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1.关于$x$的一元二次方程的两根为$x_1=-5$，$x_2=6$，则这个一元二次方程可以是 （
A.$(x+5)(x+6)=0$
B.$(x-5)(x-6)=0$
C.$(x+5)(x-6)=0$
D.$(x-5)(x+6)=0$
C
）A.$(x+5)(x+6)=0$
B.$(x-5)(x-6)=0$
C.$(x+5)(x-6)=0$
D.$(x-5)(x+6)=0$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定符合两根为$x_1=-5$、$x_2=6$的一元二次方程，可利用因式分解法解一元二次方程的逆逻辑推导：若一元二次方程因式分解后为$(x-a)(x-b)=0$，则方程的两根为$x=a$、$x=b$，因此我们可以根据已知的两根反向写出因式分解形式的方程，也可以逐个求解选项中的方程，对比根是否匹配即可得到答案。
【解析】
方法一：逆用因式分解法解方程的规律
若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$。
将$x_1=-5$，$x_2=6$代入得：
$(x-(-5))(x-6)=0$，化简为$(x+5)(x-6)=0$，对应选项C。
方法二：逐个验证选项
A选项：$(x+5)(x+6)=0$的两根为$x_1=-5$，$x_2=-6$，不符合题意；
B选项：$(x-5)(x-6)=0$的两根为$x_1=5$，$x_2=6$，不符合题意；
C选项：$(x+5)(x-6)=0$的两根为$x_1=-5$，$x_2=6$，符合题意；
D选项：$(x-5)(x+6)=0$的两根为$x_1=5$，$x_2=-6$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，既可以通过逆用因式分解法解方程的规律快速得到结果，也可以通过求解各选项的方程进行验证，解题方法灵活，核心是掌握因式分解形式的一元二次方程和根的对应关系。
【难度系数】
0.9
要确定符合两根为$x_1=-5$、$x_2=6$的一元二次方程，可利用因式分解法解一元二次方程的逆逻辑推导：若一元二次方程因式分解后为$(x-a)(x-b)=0$，则方程的两根为$x=a$、$x=b$，因此我们可以根据已知的两根反向写出因式分解形式的方程，也可以逐个求解选项中的方程，对比根是否匹配即可得到答案。
【解析】
方法一：逆用因式分解法解方程的规律
若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$。
将$x_1=-5$，$x_2=6$代入得：
$(x-(-5))(x-6)=0$，化简为$(x+5)(x-6)=0$，对应选项C。
方法二：逐个验证选项
A选项：$(x+5)(x+6)=0$的两根为$x_1=-5$，$x_2=-6$，不符合题意；
B选项：$(x-5)(x-6)=0$的两根为$x_1=5$，$x_2=6$，不符合题意；
C选项：$(x+5)(x-6)=0$的两根为$x_1=-5$，$x_2=6$，符合题意；
D选项：$(x-5)(x+6)=0$的两根为$x_1=5$，$x_2=-6$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，既可以通过逆用因式分解法解方程的规律快速得到结果，也可以通过求解各选项的方程进行验证，解题方法灵活，核心是掌握因式分解形式的一元二次方程和根的对应关系。
【难度系数】
0.9
2.解方程$x(2x+3)-3(2x+3)=0$比较适当的方法是（
A.公式法
B.因式分解法
C.配方法
D.直接开平方法
B
）A.公式法
B.因式分解法
C.配方法
D.直接开平方法
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确一元二次方程四种常见解法的适用场景：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程；配方法适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程；公式法是通用解法，但计算量相对较大；因式分解法适用于方程左边容易分解为两个一次因式乘积、右边为0的情况。观察本题的方程，左边两项含有相同的公因式$(2x+3)$，很容易提取公因式完成因式分解，因此优先考虑因式分解法。
【解析】
观察方程$x(2x+3)-3(2x+3)=0$的结构：
方程左边两项均含有公因式$(2x+3)$，可直接提取公因式，将方程变形为：
$(2x+3)(x-3)=0$
无需展开整理为一般式即可快速求解，因此该方程最适当的解法是因式分解法。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择简便解法，既能减少计算量，也能提高解题正确率。
【难度系数】
0.9
首先明确一元二次方程四种常见解法的适用场景：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程；配方法适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程；公式法是通用解法，但计算量相对较大；因式分解法适用于方程左边容易分解为两个一次因式乘积、右边为0的情况。观察本题的方程，左边两项含有相同的公因式$(2x+3)$，很容易提取公因式完成因式分解，因此优先考虑因式分解法。
【解析】
观察方程$x(2x+3)-3(2x+3)=0$的结构：
方程左边两项均含有公因式$(2x+3)$，可直接提取公因式，将方程变形为：
$(2x+3)(x-3)=0$
无需展开整理为一般式即可快速求解，因此该方程最适当的解法是因式分解法。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择简便解法，既能减少计算量，也能提高解题正确率。
【难度系数】
0.9
3.一元二次方程$x^2 - 3x = 0$的解是 （
A.$x=0$
B.$x=3$
C.$x_1=0,x_2=-3$
D.$x_1=0,x_2=3$
D
）A.$x=0$
B.$x=3$
C.$x_1=0,x_2=-3$
D.$x_1=0,x_2=3$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程左边的形式，发现两项都含有公因式x，可先通过提公因式法对左边进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，再匹配对应选项。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 3x = 0$左边提公因式$x$，可得：
