1.用因式分解法解下列方程：
(1)$(x-1)^2=(2x+3)^2$；
(2)$(x+5)^2=6(x+5)$。

(1)$x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-4.$
(2)$x_1=-5,x_2=1.$

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。
对于第(1)题，方程两边都是完全平方式，可先移项，利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解因式；对于第(2)题，方程两边都含有公因式$(x+5)$，先移项再提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 移项，得：
$(x-1)^2 - (2x+3)^2 = 0$
利用平方差公式分解因式，得：
$[(x-1)+(2x+3)][(x-1)-(2x+3)] = 0$
化简括号内的式子，得：
$(3x + 2)(-x -4) = 0$
则$3x+2=0$或$-x-4=0$
解$3x+2=0$，得$x_1=-\dfrac{2}{3}$；解$-x-4=0$，得$x_2=-4$
(2) 移项，得：
$(x+5)^2 - 6(x+5) = 0$
提取公因式$(x+5)$，得：
$(x+5)(x+5 -6) = 0$
化简，得：
$(x+5)(x-1)=0$
则$x+5=0$或$x-1=0$
解$x+5=0$，得$x_1=-5$；解$x-1=0$，得$x_2=1$
【答案】
(1)$x_1=-\dfrac{2}{3},x_2=-4$
(2)$x_1=-5,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解方程、平方差公式、提取公因式法分解因式
【点评】
这两道题是因式分解法解方程的基础题型，分别考查了利用平方差公式和提取公因式法分解因式求解方程的能力，熟练掌握常见因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【例2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.请选择你认为适当的方法解下列方程:
(1)$x^2 - 3x + 1 = 0$;
(2)$(x - 1)^2 = 3$;
(3)$(3x - 4)^2 = 9x - 12$;
(4)$x^2 - 2x = 4$.
|思路分析|

解:
【规律方法】
一元二次方程解法的选择思路
(1)形如$ax^2 + c = 0(a≠0,ac≤0)$的方程，即缺少一次项的方程，常用直接开平方法求解，也可用平方差公式先分解因式再求解.
(2)形如$x^2 + 2nx + m = 0$的方程可用配方法求解.
(3)形如$ax^2 + bx = 0(a≠0)$的方程，即缺少常数项的方程，常用因式分解法求解.
(4)形如$x^2 ± 2ax + a^2 = 0$的方程可用完全平方公式分解因式求解.
(5)结构无明显特征的一元二次方程考虑用公式法求解.

思路分析
公式法 直接开平方法 因式分解法 配方法
解:(1)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}.$
(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}.$
(3)$x_1=\dfrac{4}{3},x_2=\dfrac{7}{3}.$
(4)$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}.$

【分析】
解题时先根据每个一元二次方程的结构特征选择对应简便解法：①方程(1)无特殊结构，无法直接开平方或因式分解，选择公式法，先确定a、b、c的值，计算判别式后代入求根公式求解；②方程(2)左边是完全平方式，右边为正的常数，符合直接开平方法的特征，直接开平方后移项即可得解；③方程(3)右边可变形为3(3x-4)，移项后两项含公因式(3x-4)，选择因式分解法，提取公因式后转化为两个一次方程求解；④方程(4)二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，方程两边加1将左边配成完全平方式后再开平方求解。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，选择公式法：
其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2-4×1×1=5＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程$(x-1)^2=3$，选择直接开平方法：
两边直接开平方得$x-1=\pm\sqrt{3}$，
移项得$x=1\pm\sqrt{3}$。
(3) 对于方程$(3x-4)^2=9x-12$，选择因式分解法：
先将右边变形为$3(3x-4)$，移项得$(3x-4)^2-3(3x-4)=0$，
提取公因式$(3x-4)$得$(3x-4)(3x-7)=0$，
则$3x-4=0$或$3x-7=0$，解得$x=\frac{4}{3}$或$x=\frac{7}{3}$。
(4) 对于方程$x^2-2x=4$，选择配方法：
方程两边同时加1，得$x^2-2x+1=5$，即$(x-1)^2=5$，
开平方得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=1\pm\sqrt{5}$。
【答案】
表格依次填写：公式法；直接开平方法；因式分解法；配方法
(1)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(3)$x_1=\dfrac{4}{3},x_2=\dfrac{7}{3}$
(4)$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法应用，解题核心是根据方程的结构特征选择最简便的解法，可有效提升解题效率和准确率，是一元二次方程部分的基础题型。
【难度系数】
0.7

2.用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 + 4x - 1 = 0$；
(2)$9(x + 1)^2 = (2x - 5)^2$；
(3)$(x - 1)(x + 2) = 4$。

(1)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}.$
(2)$x_1=\dfrac{2}{5},x_2=-8.$
(3)$x_1=-3,x_2=2.$

【分析】
我们需要根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
(1)方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的二次项系数为1，一次项系数是偶数，适合用配方法求解，步骤为移项、配方、开平方、求解；
(2)方程左右两边都是完全平方式，适合用因式分解法（平方差公式）求解，先移项将右边化为0，再用平方差公式分解因式，转化为两个一次方程求解；
(3)方程左边是乘积形式但右边不为0，需要先展开整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 解：$x^2 + 4x - 1 = 0$
移项，得 $x^2 + 4x = 1$
配方，两边同时加4，得 $x^2 +4x +4 = 1 +4$
即 $(x+2)^2 =5$
开平方，得 $x+2 = \pm\sqrt{5}$
解得 $x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$
(2) 解：$9(x + 1)^2 = (2x - 5)^2$
移项，得 $[3(x+1)]^2 - (2x-5)^2 =0$
由平方差公式因式分解，得 $[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]=0$
化简括号内的式子，得 $(5x-2)(x+8)=0$
则 $5x-2=0$ 或 $x+8=0$
解得 $x_1=\dfrac{2}{5},x_2=-8$
(3) 解：$(x - 1)(x + 2) = 4$
展开左边并整理，得 $x^2 +x -2 -4 =0$
即 $x^2 +x -6=0$
十字相乘法因式分解，得 $(x+3)(x-2)=0$
则 $x+3=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-3,x_2=2$
【答案】
(1)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}.$
(2)$x_1=\dfrac{2}{5},x_2=-8.$
(3)$x_1=-3,x_2=2.$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时需结合方程的形式选择最优解法，能够有效简化计算过程，提高解题准确率，熟练掌握不同解法的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8