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8. 如图，已知∠1=20°，∠A=57°，∠BDC=100°，则∠2=
$23°$
。答案
8. $23°$
解析
【分析】
我们可以利用三角形内角和定理逐步推导求解：首先观察图形，先在小三角形△BDC中，根据内角和算出∠DBC与∠DCB的度数和；再在大三角形△ABC中，把∠ABC拆分为∠2+∠DBC，∠ACB拆分为∠1+∠DCB，结合大三角形内角和为180°的性质，代入已知角度就能求出∠2的度数。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 100° = 80°$
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
其中$∠ ABC = ∠ 2 + ∠ DBC$，$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ DCB$，代入上式得：
$∠ A + ∠ 2 + ∠ DBC + ∠ 1 + ∠ DCB = 180°$
3. 将$∠ A=57°$，$∠ 1=20°$，$∠ DBC + ∠ DCB=80°$代入上式计算：
$∠ 2 = 180° - 57° - 20° - 80° = 23°$
【答案】
$23°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心考查三角形内角和定理的灵活运用，解题的关键是找到大小三角形之间角的和差关系，通过整体代换简化计算过程。
【难度系数】
0.85
我们可以利用三角形内角和定理逐步推导求解：首先观察图形，先在小三角形△BDC中，根据内角和算出∠DBC与∠DCB的度数和；再在大三角形△ABC中，把∠ABC拆分为∠2+∠DBC，∠ACB拆分为∠1+∠DCB，结合大三角形内角和为180°的性质，代入已知角度就能求出∠2的度数。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 100° = 80°$
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
其中$∠ ABC = ∠ 2 + ∠ DBC$，$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ DCB$，代入上式得：
$∠ A + ∠ 2 + ∠ DBC + ∠ 1 + ∠ DCB = 180°$
3. 将$∠ A=57°$，$∠ 1=20°$，$∠ DBC + ∠ DCB=80°$代入上式计算：
$∠ 2 = 180° - 57° - 20° - 80° = 23°$
【答案】
$23°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心考查三角形内角和定理的灵活运用，解题的关键是找到大小三角形之间角的和差关系，通过整体代换简化计算过程。
【难度系数】
0.85
9. 一只皮箱的密码是一个三位数。小光说：“它是843。”小明说：“它是247。”小亮说：“它是103。”已知每人都只猜对了位置不同的一个数字。这只皮箱的密码是
807
。答案
9. 807
解析
【分析】
这是一道逻辑推理类题目，解题的关键是利用“每人都只猜对了位置不同的一个数字”的约束条件，我们可以先把三人所说的密码按百位、十位、个位拆分归类，从重复出现的同位置数字入手排除错误可能，逐步推导每个数位的正确数字。
【解析】
首先将三人猜测的三位数按数位拆分：
小光：百位8，十位4，个位3
小明：百位2，十位4，个位7
小亮：百位1，十位0，个位3
已知三人猜对的数字对应三个不同的数位，每个数位恰好有1人猜对：
1. 推导小光猜对的数位：若小光猜对的是十位4，则小明的十位也是4，两人猜对的位置重复，不符合要求；若小光猜对的是个位3，则小亮的个位也是3，两人猜对的位置重复，不符合要求。因此小光猜对的只能是百位8，即密码百位为8。
2. 推导小明猜对的数位：百位已经确定是8，因此小明猜测的百位2错误，仅剩十位4和个位7两个可能。若小明猜对的是十位4，则小亮的十位0、个位3均错误，加上小亮猜测的百位1本身错误，小亮全错，不符合要求，因此小明猜对的只能是个位7，即密码个位为7。
3. 推导小亮猜对的数位：百位为8、个位为7，因此小亮猜测的百位1、个位3均错误，仅剩十位0符合，即密码十位为0。
组合三个数位可得密码为807。
【答案】
807
【知识点】
逻辑推理，数位认识
【点评】
本题属于基础逻辑推理题，解题时从重复的同位置数字切入可快速缩小推理范围，能有效锻炼学生的逻辑分析和排除错误的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道逻辑推理类题目，解题的关键是利用“每人都只猜对了位置不同的一个数字”的约束条件，我们可以先把三人所说的密码按百位、十位、个位拆分归类，从重复出现的同位置数字入手排除错误可能，逐步推导每个数位的正确数字。
【解析】
首先将三人猜测的三位数按数位拆分：
小光：百位8，十位4，个位3
小明：百位2，十位4，个位7
小亮：百位1，十位0，个位3
已知三人猜对的数字对应三个不同的数位，每个数位恰好有1人猜对：
1. 推导小光猜对的数位：若小光猜对的是十位4，则小明的十位也是4，两人猜对的位置重复，不符合要求；若小光猜对的是个位3，则小亮的个位也是3，两人猜对的位置重复，不符合要求。因此小光猜对的只能是百位8，即密码百位为8。
2. 推导小明猜对的数位：百位已经确定是8，因此小明猜测的百位2错误，仅剩十位4和个位7两个可能。若小明猜对的是十位4，则小亮的十位0、个位3均错误，加上小亮猜测的百位1本身错误，小亮全错，不符合要求，因此小明猜对的只能是个位7，即密码个位为7。
3. 推导小亮猜对的数位：百位为8、个位为7，因此小亮猜测的百位1、个位3均错误，仅剩十位0符合，即密码十位为0。
组合三个数位可得密码为807。
【答案】
807
【知识点】
逻辑推理，数位认识
【点评】