$x(x - 3) = 0$
根据两式相乘为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，成立；
当$x-3=0$时，解得$x=3$。
因此原方程的解为$x_1=0, x_2=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握提公因式分解的方法，理解因式分解法解一元二次方程的原理，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程左边的形式，发现两项都含有公因式x，可先通过提公因式法对左边进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，再匹配对应选项。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 3x = 0$左边提公因式$x$，可得：
$x(x - 3) = 0$
根据两式相乘为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，成立；
当$x-3=0$时，解得$x=3$。
因此原方程的解为$x_1=0, x_2=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握提公因式分解的方法，理解因式分解法解一元二次方程的原理，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.小明与某人工智能的对话如下，人工智能在深度思考后，给出的正确答案是 （
新对话
有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再
2，运算结果等于这个数的两倍.
深度思考中…
A.这个数是2
B.这个数是2或1
C.这个数是－1
D.这个数是2或－1
B
）新对话
有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再
2，运算结果等于这个数的两倍.深度思考中…
A.这个数是2
B.这个数是2或1
C.这个数是－1
D.这个数是2或－1
答案
4.B
解析
【分析】
遇到这类文字描述的求值问题，我们可以通过设未知数将文字转化为数学方程求解：首先设这个数为$x$，再按照题目给出的运算顺序，逐步写出对应的代数式，根据运算结果的等量关系列出一元二次方程，再用因式分解法解方程即可得到这个数的取值。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意列方程：
$x^2 + (-x) + 2 = 2x$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
用因式分解法对左侧分解因式：
$(x-1)(x-2) = 0$
可得$x-1=0$或$x-2=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$
因此这个数是2或1。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题核心是准确理解题意，将文字描述转化为数学方程，解方程过程难度较低，注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.8
遇到这类文字描述的求值问题，我们可以通过设未知数将文字转化为数学方程求解：首先设这个数为$x$，再按照题目给出的运算顺序，逐步写出对应的代数式，根据运算结果的等量关系列出一元二次方程，再用因式分解法解方程即可得到这个数的取值。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意列方程：
$x^2 + (-x) + 2 = 2x$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
用因式分解法对左侧分解因式：
$(x-1)(x-2) = 0$
可得$x-1=0$或$x-2=0$
解得$x_1=1$，$x_2=2$
因此这个数是2或1。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题核心是准确理解题意，将文字描述转化为数学方程，解方程过程难度较低，注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.8
5.(新定义题)对于任意实数$a,b$,定义新运算“▽”: $a▽b=ab^2 + b$.例如:$2▽3=2×3^2 +3=21$,则方程$5▽(-x)=0$的解为 (
A.$x_1=0,x_2=\dfrac{1}{5}$
B.$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{5}$
C.$x_1=-5,x_2=0$
D.$x_1=x_2=-\dfrac{1}{5}$
A
)A.$x_1=0,x_2=\dfrac{1}{5}$
B.$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{5}$
C.$x_1=-5,x_2=0$
D.$x_1=x_2=-\dfrac{1}{5}$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新运算“▽”的规则：$a▽b$等于第一个数乘第二个数的平方，再加第二个数。我们需要先将方程中的$5▽(-x)$按照新运算规则转化为常规的代数方程，再用因式分解法求解得到方程的根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据新运算的定义$a▽b=ab^2 + b$，将$a=5$，$b=-x$代入可得：
$5× (-x)^2 + (-x) = 0$
整理得：
$5x^2 - x = 0$
对左边因式分解，提取公因式$x$：
$x(5x - 1) = 0$
则$x=0$或$5x - 1 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\dfrac{1}{5}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是正确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为我们熟悉的代数方程，再按一元二次方程的解法求解即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解新运算“▽”的规则：$a▽b$等于第一个数乘第二个数的平方，再加第二个数。我们需要先将方程中的$5▽(-x)$按照新运算规则转化为常规的代数方程，再用因式分解法求解得到方程的根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据新运算的定义$a▽b=ab^2 + b$，将$a=5$，$b=-x$代入可得：
