3.一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

A

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，首选根的判别式法，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式规则：对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。接下来先确定所给方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入计算$\Delta$的值，最后对应规则判断根的情况即可。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2-2x=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=0$，将其代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2-4×1×0=4-0=4$
因为$\Delta=4＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的情况判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，牢记判别式的计算方法和对应根的三种情况就能快速解题，也可通过因式分解等方法直接求解方程验证结论。
【难度系数】
0.9

4.已知关于$x$的方程$x^2+(m+3)x+3m=0$.
(1)若该方程的一个根为$x=1$,求$m$的值.
(2)求证:不论$m$取何实数,该方程总有实数根.

(1)解:$m=-1$.
(2)证明:因为$\Delta=(m+3)^2-4×3m=m^2+6m+9-12m=m^2-6m+9=(m-3)^2≥0$,
所以不论$m$取何实数,该方程总有实数根.

【分析】
（1）根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此把$x=1$代入原方程，可得到关于$m$的一元一次方程，求解该方程就能得到$m$的值。
（2）要证明不论$m$取何实数，方程总有实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，只需证明其根的判别式$\Delta=b^2-4ac$恒大于等于0即可。先确定方程对应$a、b、c$的取值，代入判别式化简后，结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
（1）解：将$x=1$代入方程$x^2+(m+3)x+3m=0$，可得：
$\begin{aligned}1^2+(m+3)×1+3m&=0\\1+m+3+3m&=0\\4m+4&=0\\m&=-1\end{aligned}$
（2）证明：在方程$x^2+(m+3)x+3m=0$中，$a=1$，$b=m+3$，$c=3m$，则根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(m+3)^2-4×1×3m\\&=m^2+6m+9-12m\\&=m^2-6m+9\\&=(m-3)^2\end{aligned}$
$\because$ 任意实数的平方都为非负数，即$(m-3)^2≥0$
$\therefore$ 不论$m$取何实数，总有$\Delta≥0$
$\therefore$ 不论$m$取何实数，该方程总有实数根。
【答案】
(1) $m=-1$；(2) 不论$m$取何实数，该方程总有实数根，证明成立。
【知识点】
方程根的定义；一元二次方程根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题，第一问直接代入根求值即可，第二问核心是掌握根的判别式和方程实根个数的关系，计算判别式时注意完全平方的化简，整体考查对基础概念的掌握。
【难度系数】
0.85

1.一元二次方程$x^2 -7x +6=0$的根的情况是（）

A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根

D

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路如下：第一步先从一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$中，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将三个系数代入判别式公式计算$\Delta$的取值；第三步根据$\Delta$的正负性判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应无实数根。
【解析】
对于方程$x^2 -7x +6=0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-7$，常数项$c=6$
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2-4ac=(-7)^2-4×1×6=49-24=25$
因为$\Delta=25＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考查判别式的应用，只要准确识别各项系数、正确计算判别式取值即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2.若关于$x$的方程$x^2 - x + m = 0$有实数根，则实数$m$的值可以是 （）

A.2
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

D

【分析】
要判断一元二次方程有实数根时参数m的取值，需用到一元二次方程根的判别式的相关知识。首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根等价于判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。我们先从给定方程中找出$a、b、c$的值，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围，再对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有实数根。
在方程$x^2 - x + m = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=m$，
代入判别式得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×1× m = 1 - 4m$
因为方程有实数根，所以$\Delta≥0$，即：
$1 - 4m ≥ 0$
移项得$4m≤1$，解得$m≤\frac{1}{4}$
观察选项，只有D选项的$\frac{1}{4}$满足$m≤\frac{1}{4}$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，是基础考点，解题的关键是准确记忆判别式的计算公式以及不同判别式取值对应的根的情况，计算难度较低。
【难度系数】
0.8

3.用公式法解方程$3x^2 -7=-5x$时，得$x=\frac{□\pm\sqrt{5^2 -4×3×(-7)}}{2×3}$，，则“$□$”处应填（）

A.−5
B.5
C.−7
D.7

A

【分析】
要确定“”处的数值，首先回忆公式法解一元二次方程的步骤：首先需要将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值，再对照求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，即可发现“”对应求根公式中的$-b$，因此先整理原方程求出$b$的值即可求解。
【解析】
首先将方程$3x^2 -7=-5x$移项，化为一元二次方程的一般形式：
$3x^2 +5x -7=0$
由此可得$a=3$，$b=5$，$c=-7$。
根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a$、$b$、$c$的值得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2 -4×3×(-7)}}{2×3}$
对比题目给出的式子，可知“”处应填$-5$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查公式法的应用，解题的易错点是未将方程化为一般形式就直接确定$b$的取值，只要牢记求根公式的形式，准确确定一般形式下各项的系数即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

4.一元二次方程$x^2 -5x -1=0$的根的判别式的值是。

29

【分析】
解决本题首先要回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中准确提取带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，第二步将三个系数代入判别式公式，按有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
先确定一元二次方程$x^2 -5x -1=0$的各项系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=-1$。
将系数代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×(-1) = 25 + 4 = 29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的判别式；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对根的判别式公式的掌握，解题时需注意准确识别各项系数的符号，避免因符号疏漏导致计算错误。
【难度系数】
0.85

5.用公式法解下列方程：
(1)$3x^2 + x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 - 5x + 2 = 0$；
(3)$3x^2 + 5x + 1 = 0$；
(4)$(3 - x)^2 + x^2 = 5$；
(5)$3x^2 + 5(2x + 1) = 0$。

(1)$x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$.
(2)$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$.
(3)$x_1=\frac{-5-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-5+\sqrt{13}}{6}$.
(4)$x_1=2,x_2=1$.
(5)$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$.

【分析】
公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②确定系数$a、b、c$的取值，注意符号要对应正确；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则有两个实数根；④将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后化简结果即可。本题5个小题均按此步骤依次求解即可。
【解析】
(1) 方程$3x^2 + x - 1 = 0$为一般形式，其中$a=3$，$b=1$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta = 1^2 - 4×3×(-1) = 1+12=13＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$。
(2) 方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-5$，$c=2$。
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×2×2 = 25-16=9＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{5\pm3}{4}$，即$x_1=\frac{5+3}{4}=2$，$x_2=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$。
(3) 方程$3x^2 + 5x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=3$，$b=5$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = 5^2 - 4×3×1 = 25-12=13＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$。
(4) 先整理方程$(3 - x)^2 + x^2 = 5$：展开左边得$9-6x+x^2+x^2=5$，移项合并同类项得$2x^2-6x+4=0$，两边同除以2化简为$x^2-3x+2=0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=2$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×2 = 9-8=1＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{3\pm1}{2}$，即$x_1=\frac{3+1}{2}=2$，$x_2=\frac{3-1}{2}=1$。
(5) 先整理方程$3x^2 + 5(2x + 1) = 0$：展开左边得$3x^2+10x+5=0$，为一般形式，其中$a=3$，$b=10$，$c=5$。
计算判别式：$\Delta = 10^2 - 4×3×5 = 100-60=40＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-10\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{-10\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$
(2)$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
(3)$x_1=\frac{-5-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{-5+\sqrt{13}}{6}$
(4)$x_1=2,x_2=1$
(5)$x_1=\frac{-5+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于公式法解方程的基础训练题，核心是熟练掌握公式法的求解流程，尤其要注意整理方程时的符号问题和判别式计算的准确性，计算完成后可代入原方程验证结果是否正确。
【难度系数】
0.75