登录
任务二 探究点与圆的位置关系
探究1：观察下图，图中点与圆的位置关系有哪几种？
探究2：如图，设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点P与圆的三种不同位置关系下，d与r之间有怎样的数量关系？
归纳总结
设$\odot O$的半径为$r$，任意一点$P$到圆心的距离$OP=d$，则有点$P$在圆外$⇔ d＞r$；点$P$在圆上$⇔ d=r$；点$P$在圆内$⇔ d＜r$。
探究1：观察下图，图中点与圆的位置关系有哪几种？
探究2：如图，设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点P与圆的三种不同位置关系下，d与r之间有怎样的数量关系？
归纳总结
设$\odot O$的半径为$r$，任意一点$P$到圆心的距离$OP=d$，则有点$P$在圆外$⇔ d＞r$；点$P$在圆上$⇔ d=r$；点$P$在圆内$⇔ d＜r$。
答案
探究1 解：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
探究2 解：如题图1，点P在圆内，d＜r.
如题图2，点P在圆上，d=r.
如题图3，点P在圆外，d＞r.
探究2 解：如题图1，点P在圆内，d＜r.
如题图2，点P在圆上，d=r.
如题图3，点P在圆外，d＞r.
解析
【分析】
解决探究1时，可通过直观观察点相对于圆的区域分类：点处于圆包围的内部区域即为点在圆内，点刚好落在圆周上即为点在圆上，点处于圆包围之外的区域即为点在圆外，由此可总结所有位置关系。解决探究2时，针对三种位置关系，分别测量点到圆心的距离d和圆的半径r，对比两者的大小，即可归纳出不同位置下d与r的数量关系，该数量关系也可作为点与圆位置关系的判定依据。
【解析】
探究1
观察点与圆的相对位置，按点所在区域可分为三类，不存在其他位置情况，因此共三种位置关系。
探究2
分别对三种位置下的d和r进行测量对比：
1. 当点P在圆内时，测量得到的点到圆心距离小于圆的半径，即$d＜r$；
2. 当点P在圆上时，测量得到的点到圆心距离与圆的半径相等，即$d=r$；
3. 当点P在圆外时，测量得到的点到圆心距离大于圆的半径，即$d＞r$。
【答案】
探究1 解：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外。
探究2 解：如题图1，点P在圆内，d＜r。
如题图2，点P在圆上，d=r。
如题图3，点P在圆外，d＞r。
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 点与圆位置关系的判定
【点评】
本题是基础几何探究题，通过直观观察、动手测量的方式归纳点与圆的位置关系及对应的量化判定规则，侧重对基础概念的理解和探究能力的培养，是后续圆相关性质学习的基础。
【难度系数】
0.9
解决探究1时，可通过直观观察点相对于圆的区域分类：点处于圆包围的内部区域即为点在圆内，点刚好落在圆周上即为点在圆上，点处于圆包围之外的区域即为点在圆外，由此可总结所有位置关系。解决探究2时，针对三种位置关系，分别测量点到圆心的距离d和圆的半径r，对比两者的大小，即可归纳出不同位置下d与r的数量关系，该数量关系也可作为点与圆位置关系的判定依据。
【解析】
探究1
观察点与圆的相对位置，按点所在区域可分为三类，不存在其他位置情况，因此共三种位置关系。
探究2
分别对三种位置下的d和r进行测量对比：
1. 当点P在圆内时，测量得到的点到圆心距离小于圆的半径，即$d＜r$；
2. 当点P在圆上时，测量得到的点到圆心距离与圆的半径相等，即$d=r$；
3. 当点P在圆外时，测量得到的点到圆心距离大于圆的半径，即$d＞r$。
【答案】
探究1 解：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外。
探究2 解：如题图1，点P在圆内，d＜r。
如题图2，点P在圆上，d=r。
如题图3，点P在圆外，d＞r。
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 点与圆位置关系的判定
【点评】
本题是基础几何探究题，通过直观观察、动手测量的方式归纳点与圆的位置关系及对应的量化判定规则，侧重对基础概念的理解和探究能力的培养，是后续圆相关性质学习的基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图是圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2. 若$OP=\sqrt{3}$，则点P在（
A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
D
）A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
答案
1. D
解析
【分析】
要确定点P的位置，我们可以依据点和圆的位置关系的判定规则思考：点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题存在两个同心圆，只需要分别将OP的长度与小圆半径、大圆半径比较大小，就能明确点P相对于两个圆的位置。
【解析】
解：已知小圆半径$r_小=1$，大圆半径$r_大=2$，点P到圆心O的距离$OP=\sqrt{3}$。
1. 对比OP和小圆半径：$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，即$OP＞r_小$，因此点P在小圆外；