本题属于基础逻辑推理题，解题时从重复的同位置数字切入可快速缩小推理范围，能有效锻炼学生的逻辑分析和排除错误的能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，AB//CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=
$540°$
。答案
10. $540°$
解析
【分析】
本题是平行线间折线角度和的计算问题，解题思路如下：遇到平行线间存在折线的角度计算问题时，常用的解决方法是过折线的拐点作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论可得所有辅助线均与AB、CD平行，再根据“两直线平行，同旁内角互补”的性质，将∠1、∠2、∠3、∠4拆分为多组同旁内角，最后对同旁内角的和求和即可得到结果。
【解析】
解：分别过∠2的顶点、∠3的顶点作AB的平行线EF、GH。
∵$AB// CD$（已知），
∴$AB// EF// GH// CD$（平行于同一条直线的多条直线互相平行）。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得3组同旁内角的和均为$180°$，
因此$∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°=540°$。
【答案】
$540°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；同旁内角互补
【点评】
本题是平行线性质应用的基础常考题，核心考查平行线间拐点类问题的辅助线构造方法，掌握过拐点作平行线的技巧即可快速将未知角度和转化为熟悉的同旁内角和问题求解。
【难度系数】
0.7
本题是平行线间折线角度和的计算问题，解题思路如下：遇到平行线间存在折线的角度计算问题时，常用的解决方法是过折线的拐点作已知平行线的平行线，利用平行公理的推论可得所有辅助线均与AB、CD平行，再根据“两直线平行，同旁内角互补”的性质，将∠1、∠2、∠3、∠4拆分为多组同旁内角，最后对同旁内角的和求和即可得到结果。
【解析】
解：分别过∠2的顶点、∠3的顶点作AB的平行线EF、GH。
∵$AB// CD$（已知），
∴$AB// EF// GH// CD$（平行于同一条直线的多条直线互相平行）。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得3组同旁内角的和均为$180°$，
因此$∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°=540°$。
【答案】
$540°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；同旁内角互补
【点评】
本题是平行线性质应用的基础常考题，核心考查平行线间拐点类问题的辅助线构造方法，掌握过拐点作平行线的技巧即可快速将未知角度和转化为熟悉的同旁内角和问题求解。
【难度系数】
0.7
11. 命题“如果$a^2 = b^2$，那么$a = b$”是真命题还是假命题？请说明理由。
答案
11. 假命题。若$a=2,b=-2$,满足$a^2=b^2$,但a不等于b
解析
【分析】
要判断命题的真假，首先明确判断规则：若题设成立时结论一定成立，为真命题；若题设成立时存在结论不成立的情况，为假命题，证明假命题只需举1个反例即可。本题可利用“互为相反数的两个数平方相等”的性质，找一组满足$a^2=b^2$但$a≠b$的数值作为反例验证。
【解析】
该命题是假命题，理由如下：
判断假命题只需举出符合题设但不符合结论的反例即可。
取$a=2$，$b=-2$，此时$a^2=2^2=4$，$b^2=(-2)^2=4$，满足题设$a^2=b^2$，但$a=2≠-2=b$，不满足结论$a=b$，因此原命题是假命题。
【答案】
假命题。若$a=2,b=-2$,满足$a^2=b^2$,但a不等于b
【知识点】
真假命题判定；举反例；平方的性质
【点评】
本题考查真假命题的判断方法，核心要注意证明假命题不需要验证所有情况，只要找到一个反例即可，熟练掌握平方运算的相关性质能快速找到合适的反例。
【难度系数】
0.8
要判断命题的真假，首先明确判断规则：若题设成立时结论一定成立，为真命题；若题设成立时存在结论不成立的情况，为假命题，证明假命题只需举1个反例即可。本题可利用“互为相反数的两个数平方相等”的性质，找一组满足$a^2=b^2$但$a≠b$的数值作为反例验证。
【解析】
该命题是假命题，理由如下：
判断假命题只需举出符合题设但不符合结论的反例即可。
取$a=2$，$b=-2$，此时$a^2=2^2=4$，$b^2=(-2)^2=4$，满足题设$a^2=b^2$，但$a=2≠-2=b$，不满足结论$a=b$，因此原命题是假命题。
【答案】
假命题。若$a=2,b=-2$,满足$a^2=b^2$,但a不等于b
【知识点】
真假命题判定；举反例；平方的性质
【点评】
本题考查真假命题的判断方法，核心要注意证明假命题不需要验证所有情况，只要找到一个反例即可，熟练掌握平方运算的相关性质能快速找到合适的反例。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AB边上，DE，CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线，求∠DEC的度数。
答案
12. $90°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先根据AD//BC的条件，利用平行线的同旁内角互补性质，得到∠ADC与∠BCD的和为180°；2. 结合DE、CE分别是两个角的角平分线的条件，可推出∠EDC与∠ECD的和是上述两角和的一半，即90°；3. 最后利用三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵ AD//BC（已知）
∴ ∠ADC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ DE平分∠ADC，CE平分∠BCD（已知）
∴ ∠EDC = $\frac{1}{2}$∠ADC，∠ECD = $\frac{1}{2}$∠BCD（角平分线的定义）
