEG,\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CEG$,
$\therefore AD=CG,GE=ED$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
解析
【分析】
要证明BG=2GE、CG=2GF的线段倍分关系，首先从已知条件入手：BE、CF是△ABC的中线，可得F是AB中点，E是AC中点；结合给出的辅助线GD=BG，可判断FG是△ABD的中位线，利用中位线性质得到AD与FG的数量、位置关系；再结合E是AC中点、平行线的内错角相等、对顶角相等证明△AED和△CEG全等，通过全等的性质转换线段，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：$\because GD=BG,BF=FA$,
$\therefore FG$ 是$△ ABD$ 的中位线,
$\therefore AD=2FG,FG// AD$,
$\therefore ∠DAE=∠ACF$。
在$△AED$ 和$△CEG$ 中,
$\begin{cases}∠EAD=∠ECG,\\AE=EC,\\∠AED=∠CEG,\end{cases}$
$\therefore △AED≌△CEG(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AD=CG,GE=ED$,
$\because BG=GD=GE+ED=2GE$，且$AD=2FG=CG$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
【答案】
证明成立，即$BG=2GE$，$CG=2GF$。
【知识点】
1.三角形中位线定理 2.全等三角形的判定与性质 3.三角形中线的定义
【点评】
本题是三角形重心性质的典型证明题，通过构造中位线得到线段的平行与倍分关系，再结合全等三角形完成线段的等量转换，帮助理解重心分中线为2:1的规律，需熟练掌握倍长线段构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.7
要证明BG=2GE、CG=2GF的线段倍分关系，首先从已知条件入手：BE、CF是△ABC的中线，可得F是AB中点，E是AC中点；结合给出的辅助线GD=BG，可判断FG是△ABD的中位线，利用中位线性质得到AD与FG的数量、位置关系；再结合E是AC中点、平行线的内错角相等、对顶角相等证明△AED和△CEG全等，通过全等的性质转换线段，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：$\because GD=BG,BF=FA$,
$\therefore FG$ 是$△ ABD$ 的中位线,
$\therefore AD=2FG,FG// AD$,
$\therefore ∠DAE=∠ACF$。
在$△AED$ 和$△CEG$ 中,
$\begin{cases}∠EAD=∠ECG,\\AE=EC,\\∠AED=∠CEG,\end{cases}$
$\therefore △AED≌△CEG(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AD=CG,GE=ED$,
$\because BG=GD=GE+ED=2GE$，且$AD=2FG=CG$,
$\therefore BG=2GE,CG=2GF$。
【答案】
证明成立，即$BG=2GE$，$CG=2GF$。
【知识点】
1.三角形中位线定理 2.全等三角形的判定与性质 3.三角形中线的定义
【点评】
本题是三角形重心性质的典型证明题，通过构造中位线得到线段的平行与倍分关系，再结合全等三角形完成线段的等量转换，帮助理解重心分中线为2:1的规律，需熟练掌握倍长线段构造辅助线的方法。
【难度系数】
0.7
