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1.用公式法解下列方程：
(1)$3x^2 -8x +3=0$；
(2)$2x^2 -2\sqrt{3}x -1=0$。
(1)$3x^2 -8x +3=0$；
(2)$2x^2 -2\sqrt{3}x -1=0$。
答案
(1)$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$.
(2)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的思路可按四步走：①先确认方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②准确找出对应系数$a、b、c$，注意保留系数的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$可继续计算；④将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后得到方程的根。本题给出的两个方程均为一般形式，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 -8x +3=0$
这里$a=3$，$b=-8$，$c=3$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-8)^2 - 4×3×3 = 64 - 36 = 28＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8±\sqrt{28}}{2×3} = \frac{8±2\sqrt{7}}{6} = \frac{4±\sqrt{7}}{3}$
即$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$
(2) 对于方程$2x^2 -2\sqrt{3}x -1=0$
这里$a=2$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-1$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×2×(-1) = 12 + 8 = 20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{3}±\sqrt{20}}{2×2} = \frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{3}±\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$
(2)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式、根的判别式、二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心考查对求根公式的应用能力，解题的易错点是确定系数时容易忽略符号、二次根式化简和约分出错，熟练掌握计算步骤即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
使用公式法解一元二次方程的思路可按四步走：①先确认方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②准确找出对应系数$a、b、c$，注意保留系数的符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$可继续计算；④将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，化简后得到方程的根。本题给出的两个方程均为一般形式，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 -8x +3=0$
这里$a=3$，$b=-8$，$c=3$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-8)^2 - 4×3×3 = 64 - 36 = 28＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8±\sqrt{28}}{2×3} = \frac{8±2\sqrt{7}}{6} = \frac{4±\sqrt{7}}{3}$
即$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$
(2) 对于方程$2x^2 -2\sqrt{3}x -1=0$
这里$a=2$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=-1$
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×2×(-1) = 12 + 8 = 20＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：
$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{3}±\sqrt{20}}{2×2} = \frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{3}±\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$
(2)$x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式、根的判别式、二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心考查对求根公式的应用能力，解题的易错点是确定系数时容易忽略符号、二次根式化简和约分出错，熟练掌握计算步骤即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
【例2】若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
C
解析
【分析】
要确定一元二次方程有实数根时参数a的取值范围，需分两步思考：第一，题目明确给出是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；第二，方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。分别求解两个条件对应的a的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
化简：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
去括号：$4 -4a +4 ≥ 0$
合并同类项：$8 -4a ≥0$
移项得：$4a ≤8$
解得：$a ≤2$
结合$a≠1$的条件，可得a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅根据判别式求解导致错选A，解题时需先明确方程类型对应的前提限制，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程有实数根时参数a的取值范围，需分两步思考：第一，题目明确给出是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；第二，方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。分别求解两个条件对应的a的范围，再取公共部分即可得到最终取值范围。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
化简：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
去括号：$4 -4a +4 ≥ 0$
合并同类项：$8 -4a ≥0$
移项得：$4a ≤8$
解得：$a ≤2$
结合$a≠1$的条件，可得a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅根据判别式求解导致错选A，解题时需先明确方程类型对应的前提限制，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7
|一题多变|
（改变条件）若把例2中的“有实数根”改为“无实数根”，则实数a的取值范围是
（改变条件）若把例2中的“有实数根”改为“无实数根”，则实数a的取值范围是
$a＞2$
。答案
$a＞2$
解析
【分析】
要解决一元二次方程无实数根求参数范围的问题，首先回忆根的判别式的性质：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当$\Delta=B^2-4AC＜0$时，方程没有实数根。解题步骤为：第一步先确认原方程是一元二次方程，保证二次项系数不为0；第二步根据无实根的条件，代入原方程的各项系数列出关于$a$的不等式；第三步解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：由题意可知原方程为一元二次方程，无实数根需满足判别式$\Delta＜0$且二次项系数不为0。
结合原例2的方程系数代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2 - 4×(a-1)×1 ＜ 0$
计算得：$4 - 4a + 4 ＜ 0$
整理得：$8 - 4a ＜ 0$
移项得：$4a ＞ 8$
解得：$a ＞ 2$
当$a＞2$时，二次项系数$a-1＞1≠0$，满足一元二次方程的定义，符合要求。
【答案】
$a＞2$
【知识点】
根的判别式的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意先明确方程为一元二次方程，保证二次项系数不为0，再根据根的情况列不等式求解，熟练掌握判别式与方程根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要解决一元二次方程无实数根求参数范围的问题，首先回忆根的判别式的性质：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当$\Delta=B^2-4AC＜0$时，方程没有实数根。解题步骤为：第一步先确认原方程是一元二次方程，保证二次项系数不为0；第二步根据无实根的条件，代入原方程的各项系数列出关于$a$的不等式；第三步解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：由题意可知原方程为一元二次方程，无实数根需满足判别式$\Delta＜0$且二次项系数不为0。
结合原例2的方程系数代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2 - 4×(a-1)×1 ＜ 0$
计算得：$4 - 4a + 4 ＜ 0$
整理得：$8 - 4a ＜ 0$
移项得：$4a ＞ 8$
解得：$a ＞ 2$
当$a＞2$时，二次项系数$a-1＞1≠0$，满足一元二次方程的定义，符合要求。
【答案】
$a＞2$
【知识点】
根的判别式的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意先明确方程为一元二次方程，保证二次项系数不为0，再根据根的情况列不等式求解，熟练掌握判别式与方程根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2.若关于x的一元二次方程$ax^2+2x+1=0$有两个相等的实数根，则实数a的值为（
A.－4
B.－1
C.1
D.4
C
）A.－4
B.－1
C.1
D.4
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先，一元二次方程的前提是二次项系数不为0，即$a≠0$；其次，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，把方程对应系数代入判别式列方程求解即可得到a的值，最后验证a是否满足二次项系数不为0的要求即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2+2x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠0$
∵ 该方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
此方程中一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$2^2 - 4× a×1 = 0$
$4 - 4a = 0$
解得$a=1$，符合$a≠0$的要求。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握判别式的三种对应情况就能快速解答此类问题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先，一元二次方程的前提是二次项系数不为0，即$a≠0$；其次，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，把方程对应系数代入判别式列方程求解即可得到a的值，最后验证a是否满足二次项系数不为0的要求即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2+2x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a≠0$
∵ 该方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
此方程中一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$2^2 - 4× a×1 = 0$
$4 - 4a = 0$
解得$a=1$，符合$a≠0$的要求。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握判别式的三种对应情况就能快速解答此类问题。
【难度系数】
0.8
【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$.