∴ ∠EDC + ∠ECD = $\frac{1}{2}$(∠ADC + ∠BCD) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
在△DEC中，根据三角形内角和定理：
∠EDC + ∠ECD + ∠DEC = 180°
∴ ∠DEC = 180° - (∠EDC + ∠ECD) = 180° - 90° = 90°
【答案】
$90°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算类题型，核心是通过平行线性质得到角的和的关系，再结合角平分线的定义将角的关系转化到三角形中求解，解题时要注意逻辑连贯，每一步推导都要有对应的依据，是平行线与三角形结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先根据AD//BC的条件，利用平行线的同旁内角互补性质，得到∠ADC与∠BCD的和为180°；2. 结合DE、CE分别是两个角的角平分线的条件，可推出∠EDC与∠ECD的和是上述两角和的一半，即90°；3. 最后利用三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵ AD//BC（已知）
∴ ∠ADC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ DE平分∠ADC，CE平分∠BCD（已知）
∴ ∠EDC = $\frac{1}{2}$∠ADC，∠ECD = $\frac{1}{2}$∠BCD（角平分线的定义）
∴ ∠EDC + ∠ECD = $\frac{1}{2}$(∠ADC + ∠BCD) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
在△DEC中，根据三角形内角和定理：
∠EDC + ∠ECD + ∠DEC = 180°
∴ ∠DEC = 180° - (∠EDC + ∠ECD) = 180° - 90° = 90°
【答案】
$90°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算类题型，核心是通过平行线性质得到角的和的关系，再结合角平分线的定义将角的关系转化到三角形中求解，解题时要注意逻辑连贯，每一步推导都要有对应的依据，是平行线与三角形结合的典型常考题。
【难度系数】
0.7
13. 已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ B = ∠ C$,AE平分外角$∠ CAD$。求证:$AE // BC$。
答案
证明：
∵ ∠CAD是△ABC的外角，
∴ ∠CAD = ∠B + ∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又∵ ∠B = ∠C（已知），
∴ ∠CAD = 2∠C。
∵ AE平分∠CAD（已知），
∴ ∠CAD = 2∠EAC（角平分线的定义），
∴ ∠EAC = ∠C（等量代换）。
∴ AE//BC（内错角相等，两直线平行）。
∵ ∠CAD是△ABC的外角，
∴ ∠CAD = ∠B + ∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又∵ ∠B = ∠C（已知），
∴ ∠CAD = 2∠C。
∵ AE平分∠CAD（已知），
∴ ∠CAD = 2∠EAC（角平分线的定义），
∴ ∠EAC = ∠C（等量代换）。
∴ AE//BC（内错角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
要证明$AE// BC$，可通过平行线的判定定理推导，优先寻找角的等量关系。首先利用三角形外角的性质得到外角$∠CAD$与$∠B$、$∠C$的关系，结合已知$∠B=∠C$，可推出$∠CAD$与$∠C$的倍数关系；再根据AE平分$∠CAD$的条件，得到$∠CAD$与$∠EAC$的倍数关系，通过等量代换可得内错角$∠EAC=∠C$，最终依据平行线判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $∠CAD$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠CAD = ∠B + ∠C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又
∵ $∠B = ∠C$（已知），
∴ $∠CAD = 2∠C$。
∵ $AE$平分$∠CAD$（已知），
∴ $∠CAD = 2∠EAC$（角平分线的定义），
∴ $∠EAC = ∠C$（等量代换）。
∴ $AE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程如上所示，可证得$AE// BC$。
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的等量代换得到平行线判定需要的角相等关系，要求学生能结合图形识别角的位置关系，理清已知条件和待证结论的逻辑关联，熟练掌握相关性质和定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明$AE// BC$，可通过平行线的判定定理推导，优先寻找角的等量关系。首先利用三角形外角的性质得到外角$∠CAD$与$∠B$、$∠C$的关系，结合已知$∠B=∠C$，可推出$∠CAD$与$∠C$的倍数关系；再根据AE平分$∠CAD$的条件，得到$∠CAD$与$∠EAC$的倍数关系，通过等量代换可得内错角$∠EAC=∠C$，最终依据平行线判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $∠CAD$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠CAD = ∠B + ∠C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
又
∵ $∠B = ∠C$（已知），