2. 对比OP和大圆半径：$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，即$OP＜r_大$，因此点P在大圆内。
综上，点P在大圆内，小圆外，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；同心圆的概念
【点评】
本题为基础类题目，核心考查点与圆位置关系的判定方法，解题关键是掌握“比较点到圆心的距离和圆半径的大小判断位置”的技巧，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
要确定点P的位置，我们可以依据点和圆的位置关系的判定规则思考：点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题存在两个同心圆，只需要分别将OP的长度与小圆半径、大圆半径比较大小，就能明确点P相对于两个圆的位置。
【解析】
解：已知小圆半径$r_小=1$，大圆半径$r_大=2$，点P到圆心O的距离$OP=\sqrt{3}$。
1. 对比OP和小圆半径：$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，即$OP＞r_小$，因此点P在小圆外；
2. 对比OP和大圆半径：$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，即$OP＜r_大$，因此点P在大圆内。
综上，点P在大圆内，小圆外，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；同心圆的概念
【点评】
本题为基础类题目，核心考查点与圆位置关系的判定方法，解题关键是掌握“比较点到圆心的距离和圆半径的大小判断位置”的技巧，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
2. 在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以点A为圆心作圆，如果B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么$\odot A$的半径$r$的取值范围是
6＜r＜10
.答案
2. 6＜r＜10
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确点和圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。接下来先求出B、C、D三个点到圆心A的距离，找到这三个距离的最小值和最大值，再结合“至少有一点在圆内，至少有一点在圆外”的条件确定半径范围：半径要大于最小的距离才能保证距离最近的点在圆内，同时要小于最大的距离才能保证距离最远的点在圆外。
【解析】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
由勾股定理可得对角线AC的长度为：
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
因此B、C、D三点到点A的距离分别为：AB=8，AD=6，AC=10。
根据题意，要满足至少有一点在圆内，则半径$r$需大于三点到A的最小距离6，此时点D在圆内；
要满足至少有一点在圆外，则半径$r$需小于三点到A的最大距离10，此时点C在圆外。
综上可得$r$的取值范围是$6＜r＜10$。
【答案】
6＜r＜10
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出各关键点到圆心的距离，再结合题目的限制条件确定半径的取值范围，注意不要漏看“至少一个在圆内、至少一个在圆外”的双向限制。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确点和圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。接下来先求出B、C、D三个点到圆心A的距离，找到这三个距离的最小值和最大值，再结合“至少有一点在圆内，至少有一点在圆外”的条件确定半径范围：半径要大于最小的距离才能保证距离最近的点在圆内，同时要小于最大的距离才能保证距离最远的点在圆外。
【解析】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
由勾股定理可得对角线AC的长度为：
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
因此B、C、D三点到点A的距离分别为：AB=8，AD=6，AC=10。
根据题意，要满足至少有一点在圆内，则半径$r$需大于三点到A的最小距离6，此时点D在圆内；
要满足至少有一点在圆外，则半径$r$需小于三点到A的最大距离10，此时点C在圆外。
综上可得$r$的取值范围是$6＜r＜10$。
【答案】
6＜r＜10
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出各关键点到圆心的距离，再结合题目的限制条件确定半径的取值范围，注意不要漏看“至少一个在圆内、至少一个在圆外”的双向限制。
【难度系数】
0.8
任务三 辨析圆的有关概念
阅读教材，完成下列探究.
探究1：如图，连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫作
探究2：如图，连接OC，在$△ AOC$中，根据三角形三边关系有$AO+OC＞$
所以圆中最长的弦是
探究3：如图，圆上任意两点间的部分叫作
探究4：能够重合的两个圆叫作
阅读教材，完成下列探究.
