15.已知:$n$是整数。求证:$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$一定是8的倍数。

15. $\because(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$,且$n$为整数,$\therefore8n$是8的倍数,即$(2n+1)^2-(2n-1)^2$一定是8的倍数

【分析】
要证明给定代数式是8的倍数，首先观察式子结构，是两个整式的平方相减，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此第一步先用平方差公式对式子因式分解，再通过整式加减运算化简结果，最后结合n是整数的条件，判断化简结果是否为8的整数倍，即可完成证明。
【解析】
证明：
根据平方差公式分解原式得：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(2n+1+2n-1)(2n+1-(2n-1))\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
已知n是整数，因此8n是8的整数倍，故$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$一定是8的倍数。
【答案】
$\because(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$,且$n$为整数,$\therefore8n$是8的倍数,即$(2n+1)^2-(2n-1)^2$一定是8的倍数
【知识点】
平方差公式；整式化简；整除判定
【点评】
本题属于整式运算与整除证明结合的基础题型，解题核心是准确识别式子的平方差结构，正确应用公式化简，再结合整数性质完成判定，对公式应用能力有基础要求。
【难度系数】
0.8

16. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的外角平分线交于点$P$，$∠ A=50°$，求$∠ BPC$的度数。

16. $25°$

【分析】
本题要求∠BPC的度数，已知角平分线条件和∠A的度数，解题思路如下：第一步，根据角平分线的定义，将∠PBC、∠PCD（∠ACB的外角被平分后的角）分别用∠ABC、∠ACB的外角∠ACD表示；第二步，利用三角形外角的性质，分别得到△ABC中∠ACD与∠A、∠ABC的关系，以及△PBC中∠PCD与∠BPC、∠PBC的关系；第三步，将前两步的结论联立，消去和∠ABC相关的项，推导得出∠BPC与∠A的数量关系，最后代入∠A的度数计算即可。
【解析】
解：设BC的延长线为点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ $∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$
∵ CP平分∠ACD（∠ACD为∠ACB的外角），
∴ $∠ PCD = \frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角的性质：
在△ABC中，∠ACD是外角，故 $∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$
在△PBC中，∠PCD是外角，故 $∠ PCD = ∠ BPC + ∠ PBC$
将$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$、$∠ PCD = \frac{1}{2}∠ ACD$代入第二个外角等式得：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ BPC + \frac{1}{2}∠ ABC$
再将$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$代入上式：
$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ BPC + \frac{1}{2}∠ ABC$
展开并整理得：$\frac{1}{2}∠ A + \frac{1}{2}∠ ABC = ∠ BPC + \frac{1}{2}∠ ABC$
消去两边的$\frac{1}{2}∠ ABC$，得$∠ BPC = \frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ A=50°$，代入得$∠ BPC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 三角形外角的性质 3. 角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是通过角平分线定义和三角形外角性质建立已知角与未知角的联系，推导过程中消去公共角即可得到两角的数量关系，熟练掌握本题的推导结论可以大幅提升同类型题的解题效率。
【难度系数】
0.7

17.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系。

(1)如图1,若$AB// CD$,点P在AB,CD外部,则$∠ B=∠ BOD$。又因为$∠ BOD$是$△ POD$的外角,故$∠ BOD = ∠ BPD + ∠ D$,得$∠ BPD=∠ B - ∠ D$。将点P移到AB,CD内部,如图2,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则$∠ BPD,∠ B,∠ D$之间有何数量关系?请证明你的结论。
(2)在图2中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图3,则$∠ BPD,∠ B,∠ D,∠ BQD$之间有何数量关系?(不需证明)
(3)根据(2)的结论求图4中$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的度数。

17. (1)不成立,结论是$∠ BPD=∠ B+∠ D$。延长BP交CD于点E,证明如下:$\because AB// CD$,$\therefore∠ B=∠ BED$。又$\because∠ BPD=∠ BED+∠ D$,$\therefore∠ BPD=∠ B+∠ D$
(2)结论:$∠ BPD=∠ BQD+∠ B+∠ D$
(3)设AC与BF交于点G,由(2)的结论,得$∠ AGB=∠ A+∠ B+∠ E$。$\because∠ AGB=∠ CGF,∠ CGF+∠ C+∠ D+∠ F=360°$,$\therefore∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$

【分析】
（1）点P移到AB、CD内部后，原外角推导逻辑不再成立，需要通过构造辅助线建立三个角的联系：延长BP交CD于点E，先利用平行线的内错角相等将∠B转化为△PDE的内角∠BED，再结合三角形外角性质即可得到∠BPD、∠B、∠D的数量关系。
（2）类比第一问的外角推导思路，可直接通过两次三角形外角的性质，得到四个角的数量关系。
（3）求解多个角的和时，可利用第（2）问得到的拐角模型，将分散的∠A、∠B、∠E整合为一个角，再结合对顶角相等和四边形内角和公式，即可求出六个角的总度数。
【解析】
(1) 原结论不成立，正确结论为$∠ BPD=∠ B+∠ D$，证明如下：
延长$BP$交$CD$于点$E$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ BED$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ BPD$是$△ PED$的外角，
$\therefore ∠ BPD=∠ BED+∠ D$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
$\therefore ∠ BPD=∠ B+∠ D$。
(2) 根据三角形外角的性质推导可得：$∠ BPD=∠ BQD+∠ B+∠ D$。
(3) 设$AC$与$BF$交于点$G$，
由(2)的结论可得：$∠ AGB=∠ A+∠ B+∠ E$，
$\because ∠ AGB$和$∠ CGF$是对顶角，
$\therefore ∠ AGB=∠ CGF$，
又$\because$ 四边形$CGFD$的内角和为$360°$，即$∠ CGF+∠ C+∠ D+∠ F=360°$，
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ E+∠ C+∠ D+∠ F=360°$。
【答案】
(1) 不成立，结论是$∠ BPD=∠ B+∠ D$，证明见上述解析；
(2) $∠ BPD=∠ BQD+∠ B+∠ D$；
(3) $360°$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角性质、四边形内角和
【点评】
本题属于几何拐角模型的综合探究题，从平行线的特殊情况到一般的拐角结构，再到模型的迁移应用，考查了辅助线构造、角的转化能力，体现了从特殊到一般的数学探究思路。
【难度系数】
0.6