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10.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,P,N分别是AD,BD,BC的中点。求证:∠PMN=∠PNM。
答案
证明:$\because M,N,P$分别是$AD,BC,BD$的中点,
$\therefore PM=\frac{1}{2}AB,PN=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$,
$\therefore PM=PN$,
$\therefore ∠PNM=∠PMN$。
$\therefore PM=\frac{1}{2}AB,PN=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$,
$\therefore PM=PN$,
$\therefore ∠PNM=∠PMN$。
解析
【分析】
要证明∠PMN=∠PNM，可先证明这两个角所在的△PMN为等腰三角形，即证PM=PN。已知条件给出多个中点，可优先考虑三角形中位线定理：首先M、P分别是AD、BD的中点，因此PM是△ABD的中位线，可得PM=$\frac{1}{2}$AB；同理P、N分别是BD、BC的中点，PN是△BCD的中位线，可得PN=$\frac{1}{2}$CD。再结合已知AB=CD，即可推出PM=PN，最后根据等腰三角形等边对等角的性质即可得到待证结论。
【解析】
证明：$\because M,N,P$分别是$AD,BC,BD$的中点,
$\therefore PM=\frac{1}{2}AB,PN=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$,
$\therefore PM=PN$,
$\therefore ∠PNM=∠PMN$。
【答案】
$∠ PMN=∠ PNM$
【知识点】
三角形中位线定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查中点相关的线段性质应用，解题的关键是从多个中点的条件出发，借助三角形中位线定理建立已知边相等和待证角相等之间的关联，是三角形相关性质的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
要证明∠PMN=∠PNM，可先证明这两个角所在的△PMN为等腰三角形，即证PM=PN。已知条件给出多个中点，可优先考虑三角形中位线定理：首先M、P分别是AD、BD的中点，因此PM是△ABD的中位线，可得PM=$\frac{1}{2}$AB；同理P、N分别是BD、BC的中点，PN是△BCD的中位线，可得PN=$\frac{1}{2}$CD。再结合已知AB=CD，即可推出PM=PN，最后根据等腰三角形等边对等角的性质即可得到待证结论。
【解析】
证明：$\because M,N,P$分别是$AD,BC,BD$的中点,
$\therefore PM=\frac{1}{2}AB,PN=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$,
$\therefore PM=PN$,
$\therefore ∠PNM=∠PMN$。
【答案】
$∠ PMN=∠ PNM$
【知识点】
三角形中位线定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查中点相关的线段性质应用，解题的关键是从多个中点的条件出发，借助三角形中位线定理建立已知边相等和待证角相等之间的关联，是三角形相关性质的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
11.【三角形中位线定理】如图(1),在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点。请直接写出DE和BC的关系；
【应用】如图(2),在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数；
【拓展】如图(3),在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,点M,N分别为AD,BC的中点,MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG。求证:BD=AC。
【应用】如图(2),在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数；
【拓展】如图(3),在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,点M,N分别为AD,BC的中点,MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG。求证:BD=AC。
答案
【三角形中位线定理】$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$;
【应用】连接$BD$,如图所示。
$\because E,F$分别是边$AB,AD$的中点,
$\therefore EF// BD,BD=2EF=4$,
$\therefore ∠ADB=∠AFE=45°$。
$\because BC=5,CD=3$,
$\therefore BD^2+CD^2=25,BC^2=25$,
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$,
$\therefore ∠BDC=90°$,
$\therefore ∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°$。
【拓展】证明:取$DC$的中点$H$,连接$MH,NH$。
$\because M,H$分别是$AD,DC$的中点,
$\therefore MH$是$△ADC$的中位线,
$\therefore MH// AC$且$MH=\frac{1}{2}AC$(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半),
同理可得$NH// BD$且$NH=\frac{1}{2}BD$。
$\because EF=EG$,
$\therefore ∠EFG=∠EGF$。
$\because MH// AC,NH// BD$,
$\therefore ∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM$,
$\therefore ∠HMN=∠HNM$,
$\therefore MH=NH$,
$\therefore AC=BD$。
解析
【分析】
1. 第一问：D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，直接根据三角形中位线定理即可得到DE和BC的位置、数量关系。
2. 应用部分：已知AB、AD边上的两个中点，优先考虑构造中位线，连接BD后EF是△ABD的中位线，可求出BD的长度和∠ADB的度数；再结合BD、CD、BC的长度，用勾股定理逆定理判断△BDC为直角三角形，得到∠BDC的度数，两个角相加即可得到∠ADC的度数。
3. 拓展部分：要证BD=AC，已知AD、BC的中点，可取DC中点H，分别构造△ADC和△BDC的中位线，将AC、BD转化为两条中位线长度的2倍；再结合EF=EG得到等角，利用平行线的性质将等角转化到中位线构成的三角形中，由等角对等边得到两条中位线相等，即可推出AC=BD。
【解析】
三角形中位线定理
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
应用
连接BD，如图所示。
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
$\therefore EF// BD$，$BD=2EF=2×2=4$，
$\therefore ∠ ADB=∠ AFE=45°$（两直线平行，同位角相等）。
已知$BC=5$，$CD=3$，
计算得$BD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，$BC^2=5^2=25$，
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$，
由勾股定理逆定理得△BDC是直角三角形，$∠ BDC=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ADB+∠ BDC=45°+90°=135°$。
拓展
证明：取DC的中点H，连接MH、NH。