(1)若方程的一个根为2,求实数$m$的值.
(2)试说明无论实数$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
|思路分析|
思考1:已知一元二次方程的根,如何求一元二次方程中参数的值?
思考2:若一元二次方程有两个不相等的实数根,则判别式
解:
(1)若方程的一个根为2,求实数$m$的值.
(2)试说明无论实数$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
|思路分析|
思考1:已知一元二次方程的根,如何求一元二次方程中参数的值?
思考2:若一元二次方程有两个不相等的实数根,则判别式
＞(或大于)
0.解:
答案
思考1:把原方程的根代入原方程,将原方程转化为一个关于参数的新方程,解这个新方程即可.
思考2:＞(或大于)
解:(1)$m=-1$.
(2)因为$a=1,b=m,c=-2$,所以$\Delta = b^2-4ac=m^2-4×1×(-2)=m^2+8$.
因为无论$m$取何值,$m^2+8＞0$恒成立,即无论$m$取何值,$\Delta＞0$恒成立,
所以无论实数$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
思考2:＞(或大于)
解:(1)$m=-1$.
(2)因为$a=1,b=m,c=-2$,所以$\Delta = b^2-4ac=m^2-4×1×(-2)=m^2+8$.
因为无论$m$取何值,$m^2+8＞0$恒成立,即无论$m$取何值,$\Delta＞0$恒成立,
所以无论实数$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
本题分两小问考察一元二次方程的相关知识：
1. 第(1)问已知方程的根求参数m，根据方程的根的定义，根是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以只需将已知根代入原方程，即可得到仅含参数m的方程，求解就能得到m的值。
2. 第(2)问要证明无论m取何值方程都有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式与根的关系：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。因此先写出方程对应的a、b、c，计算判别式，再结合平方的非负性判断判别式恒大于0即可。
【解析】
思考1：把原方程的根代入原方程，将原方程转化为一个关于参数的新方程，解这个新方程即可。
思考2：＞（或大于）
(1) 已知x=2是方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根，将x=2代入方程得：
$2^2 + 2m - 2 = 0$
化简得：$4 + 2m - 2 = 0$，即$2m + 2 = 0$
解得：$m = -1$
(2) 对于一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$
∵ 对任意实数m，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $m^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论实数m为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
思考1：把原方程的根代入原方程，将原方程转化为一个关于参数的新方程，解这个新方程即可；
思考2：＞；
(1)$m=-1$；
(2)无论实数m为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，既考察了代入法求方程参数的方法，又考察了根的判别式与方程根的情况的对应关系，解题时注意结合平方的非负性判断判别式的取值范围，是对核心基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题分两小问考察一元二次方程的相关知识：
1. 第(1)问已知方程的根求参数m，根据方程的根的定义，根是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以只需将已知根代入原方程，即可得到仅含参数m的方程，求解就能得到m的值。
2. 第(2)问要证明无论m取何值方程都有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式与根的关系：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。因此先写出方程对应的a、b、c，计算判别式，再结合平方的非负性判断判别式恒大于0即可。
【解析】
思考1：把原方程的根代入原方程，将原方程转化为一个关于参数的新方程，解这个新方程即可。
思考2：＞（或大于）
(1) 已知x=2是方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根，将x=2代入方程得：
$2^2 + 2m - 2 = 0$
化简得：$4 + 2m - 2 = 0$，即$2m + 2 = 0$
解得：$m = -1$
(2) 对于一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$
∵ 对任意实数m，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $m^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 无论实数m为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
思考1：把原方程的根代入原方程，将原方程转化为一个关于参数的新方程，解这个新方程即可；
思考2：＞；
(1)$m=-1$；
(2)无论实数m为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，既考察了代入法求方程参数的方法，又考察了根的判别式与方程根的情况的对应关系，解题时注意结合平方的非负性判断判别式的取值范围，是对核心基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