探究1：如图，连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫作
弦
，经过圆心的弦（如图中的AB）叫作直径
.探究2：如图，连接OC，在$△ AOC$中，根据三角形三边关系有$AO+OC＞$
AC
，而$AB=2OA$，$AO=$OC
，所以$AB＞$AC
.所以圆中最长的弦是
直径
.探究3：如图，圆上任意两点间的部分叫作
圆弧
，简称弧；以A，B为端点的弧记作$\overset{\frown}{AB}$，读作“圆弧AB
”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆
；小于半圆的弧叫作劣弧
，如图中的$\overset{\frown}{AC}$；大于半圆的弧叫作优弧
，如图中的$\overset{\frown}{ABC}$.探究4：能够重合的两个圆叫作
等圆
.容易看出，等圆是两个半径
相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧
.答案
探究1 弦 直径
探究2 AC OC AC 直径
探究3 圆弧 圆弧AB 半圆 劣弧 优弧
探究4 等圆 半径 等弧
探究2 AC OC AC 直径
探究3 圆弧 圆弧AB 半圆 劣弧 优弧
探究4 等圆 半径 等弧
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念，解题思路为：回忆教材中弦、直径、弧、等圆、等弧的定义，结合三角形三边关系的性质，逐一对应填空即可。
【解析】
探究1：根据弦和直径的定义，连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，因此依次填弦、直径。
探究2：根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，在$△ AOC$中，$AO+OC＞AC$；$OA$和$OC$都是圆的半径，因此$AO=OC$；已知$AB=2OA=AO+OC$，因此$AB＞AC$，由此可推出圆中最长的弦是直径，因此依次填$AC$、$OC$、$AC$、直径。
探究3：根据弧的相关定义，圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；以A、B为端点的弧$\overset{\frown}{AB}$读作圆弧AB或弧AB；直径的两个端点把圆分成的两条弧叫作半圆；小于半圆的弧叫作劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，因此依次填圆弧、圆弧AB、半圆、劣弧、优弧。
探究4：根据等圆和等弧的定义，能够重合的两个圆叫作等圆，等圆是半径相等的圆；同圆或等圆中能够互相重合的弧叫作等弧，因此依次填等圆、半径、等弧。
【答案】
探究1 弦 直径
探究2 AC OC AC 直径
探究3 圆弧 圆弧AB 半圆 劣弧 优弧
探究4 等圆 半径 等弧
【知识点】
弦与直径的定义；弧的分类；等圆与等弧的定义
【点评】
本题是基础概念识记题，主要考查对圆的基础概念的掌握情况，相关概念是后续学习圆的性质及相关计算、证明的基础，需熟练记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的相关基础概念，解题思路为：回忆教材中弦、直径、弧、等圆、等弧的定义，结合三角形三边关系的性质，逐一对应填空即可。
【解析】
探究1：根据弦和直径的定义，连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，因此依次填弦、直径。
探究2：根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，在$△ AOC$中，$AO+OC＞AC$；$OA$和$OC$都是圆的半径，因此$AO=OC$；已知$AB=2OA=AO+OC$，因此$AB＞AC$，由此可推出圆中最长的弦是直径，因此依次填$AC$、$OC$、$AC$、直径。
探究3：根据弧的相关定义，圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；以A、B为端点的弧$\overset{\frown}{AB}$读作圆弧AB或弧AB；直径的两个端点把圆分成的两条弧叫作半圆；小于半圆的弧叫作劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，因此依次填圆弧、圆弧AB、半圆、劣弧、优弧。
探究4：根据等圆和等弧的定义，能够重合的两个圆叫作等圆，等圆是半径相等的圆；同圆或等圆中能够互相重合的弧叫作等弧，因此依次填等圆、半径、等弧。
【答案】
探究1 弦 直径
探究2 AC OC AC 直径
探究3 圆弧 圆弧AB 半圆 劣弧 优弧
探究4 等圆 半径 等弧
【知识点】
弦与直径的定义；弧的分类；等圆与等弧的定义
【点评】
本题是基础概念识记题，主要考查对圆的基础概念的掌握情况，相关概念是后续学习圆的性质及相关计算、证明的基础，需熟练记忆。
【难度系数】
0.9