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
$\therefore MH// AC$且$MH=\frac{1}{2}AC$（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
同理，N、H分别是BC、DC的中点，NH是△BDC的中位线，
$\therefore NH// BD$且$NH=\frac{1}{2}BD$。
$\because EF=EG$，$\therefore ∠ EFG=∠ EGF$。
∵$MH// AC$，$\therefore ∠ EFG=∠ HMN$（两直线平行，同位角相等），
∵$NH// BD$，$\therefore ∠ EGF=∠ HNM$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ HMN=∠ HNM$，$\therefore MH=NH$，
$\therefore \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，即$AC=BD$。
【答案】
【三角形中位线定理】$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$;
【应用】连接$BD$,如图所示。
$\because E,F$分别是边$AB,AD$的中点,
$\therefore EF// BD,BD=2EF=4$,
$\therefore ∠ADB=∠AFE=45°$。
$\because BC=5,CD=3$,
$\therefore BD^2+CD^2=25,BC^2=25$,
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$,
$\therefore ∠BDC=90°$,
$\therefore ∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°$。
【拓展】证明:取$DC$的中点$H$,连接$MH,NH$。
$\because M,H$分别是$AD,DC$的中点,
$\therefore MH$是$△ADC$的中位线,
$\therefore MH// AC$且$MH=\frac{1}{2}AC$(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半),
同理可得$NH// BD$且$NH=\frac{1}{2}BD$。
$\because EF=EG$,
$\therefore ∠EFG=∠EGF$。
$\because MH// AC,NH// BD$,
$\therefore ∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM$,
$\therefore ∠HMN=∠HNM$,
$\therefore MH=NH$,
$\therefore AC=BD$。
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理逆定理；等腰三角形判定
【点评】
本题围绕三角形中位线定理层层递进设计，从基础定理的直接应用，到构造中位线解决四边形角度计算，再到构造双中位线证明线段相等，解题核心是遇到多个中点时，合理构造中位线实现线段、角度关系的转化，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
1. 第一问：D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，直接根据三角形中位线定理即可得到DE和BC的位置、数量关系。
2. 应用部分：已知AB、AD边上的两个中点，优先考虑构造中位线，连接BD后EF是△ABD的中位线，可求出BD的长度和∠ADB的度数；再结合BD、CD、BC的长度，用勾股定理逆定理判断△BDC为直角三角形，得到∠BDC的度数，两个角相加即可得到∠ADC的度数。
3. 拓展部分：要证BD=AC，已知AD、BC的中点，可取DC中点H，分别构造△ADC和△BDC的中位线，将AC、BD转化为两条中位线长度的2倍；再结合EF=EG得到等角，利用平行线的性质将等角转化到中位线构成的三角形中，由等角对等边得到两条中位线相等，即可推出AC=BD。
【解析】
三角形中位线定理
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$。
应用
连接BD，如图所示。
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
$\therefore EF// BD$，$BD=2EF=2×2=4$，
$\therefore ∠ ADB=∠ AFE=45°$（两直线平行，同位角相等）。
已知$BC=5$，$CD=3$，
计算得$BD^2+CD^2=4^2+3^2=25$，$BC^2=5^2=25$，
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$，
由勾股定理逆定理得△BDC是直角三角形，$∠ BDC=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ADB+∠ BDC=45°+90°=135°$。
拓展
证明：取DC的中点H，连接MH、NH。
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
$\therefore MH// AC$且$MH=\frac{1}{2}AC$（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）。
同理，N、H分别是BC、DC的中点，NH是△BDC的中位线，
$\therefore NH// BD$且$NH=\frac{1}{2}BD$。
$\because EF=EG$，$\therefore ∠ EFG=∠ EGF$。
∵$MH// AC$，$\therefore ∠ EFG=∠ HMN$（两直线平行，同位角相等），
∵$NH// BD$，$\therefore ∠ EGF=∠ HNM$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ HMN=∠ HNM$，$\therefore MH=NH$，
$\therefore \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，即$AC=BD$。
【答案】
【三角形中位线定理】$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$;
【应用】连接$BD$,如图所示。
$\because E,F$分别是边$AB,AD$的中点,
$\therefore EF// BD,BD=2EF=4$,
$\therefore ∠ADB=∠AFE=45°$。
$\because BC=5,CD=3$,
$\therefore BD^2+CD^2=25,BC^2=25$,
$\therefore BD^2+CD^2=BC^2$,
$\therefore ∠BDC=90°$,
$\therefore ∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°$。
【拓展】证明:取$DC$的中点$H$,连接$MH,NH$。
$\because M,H$分别是$AD,DC$的中点,
$\therefore MH$是$△ADC$的中位线,
$\therefore MH// AC$且$MH=\frac{1}{2}AC$(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半),
同理可得$NH// BD$且$NH=\frac{1}{2}BD$。
$\because EF=EG$,
$\therefore ∠EFG=∠EGF$。
$\because MH// AC,NH// BD$,
$\therefore ∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM$,
$\therefore ∠HMN=∠HNM$,
$\therefore MH=NH$,
$\therefore AC=BD$。
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理逆定理；等腰三角形判定
【点评】
本题围绕三角形中位线定理层层递进设计，从基础定理的直接应用，到构造中位线解决四边形角度计算，再到构造双中位线证明线段相等，解题核心是遇到多个中点时，合理构造中位线实现线段、角度关系的转化，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