∴ $∠CAD = 2∠C$。
∵ $AE$平分$∠CAD$（已知），
∴ $∠CAD = 2∠EAC$（角平分线的定义），
∴ $∠EAC = ∠C$（等量代换）。
∴ $AE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程如上所示，可证得$AE// BC$。
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的等量代换得到平行线判定需要的角相等关系，要求学生能结合图形识别角的位置关系，理清已知条件和待证结论的逻辑关联，熟练掌握相关性质和定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
14. 已知:如图,$AC ⊥ BC,CD ⊥ AB,DE ⊥ AC,∠ 1$与$∠ 2$互补。求证:$HF ⊥ AB$。
答案
证明：
∵ DE⊥AC，AC⊥BC，
∴ ∠DEC = ∠ACB = 90°，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠1 = ∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1与∠2互补，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠DCB + ∠2 = 180°，
∴ CD//FH（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠HFB（两直线平行，同位角相等）。
又∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB = 90°，
∴ ∠HFB = 90°，
∴ HF⊥AB。
∵ DE⊥AC，AC⊥BC，
∴ ∠DEC = ∠ACB = 90°，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠1 = ∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1与∠2互补，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠DCB + ∠2 = 180°，
∴ CD//FH（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠HFB（两直线平行，同位角相等）。
又∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB = 90°，
∴ ∠HFB = 90°，
∴ HF⊥AB。
解析
【分析】
要证明HF⊥AB，已知CD⊥AB，因此只需证CD//HF，即可由平行线的性质得到∠HFB=∠CDB=90°，从而得证。首先根据DE⊥AC、AC⊥BC可判定DE//BC，推出∠1=∠DCB；再结合∠1与∠2互补，可得∠DCB+∠2=180°，进而判定CD//FH；最后结合CD⊥AB的条件，即可推出HF⊥AB。
【解析】
证明：
∵ DE⊥AC，AC⊥BC，
∴ ∠DEC = ∠ACB = 90°，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠1 = ∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1与∠2互补，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠DCB + ∠2 = 180°，
∴ CD//FH（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠HFB（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB = 90°，
∴ ∠HFB = 90°，
∴ HF⊥AB。
【答案】
HF⊥AB得证
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义；补角的性质
【点评】
本题是几何证明的基础典型题，核心考查平行线的判定定理、性质定理以及垂直、互补的相关概念，解题时需顺着已知条件逐步推导线与线的位置关系，理清逻辑链条即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明HF⊥AB，已知CD⊥AB，因此只需证CD//HF，即可由平行线的性质得到∠HFB=∠CDB=90°，从而得证。首先根据DE⊥AC、AC⊥BC可判定DE//BC，推出∠1=∠DCB；再结合∠1与∠2互补，可得∠DCB+∠2=180°，进而判定CD//FH；最后结合CD⊥AB的条件，即可推出HF⊥AB。
【解析】
证明：
∵ DE⊥AC，AC⊥BC，
∴ ∠DEC = ∠ACB = 90°，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠1 = ∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1与∠2互补，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠DCB + ∠2 = 180°，
∴ CD//FH（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠HFB（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB = 90°，
∴ ∠HFB = 90°，
∴ HF⊥AB。
【答案】
HF⊥AB得证
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义；补角的性质
【点评】
本题是几何证明的基础典型题，核心考查平行线的判定定理、性质定理以及垂直、互补的相关概念，解题时需顺着已知条件逐步推导线与线的位置关系，理清逻辑链条即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
