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15.用每小时可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间（包括1200吨和1500吨）,那么大约需要多长时间才能将污水抽完？
答案
15. 40~50小时(包括40小时和50小时)
解析
【分析】
解题时首先明确所求为抽完污水的时间，可先设时间为未知数，再根据“抽水总量=抽水速度×抽水时间”，结合题干给出的积存污水的范围列出不等关系，最后利用不等式的基本性质求解不等式即可得到时间范围。注意题干明确“包括1200吨和1500吨”，列不等式时要带等号。
【解析】
解：设需要$x$小时才能将污水抽完。
由题意得，抽水总量等于积存的污水量，积存污水范围为1200吨到1500吨（含两端值），因此可列不等式：
$1200 ≤ 30x ≤ 1500$
根据不等式的基本性质，不等式三边同时除以正数30，不等号方向不变，计算得：
$\frac{1200}{30} ≤ x ≤ \frac{1500}{30}$
即$40 ≤ x ≤ 50$
【答案】
40~50小时(包括40小时和50小时)
【知识点】
1. 一元一次不等式的实际应用
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式在实际生活中的基础应用，解题关键是准确根据题干的范围条件列出不等关系，求解时注意除以正数时不等号方向不变即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确所求为抽完污水的时间，可先设时间为未知数，再根据“抽水总量=抽水速度×抽水时间”，结合题干给出的积存污水的范围列出不等关系，最后利用不等式的基本性质求解不等式即可得到时间范围。注意题干明确“包括1200吨和1500吨”，列不等式时要带等号。
【解析】
解：设需要$x$小时才能将污水抽完。
由题意得，抽水总量等于积存的污水量，积存污水范围为1200吨到1500吨（含两端值），因此可列不等式：
$1200 ≤ 30x ≤ 1500$
根据不等式的基本性质，不等式三边同时除以正数30，不等号方向不变，计算得：
$\frac{1200}{30} ≤ x ≤ \frac{1500}{30}$
即$40 ≤ x ≤ 50$
【答案】
40~50小时(包括40小时和50小时)
【知识点】
1. 一元一次不等式的实际应用
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式在实际生活中的基础应用，解题关键是准确根据题干的范围条件列出不等关系，求解时注意除以正数时不等号方向不变即可。
【难度系数】
0.8
16. 已知关于$x$的不等式$(m-1)x＞6$，两边同除以$(m-1)$，得$x＜\frac{6}{m-1}$，试化简：$|m-1|-|2-m|$。
答案
16. 由题意可得$m＜1$,$|m-1|-|2-m|=(1-m)-(2-m)=-1$
解析
【分析】
首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向会发生改变。题目中不等式$(m-1)x＞6$两边除以$(m-1)$后不等号方向变为小于号，由此可推出$m-1＜0$，即$m＜1$。接下来化简绝对值式子需要判断绝对值内表达式的正负：当$m＜1$时，$m-1$是负数，$2-m$是正数，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值符号，最后合并计算即可。
【解析】
解：
∵ 不等式$(m-1)x＞6$两边除以$(m-1)$后，不等号方向改变，
∴ 根据不等式的基本性质，得$m-1＜0$，
解得$m＜1$，
∴ $m-1＜0$，$2-m＞2-1=1＞0$，
∴ $|m-1|=1-m$，$|2-m|=2-m$，
∴ $|m-1|-|2-m|=(1-m)-(2-m)=1-m-2+m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
不等式的基本性质；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先根据不等号方向的变化判断出参数$m$的取值范围，再结合绝对值的性质化简计算，熟练掌握不等式的性质和绝对值的化简规则是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向会发生改变。题目中不等式$(m-1)x＞6$两边除以$(m-1)$后不等号方向变为小于号，由此可推出$m-1＜0$，即$m＜1$。接下来化简绝对值式子需要判断绝对值内表达式的正负：当$m＜1$时，$m-1$是负数，$2-m$是正数，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值符号，最后合并计算即可。
【解析】
解：
∵ 不等式$(m-1)x＞6$两边除以$(m-1)$后，不等号方向改变，
∴ 根据不等式的基本性质，得$m-1＜0$，
解得$m＜1$，
∴ $m-1＜0$，$2-m＞2-1=1＞0$，
∴ $|m-1|=1-m$，$|2-m|=2-m$，
∴ $|m-1|-|2-m|=(1-m)-(2-m)=1-m-2+m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
不等式的基本性质；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先根据不等号方向的变化判断出参数$m$的取值范围，再结合绝对值的性质化简计算，熟练掌握不等式的性质和绝对值的化简规则是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
17. “综合与实践”学习活动小组的同学准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为$a,b,c$，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度。
(1)用记号$(a,b,c)(a≤b≤c)$表示一个满足条件的三角形，如$(2,3,3)$表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形。
(2)用直尺和圆规作出三边满足$a＜b＜c$的三角形。(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹)
(1)用记号$(a,b,c)(a≤b≤c)$表示一个满足条件的三角形，如$(2,3,3)$表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形。
