25.2.2 公式法
学习目标
1.了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用求根公式解一元二次方程，发展推理能力和运算能力.
2.理解一元二次方程的根的判别式，会用判别式对一元二次方程根的情况作出判断.
知识生成·探究
$ x_1=x_2=\_\_\_\_\_\_ $;
(3)当 $ b^2 -4ac ＜0 $ 时，$ \frac{b^2 -4ac}{4a^2} ＜0 $，方程
______.

$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；方程无实数根

【分析】
解答本题需要结合一元二次方程求根公式的推导逻辑，根据根的判别式$b^2-4ac$的取值分类讨论根的情况：首先回忆求根公式的结构，根号下的被开方数就是判别式，当$b^2-4ac=0$时，被开方数为0，求根公式中$\pm\sqrt{b^2-4ac}$的部分就为0，两个根相等，代入计算即可得到结果；当$b^2-4ac＜0$时，在实数范围内负数没有算术平方根，因此根号部分无意义，对应方程就没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$：
1. 当$b^2-4ac=0$时，$\sqrt{b^2-4ac}=0$，代入求根公式得$x=\frac{-b\pm0}{2a}$，因此$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；
2. 当$b^2-4ac＜0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$在实数范围内无意义（负数没有算术平方根），因此方程无实数根。
【答案】
$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；方程无实数根
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.根的判别式与根的关系
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础识记题，核心考查根的判别式不同取值对应的根的情况，熟练掌握该内容是后续用公式法解方程、判断根的情况的前提。
【难度系数】
0.9

问题2:问题1中的方程在什么条件下,才能运用直接开平方法求方程的根?

只有当$\frac{b^2 -4ac}{4a^2} ≥ 0$时，才能运用直接开平方法求出方程的根.

【分析】
解题思路如下：1. 先回忆直接开平方法的适用要求：使用直接开平方法解方程时，需要将方程转化为“完全平方式=常数”的形式，且右边的常数必须是非负数，因为实数范围内负数没有平方根，无法开平方。2. 结合一元二次方程一般式的配方结果，得到配方后右侧的常数式，令该式满足非负的要求，即可得到对应的条件。
【解析】
问题1中的方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），对其配方过程如下：
1. 移项，得$ax^2+bx=-c$；
2. 二次项系数化为1，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方，两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，左边化为完全平方式：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
根据直接开平方法的要求，等式右边的被开方数必须是非负实数，因此只有当$\frac{b^2 -4ac}{4a^2} ≥ 0$时，才能对等式两边开平方，进而求出方程的根。
【答案】
只有当$\frac{b^2 -4ac}{4a^2} ≥ 0$时，才能运用直接开平方法求出方程的根.
【知识点】
直接开平方法；一元二次方程配方；平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法的适用条件，需要结合一元二次方程的配方过程理解开平方的限制要求，是推导一元二次方程求根公式的基础内容，有助于理解根的判别式的实际意义。
【难度系数】
0.8

问题3:因为$a≠0$,所以$4a^2＞0$.
(1)当$b^2-4ac＞0$时,$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$,
$x_1=$,$x_2=$;
(2)当$b^2-4ac=0$时,$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$0,

(1)$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；(2)$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$

【分析】
本题围绕一元二次方程求根公式的推导逻辑命题，解题思路如下：首先回忆配方法解一元二次方程的结果，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，配方后可得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；再结合已知条件分情况讨论：
(1)当判别式$b^2-4ac＞0$时，右侧分式为正，可对等式两边开平方，移项后即可得到两个不等的实数根；
(2)当判别式$b^2-4ac=0$时，分式的分子为0，分母$4a^2$恒大于0，由此可判断分式的取值。
【解析】
由配方法推导一元二次方程求根公式的过程可知，$ax^2+bx+c=0(a≠0)$配方后得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
(1)当$b^2-4ac＞0$时，$\frac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$，对等式两边同时开平方，得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将常数项移到右侧，可得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，因此两个根分别为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(2)当$b^2-4ac=0$时，分式的分子为0，分母$4a^2＞0$且不为0，因此$\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$，即横线处填等号。
【答案】
(1)$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；(2)$=$
【知识点】
一元二次方程求根公式，分式的性质，平方根的性质
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，核心考查求根公式的推导逻辑，熟练掌握配方法和判别式的相关性质是解题的关键，这类基础内容需要熟练掌握，为后续解方程打好基础。
【难度系数】
0.85

