学习任务一 用因式分解法解一元二次方程
|情境探究|
已知一元二次方程 $x^2 +7x=0.$
问题1:这个方程的特点:
(1)方程是一元二次方程的一般形式;
(2)方程左边可利用法,化成两个一次因式的乘积;
(3)方程左边的为0.
问题2:把该方程左边进行因式分解,得.然后降次,化为两个一次式分别等于0的形式,可得,或,所以原方程的解是 $x_1=$, $x_2=$.
问题3:因式分解法是解一元二次方程的基本方法之一,具备什么特点的一元二次方程能用因式分解法来解?
问题4:用因式分解法解一元二次方程的根据是什么?
|知识梳理|
因式分解法:将一元二次方程先分解因式,使方程化为的乘积等于0的形式,再使这分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.

问题1:(2)提公因式 (3)常数项
问题2:$x(x+7)=0$ $x=0$ $x+7=0$ $0$ $-7$
问题3:左边易分解因式,右边是0的一元二次方程.
问题4:根据是“若 $ab=0$,则 $a=0$,或 $b=0$”.
知识梳理
两个一次式 两个一次式

【分析】
本题围绕因式分解法解一元二次方程的核心知识点设置分层问题，解题时可按以下思路推进：1. 先观察给定方程$x^2+7x=0$的结构特征：左边两项含公因式$x$，无常数项，右边为0，因此可通过提公因式法分解左边；2. 回忆因式分解法解方程的原理：若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0，据此将二次方程降为两个一次方程求解；3. 再结合设问，依次梳理因式分解法的适用条件、原理及概念定义即可。
【解析】
问题1
(2) 方程左边为$x^2+7x$，两项均含有公因式$x$，因此可利用提公因式法分解为两个一次因式的乘积；
(3) 方程为$x^2+7x=0$，左边不含常数项，即常数项为0。
问题2
对左边提公因式$x$，因式分解得$x(x+7)=0$；根据“乘积为0的两个数至少一个为0”的性质，可得两个一次方程：$x=0$，或$x+7=0$；分别求解得$x_1=0$，$x_2=-7$。
问题3
适合因式分解法求解的一元二次方程需满足：方程右边为0，且左边容易分解为两个一次因式的乘积。
问题4
因式分解法解方程的依据是：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即若$ab=0$，则$a=0$，或$b=0$。
知识梳理
因式分解法的定义为：将一元二次方程先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
【答案】
问题1:(2)提公因式 (3)常数项
问题2:$x(x+7)=0$ $x=0$ $x+7=0$ $0$ $-7$
问题3:左边易分解因式,右边是0的一元二次方程.
问题4:根据是“若 $ab=0$,则 $a=0$,或 $b=0$”.
知识梳理
两个一次式 两个一次式
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 提公因式法
3. 零乘积性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，通过层层递进的设问，引导学生逐步掌握因式分解法的适用条件、操作步骤和核心原理，能够帮助学生夯实一元二次方程求解的基础，为后续求解更复杂的一元二次方程做好铺垫。
【难度系数】
0.9

学习任务二 一元二次方程解法的选择
1.解一元二次方程的基本思路:先将二次方程化为两个,即,再分别解两个一次方程.
2.解一元二次方程常见的方法有直接开平方法、、、.
3.、适用于所有一元二次方程，、适用于某些一元二次方程.

1.一次方程 降次
2.配方法 公式法 因式分解法
3.配方法 公式法 直接开平方法 因式分解法

【分析】
本题是一元二次方程解法相关的基础概念题，核心考察对教材中基础知识点的识记能力。解题时只需回忆一元二次方程的解题核心思路、常见解法分类、不同解法的适用范围这三类基础知识点，逐一对应填空即可。
【解析】
1. 解一元二次方程的基本思路是“降次”，也就是将二次的方程转化为两个一次方程，再分别求解两个一次方程得到原方程的解，因此第一空填“一次方程”，第二空填“降次”。
2. 教材中明确列出解一元二次方程的4种常见方法，依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，因此对应三个空依次填入这三种方法。
3. 其中配方法、公式法没有前提限制，可适用于所有一元二次方程；直接开平方法仅适用于形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的特殊一元二次方程，因式分解法仅适用于等号右侧为0、左侧可分解为两个一次因式乘积的特殊一元二次方程，二者仅适用于某些一元二次方程，对应填空即可。
【答案】
1.一次方程 降次
2.配方法 公式法 因式分解法
3.配方法 公式法 直接开平方法 因式分解法
【知识点】
一元二次方程解题思路、一元二次方程的解法、解法的适用范围
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考察对一元二次方程解法相关基础知识点的记忆掌握情况，难度较低，是后续灵活选择合适方法解一元二次方程的必备基础，熟练记忆教材知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【例1】用因式分解法解方程：
(1)$x^2 +5x=0$；
(2)$x^2 -6x=-9$；
(3)$3x(3x+1)=6x+2$；
(4)$(2x+1)^2 - (x-1)^2=0$。
解：

(1)$x_1=0,x_2=-5.$
(2)$x_1=x_2=3.$
(3)$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=\dfrac{2}{3}.$
(4)$x_1=0,x_2=-2.$

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是“降次”，通用解题步骤为：①将方程整理为右边等于0的形式；②把方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，所得解就是原方程的解。
各小题具体思考方向：
(1) 方程左边有公因式$x$，直接提取公因式即可分解；
(2) 先移项把右边化为0，左边符合完全平方式特征，用完全平方公式分解；
(3) 先移项将右边的项移到左边，把$6x+2$变形为$2(3x+1)$，可提取公因式$3x+1$完成分解；
(4) 左边是两个整式的平方差，直接用平方差公式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 +5x=0$左边提取公因式，得：
$x(x+5)=0$
令两个因式分别为0，得$x=0$或$x+5=0$
解得$x_1=0,x_2=-5$。
(2) 先移项将方程化为右边为0的形式：
$x^2 -6x+9=0$
左边用完全平方公式分解，得：
$(x-3)^2=0$
令因式为0，得$x-3=0$
解得$x_1=x_2=3$。
(3) 先移项，将右边的项移到左边：
$3x(3x+1)-(6x+2)=0$
将$6x+2$变形为$2(3x+1)$，再提取公因式$3x+1$，得：
$(3x+1)(3x-2)=0$
令两个因式分别为0，得$3x+1=0$或$3x-2=0$
解得$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=\dfrac{2}{3}$。
(4) 左边用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，得：
$[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]=0$
化简括号内的整式，得：
$3x(x+2)=0$
令两个因式分别为0，得$3x=0$或$x+2=0$
解得$x_1=0,x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-5$
(2)$x_1=x_2=3$
(3)$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=\dfrac{2}{3}$
(4)$x_1=0,x_2=-2$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
3.公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，覆盖了提公因式、完全平方公式、平方差公式等常见因式分解方法，解题时注意先将方程右侧化为0再分解，不要直接约去含未知数的公因式，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8