$5× (-x)^2 + (-x) = 0$
整理得：
$5x^2 - x = 0$
对左边因式分解，提取公因式$x$：
$x(5x - 1) = 0$
则$x=0$或$5x - 1 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\dfrac{1}{5}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是正确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为我们熟悉的代数方程，再按一元二次方程的解法求解即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
6.若代数式$x^2 -4x -5$与$x^2 -1$的值互为相反数，则$x$的值为
3或－1
。答案
6.3或－1
解析
【分析】
解题第一步先根据“互为相反数的两个数之和为0”的性质，列出两个代数式相加等于0的方程；第二步把整理得到的一元二次方程用因式分解法求解，具体是先化简方程，再将左边因式分解为两个一次因式的乘积，最后分别令两个因式为0解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵代数式$x^2 -4x -5$与$x^2 -1$的值互为相反数
∴$(x^2 -4x -5) + (x^2 -1) = 0$
合并同类项，得：
$2x^2 -4x -6 = 0$
两边同时除以2化简，得：
$x^2 -2x -3 = 0$
对左边因式分解（十字相乘法），得：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
则$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
【答案】
3或－1
【知识点】
1.相反数的性质
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据题意列方程的能力以及因式分解法解一元二次方程的掌握程度，解题的关键是准确利用相反数的性质列出方程，因式分解时注意系数的符号避免出错。
【难度系数】
0.8
解题第一步先根据“互为相反数的两个数之和为0”的性质，列出两个代数式相加等于0的方程；第二步把整理得到的一元二次方程用因式分解法求解，具体是先化简方程，再将左边因式分解为两个一次因式的乘积，最后分别令两个因式为0解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：
∵代数式$x^2 -4x -5$与$x^2 -1$的值互为相反数
∴$(x^2 -4x -5) + (x^2 -1) = 0$
合并同类项，得：
$2x^2 -4x -6 = 0$
两边同时除以2化简，得：
$x^2 -2x -3 = 0$
对左边因式分解（十字相乘法），得：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
则$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
【答案】
3或－1
【知识点】
1.相反数的性质
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据题意列方程的能力以及因式分解法解一元二次方程的掌握程度，解题的关键是准确利用相反数的性质列出方程，因式分解时注意系数的符号避免出错。
【难度系数】
0.8
7.若方程$x^2 -6x +8=0$的两个实数根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长是
10
。答案
7.10
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步先求解一元二次方程，得到两个根；第二步结合等腰三角形两边相等的性质，分两种情况讨论两根分别作为腰、底的情况；第三步利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证每种情况是否成立，排除不符合的情况后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
首先用因式分解法解方程$x^2 -6x +8=0$：
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=4$。
接下来分两种情况讨论等腰三角形的边长：
1. 若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2、2、4。
因为$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，故该情况舍去。
2. 若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4、4、2。
验证：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三边关系，可构成三角形。
周长为：$4+4+2=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心易错点是分类讨论后忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长，解题时要注意构成三角形的前提条件。
【难度系数】
0.7
解题可分三步进行：第一步先求解一元二次方程，得到两个根；第二步结合等腰三角形两边相等的性质，分两种情况讨论两根分别作为腰、底的情况；第三步利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证每种情况是否成立，排除不符合的情况后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
首先用因式分解法解方程$x^2 -6x +8=0$：
因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=4$。
接下来分两种情况讨论等腰三角形的边长：