1.根的判别式
一般地，式子$b^2 - 4ac$叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$.
(1)当$\Delta＞0$时，方程有的实数根；
(2)当$\Delta=0$时，方程有的实数根；
(3)当$\Delta＜0$时，方程实数根.
2.公式法
(1)当$\Delta≥0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的实数根可写为$x=$的形式，这个式子叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的求根公式.
(2)把一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的系数$a,b,c$的值直接代入，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.

1.(1)两个不相等 (2)两个相等 (3)无
2.(1)$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (2)求根公式

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式、求根公式以及公式法的基础概念，属于识记类题目，解题时只需结合教材中对应概念的定义和结论直接填写即可。首先回忆根的判别式Δ的三种取值分别对应的根的情况，再回忆求根公式的形式和公式法的定义，就能顺利完成作答。
【解析】
1. 根的判别式相关结论：
(1) 当$\Delta＞0$时，$\sqrt{b^2-4ac}$为正实数，代入求根公式会得到两个不同的计算结果，因此方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$\Delta=0$时，$\sqrt{b^2-4ac}=0$，代入求根公式后$\pm0$不会改变计算结果，因此方程有两个相等的实数根；
(3) 当$\Delta＜0$时，$b^2-4ac$为负数，实数范围内负数没有平方根，因此方程无实数根。
2. 公式法相关内容：
(1) 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$用配方法推导，当$\Delta≥0$时，可得到方程的实数根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，该式就是一元二次方程的求根公式；
(2) 公式法的定义为：直接将一元二次方程的系数$a,b,c$代入求根公式，计算得到方程的根，无需再进行配方等操作。
【答案】
1.(1)两个不相等 (2)两个相等 (3)无
2.(1)$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (2)求根公式
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察对根的判别式、求根公式、公式法相关定义的记忆和理解，这些内容是用公式法求解一元二次方程的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

【例1】用公式法解下列方程：
(1)$4x^2 + 4x - 1 = -10 - 8x$；
(2)$6x^2 + 6 = 4\sqrt{6}x$。
解：
【规律方法】
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”
(1)把一元二次方程化为一般形式.
(2)确定$a,b,c$的值.
(3)计算$b^2 - 4ac$的值.
(4)当$b^2 - 4ac≥0$时，把$a,b,c$的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当$b^2 - 4ac＜0$时，方程无实数根.

(1)$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$；(2)此方程无实数根.

【分析】
用公式法解一元二次方程需严格遵循四个步骤：首先把原方程移项、合并同类项，整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；再准确对应确定$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上系数的符号；接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，若$\Delta＜0$则方程无实数根。
【解析】
(1) 先将方程整理为一般形式：
移项得$4x^2 + 4x - 1 + 10 + 8x = 0$，
合并同类项得$4x^2 + 12x + 9 = 0$，
∴$a=4$，$b=12$，$c=9$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=12^2 - 4×4×9=144 - 144=0$，
∴方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-12±\sqrt{0}}{2×4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$。
(2) 先将方程整理为一般形式：
移项得$6x^2 - 4\sqrt{6}x + 6 = 0$，
∴$a=6$，$b=-4\sqrt{6}$，$c=6$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-4\sqrt{6})^2 - 4×6×6=96 - 144=-48＜0$，
∴此方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$；(2)此方程无实数根
【知识点】
一元二次方程一般形式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格按照标准步骤操作，尤其要注意移项时的符号变化，以及判别式计算的准确性，避免因系数取值错误或计算失误失分。
【难度系数】
0.75