(2)用直尺和圆规作出三边满足$a＜b＜c$的三角形。(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹)
答案
17.(1)共九种:$(2,2,2)(2,2,3)(2,3,3)(2,3,4)(2,4,4)(3,3,3)(3,3,4)(3,4,4)(4,4,4)$
(2)只有$a=2,b=3,c=4$的一个三角形,如图所示的$△ ABC$就是满足条件的三角形
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先确定所有可能的边长值：边长为大于1且小于5的整数，因此边长只能是2、3、4三个数。题目要求$a≤b≤c$，因此可以按$a$的取值从小到大分类讨论，对每个$a$值再按$b$的取值从小到大列举，结合三角形三边关系判断是否成立：由于$c$是最长边，只要满足两短边之和大于最长边（即$a+b＞c$），就满足三角形三边关系，不用再验证另外两个不等式，这样能简化判断过程，同时避免重复或遗漏。
(2) 解题思路：从第一问列举的所有三角形中，筛选出满足$a＜b＜c$的三角形，只有$(2,3,4)$符合要求，再用尺规作已知三边长度的三角形即可：先作最长边，再分别以两端点为圆心，另外两边长为半径画弧，交点即为第三个顶点。
【解析】
(1) 由题意可知，三角形的三边长均为大于1且小于5的整数，即边长的可能取值为2、3、4，且满足$a≤b≤c$，同时需符合三角形三边关系：$a+b＞c$（因为$c$是最长边，$a+c＞b$和$b+c＞a$恒成立，仅需验证该式）。
按$a$的取值分类讨论：
① 当$a=2$时：
$b=2$时，$c≥2$，且$2+2＞c$，得$c＜4$，故$c=2、3$，对应三角形为$(2,2,2)$、$(2,2,3)$；
$b=3$时，$c≥3$，且$2+3＞c$，得$c＜5$，故$c=3、4$，对应三角形为$(2,3,3)$、$(2,3,4)$；
$b=4$时，$c≥4$，且$2+4＞c$，得$c＜6$，故$c=4$，对应三角形为$(2,4,4)$；
② 当$a=3$时：
$b=3$时，$c≥3$，且$3+3＞c$，得$c＜6$，故$c=3、4$，对应三角形为$(3,3,3)$、$(3,3,4)$；
$b=4$时，$c≥4$，且$3+4＞c$，得$c＜7$，故$c=4$，对应三角形为$(3,4,4)$；
③ 当$a=4$时：
$b≥4$，$c≥b$，故$b=4$、$c=4$，对应三角形为$(4,4,4)$。
综上共9种满足条件的三角形。
(2) 从(1)的结果中筛选$a＜b＜c$的三角形，仅$(2,3,4)$符合要求。作图方法：先作线段$AB=4$个单位长度，以$A$为圆心、3个单位长度为半径画弧，再以$B$为圆心、2个单位长度为半径画弧，两弧交点为点$C$，连接$AC$、$BC$，所得$△ ABC$即为所求三角形。
【答案】
17.(1)共九种:$(2,2,2)(2,2,3)(2,3,3)(2,3,4)(2,4,4)(3,3,3)(3,3,4)(3,4,4)(4,4,4)$
(2)只有$a=2,b=3,c=4$的一个三角形,如图所示的$△ ABC$就是满足条件的三角形
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；尺规作三角形
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，分类列举时要注意有序性，按照固定顺序分类可有效避免重复和遗漏，作图部分需熟练掌握已知三边作三角形的基本操作。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先确定所有可能的边长值：边长为大于1且小于5的整数，因此边长只能是2、3、4三个数。题目要求$a≤b≤c$，因此可以按$a$的取值从小到大分类讨论，对每个$a$值再按$b$的取值从小到大列举，结合三角形三边关系判断是否成立：由于$c$是最长边，只要满足两短边之和大于最长边（即$a+b＞c$），就满足三角形三边关系，不用再验证另外两个不等式，这样能简化判断过程，同时避免重复或遗漏。
(2) 解题思路：从第一问列举的所有三角形中，筛选出满足$a＜b＜c$的三角形，只有$(2,3,4)$符合要求，再用尺规作已知三边长度的三角形即可：先作最长边，再分别以两端点为圆心，另外两边长为半径画弧，交点即为第三个顶点。
【解析】
(1) 由题意可知，三角形的三边长均为大于1且小于5的整数，即边长的可能取值为2、3、4，且满足$a≤b≤c$，同时需符合三角形三边关系：$a+b＞c$（因为$c$是最长边，$a+c＞b$和$b+c＞a$恒成立，仅需验证该式）。
按$a$的取值分类讨论：
① 当$a=2$时：
$b=2$时，$c≥2$，且$2+2＞c$，得$c＜4$，故$c=2、3$，对应三角形为$(2,2,2)$、$(2,2,3)$；
$b=3$时，$c≥3$，且$2+3＞c$，得$c＜5$，故$c=3、4$，对应三角形为$(2,3,3)$、$(2,3,4)$；
$b=4$时，$c≥4$，且$2+4＞c$，得$c＜6$，故$c=4$，对应三角形为$(2,4,4)$；
② 当$a=3$时：
$b=3$时，$c≥3$，且$3+3＞c$，得$c＜6$，故$c=3、4$，对应三角形为$(3,3,3)$、$(3,3,4)$；
$b=4$时，$c≥4$，且$3+4＞c$，得$c＜7$，故$c=4$，对应三角形为$(3,4,4)$；
③ 当$a=4$时：
$b≥4$，$c≥b$，故$b=4$、$c=4$，对应三角形为$(4,4,4)$。
综上共9种满足条件的三角形。
(2) 从(1)的结果中筛选$a＜b＜c$的三角形，仅$(2,3,4)$符合要求。作图方法：先作线段$AB=4$个单位长度，以$A$为圆心、3个单位长度为半径画弧，再以$B$为圆心、2个单位长度为半径画弧，两弧交点为点$C$，连接$AC$、$BC$，所得$△ ABC$即为所求三角形。
【答案】
17.(1)共九种:$(2,2,2)(2,2,3)(2,3,3)(2,3,4)(2,4,4)(3,3,3)(3,3,4)(3,4,4)(4,4,4)$
(2)只有$a=2,b=3,c=4$的一个三角形,如图所示的$△ ABC$就是满足条件的三角形
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；尺规作三角形
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，分类列举时要注意有序性，按照固定顺序分类可有效避免重复和遗漏，作图部分需熟练掌握已知三边作三角形的基本操作。
【难度系数】
0.7