1. 若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2、2、4。
因为$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，故该情况舍去。
2. 若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4、4、2。
验证：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三边关系，可构成三角形。
周长为：$4+4+2=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心易错点是分类讨论后忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长，解题时要注意构成三角形的前提条件。
【难度系数】
0.7
8.用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 - 8x = 0$；
(2)$(x - 3)^2 = 12$；
(3)$x^2 - 4x - 5 = 0$；
(4)$2x^2 - 3x - 1 = 0$。
(1)$x^2 - 8x = 0$；
(2)$(x - 3)^2 = 12$；
(3)$x^2 - 4x - 5 = 0$；
(4)$2x^2 - 3x - 1 = 0$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=8.$
(2)$x_1=3-2\sqrt{3},x_2=3+2\sqrt{3}.$
(3)$x_1=-1,x_2=5.$
(4)$x_1=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}.$
(2)$x_1=3-2\sqrt{3},x_2=3+2\sqrt{3}.$
(3)$x_1=-1,x_2=5.$
(4)$x_1=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}.$
解析
【分析】
解一元二次方程时需根据方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左边两项都含公因式x，适合用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次方程求解；
(2) 方程左边是完全平方式，右边是非负常数，适合用直接开平方法，两边开平方后转化为一次方程求解；
(3) 方程左边二次三项式可通过十字相乘法因式分解，用因式分解法求解更快捷；
(4) 方程无明显因式分解特征、也不符合直接开平方的形式，选用公式法，先确定a、b、c的值，计算判别式后代入求根公式即可。
【解析】
(1) $x^2 - 8x = 0$
提取公因式得：$x(x - 8) = 0$
可得$x=0$或$x-8=0$
解得$x_1=0,x_2=8$。
(2) $(x - 3)^2 = 12$
两边同时开平方得：$x - 3 = \pm2\sqrt{3}$
移项得$x = 3\pm2\sqrt{3}$
解得$x_1=3-2\sqrt{3},x_2=3+2\sqrt{3}$。
(3) $x^2 - 4x - 5 = 0$
十字相乘法因式分解得：$(x + 1)(x - 5) = 0$
可得$x+1=0$或$x-5=0$
解得$x_1=-1,x_2=5$。
(4) $2x^2 - 3x - 1 = 0$
由方程得$a=2,b=-3,c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-1) = 17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_1=\frac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=8$；
(2)$x_1=3-2\sqrt{3},x_2=3+2\sqrt{3}$；
(3)$x_1=-1,x_2=5$；
(4)$x_1=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题核心是根据不同方程的结构特点灵活选择简便的解法，熟练掌握各类解法的运算步骤是正确解题的基础。
【难度系数】
0.85
解一元二次方程时需根据方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左边两项都含公因式x，适合用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次方程求解；
(2) 方程左边是完全平方式，右边是非负常数，适合用直接开平方法，两边开平方后转化为一次方程求解；
(3) 方程左边二次三项式可通过十字相乘法因式分解，用因式分解法求解更快捷；
(4) 方程无明显因式分解特征、也不符合直接开平方的形式，选用公式法，先确定a、b、c的值，计算判别式后代入求根公式即可。
【解析】
(1) $x^2 - 8x = 0$
提取公因式得：$x(x - 8) = 0$
可得$x=0$或$x-8=0$
解得$x_1=0,x_2=8$。
(2) $(x - 3)^2 = 12$
两边同时开平方得：$x - 3 = \pm2\sqrt{3}$
移项得$x = 3\pm2\sqrt{3}$
解得$x_1=3-2\sqrt{3},x_2=3+2\sqrt{3}$。
(3) $x^2 - 4x - 5 = 0$
十字相乘法因式分解得：$(x + 1)(x - 5) = 0$
可得$x+1=0$或$x-5=0$
解得$x_1=-1,x_2=5$。
(4) $2x^2 - 3x - 1 = 0$
由方程得$a=2,b=-3,c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-1) = 17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$，
解得$x_1=\frac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=8$；
(2)$x_1=3-2\sqrt{3},x_2=3+2\sqrt{3}$；
(3)$x_1=-1,x_2=5$；
(4)$x_1=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题核心是根据不同方程的结构特点灵活选择简便的解法，熟练掌握各类解法的运算步骤是正确解题的基础。
【难度系数】
0.85
