如图.
(1)请写出以点A为端点的劣弧及优弧；
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.

解：(1)劣弧：$\overset{\frown}{AF}$，$\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AE}$.
优弧：$\overset{\frown}{AFC}$，$\overset{\frown}{AFE}$，$\overset{\frown}{AED}$，$\overset{\frown}{AEF}$.
(2)弦AF，AB，AC，其中弦AB又是直径.
(3)答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是$\overset{\frown}{AF}$和$\overset{\frown}{AEF}$.

【分析】
解题时先回忆圆的相关概念：①劣弧是小于半圆的弧，用两个端点字母表示；优弧是大于半圆的弧，需用三个字母（两个端点+弧上任意一个中间点）表示；②弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦；③每条弦对应两条弧（一条劣弧、一条优弧，直径对应两条等长的半圆）。
解答(1)时，固定端点A，依次找圆上其他点作为弧的另一个端点，判断弧长和半圆的大小，分别归类劣弧、优弧即可；解答(2)时，找出所有一端为A、另一端在圆上的线段，再判断哪条经过圆心即为直径；解答(3)时，任选一条弦，写出它对应的劣弧和优弧即可。
【解析】
(1) 劣弧为长度小于半圆的弧，以A为端点的劣弧有：$\overset{\frown}{AF}$，$\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AE}$；
优弧为长度大于半圆的弧，以A为端点的优弧有：$\overset{\frown}{AFC}$，$\overset{\frown}{AFE}$，$\overset{\frown}{AED}$，$\overset{\frown}{AEF}$。
(2) 弦是连接圆上两点的线段，以A为端点的弦有AF，AB，AC；其中经过圆心O的弦AB是直径。
(3) 答案不唯一，示例：选弦AF，一条弦对应两条弧，分别为劣弧和优弧，因此弦AF所对的弧是$\overset{\frown}{AF}$和$\overset{\frown}{AEF}$。
【答案】
(1)劣弧：$\overset{\frown}{AF}$，$\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AE}$；优弧：$\overset{\frown}{AFC}$，$\overset{\frown}{AFE}$，$\overset{\frown}{AED}$，$\overset{\frown}{AEF}$。
(2)弦：AF，AB，AC；直径：AB。
(3)示例：弦AF所对的弧是$\overset{\frown}{AF}$和$\overset{\frown}{AEF}$（答案不唯一）。
【知识点】
弧的分类，弦与直径的定义，弦与弧的对应
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对圆的基本元素的区分，解题关键是准确掌握劣弧、优弧、弦、直径的定义，注意优弧需用三个字母表示，避免和同端点的劣弧混淆。
【难度系数】
0.9

例 如图，BD，CE 是$△ ABC$的高，M为BC的中点. 求证：点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上.

证明：如图，连接ME，MD.

∵BD，CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴$ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC$(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上.

【分析】
要证明多个点在以某点为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这些点到该定点的距离全部相等即可。本题中已知M是BC中点，天然满足$MB=MC=\frac{1}{2}BC$，接下来只需证明$MD$、$ME$也等于$\frac{1}{2}BC$即可；结合BD、CE是三角形的高，可得$△ BEC$和$△ BDC$都是直角三角形，且BC是两个直角三角形的公共斜边，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，就能推导得到$ME=MD=\frac{1}{2}BC$，进而得到四个点到M的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接ME，MD。

∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴$△ BEC$和$△ BDC$均为直角三角形，且BC是两个直角三角形的公共斜边。
∵M为BC的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$ME=\frac{1}{2}BC$，$MD=\frac{1}{2}BC$，
又
∵M是BC中点，
∴$MB=MC=\frac{1}{2}BC$，
∴$ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC$，即B、C、D、E四个点到点M的距离相等，
∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上。
【答案】
证明：如图，连接ME，MD.

∵BD，CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴$ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC$(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上.
【知识点】
圆的定义；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于点共圆判定的基础题，解题关键是牢记圆的定义，结合直角三角形的性质推导多点到同一定点的距离相等，掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

如图，$\odot O$的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若$DE=OB$，$∠ AOC=72°$，求$∠ E$的度数。

$24°$

【分析】
要解决本题，首先观察已知条件中$DE=OB$，而$OB$是$\odot O$的半径，因此可通过连接$OD$构造等腰三角形解题：①首先利用圆的半径相等，可得$OD=OB=DE$，$OC=OD$，得到两个等腰三角形$△ ODE$和$△ OCD$；②再结合三角形外角的性质，逐步推导$∠ AOC$和$∠ E$的数量关系，最后代入$∠ AOC$的度数即可求出$∠ E$。
【解析】
连接$OD$：
$\because OB$是$\odot O$的半径，$DE=OB$，
$\therefore OD=OB=DE$，
$\therefore ∠ DOE=∠ E$，
$\because ∠ ODC$是$△ ODE$的外角，
$\therefore ∠ ODC=∠ DOE+∠ E=2∠ E$，
又$\because OC$、$OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ C=∠ ODC=2∠ E$，
$\because ∠ AOC$是$△ OCE$的外角，
$\therefore ∠ AOC=∠ C+∠ E=2∠ E+∠ E=3∠ E$，
已知$∠ AOC=72°$，
$\therefore 3∠ E=72°$，
解得$∠ E=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，结合三角形外角的性质建立角度之间的数量关系，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

归纳总结
圆的定义的两类应用
1. 应用圆的半径都相等这一性质进行证明或计算：
（1）应用半径相等构造等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等进行有关角度的计算；
（2）利用半径相等证明三角形全等。
2. 证明几点共圆问题：
（1）证明思路：首先确定圆心，再证明这几点到圆心的距离相等。
（2）常见的图形结构：
①与矩形或正方形有关：利用矩形或正方形的对角线相等且互相平分；
②几个共斜边的直角三角形：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
圆的有关概念
圆的定义
（1）旋转定义；
（2）集合定义
点与圆的位置关系
证明几个点共圆，就是证明这几个点相等
有关概念
弦
弧
等圆
等弧

到圆心的距离

【分析】
本题考查证明多点共圆的核心依据，解题时可结合圆的集合定义推导：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，若多个点在同一个圆上，说明这些点满足到同一个定点（即圆心）的距离都等于半径，结合题干给出的“证明几点共圆先确定圆心，再证几点到圆心距离相等”的思路，也能直接推导答案。
【解析】
根据圆的集合定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形叫做圆。若要证明几个点在同一个圆上，等价于证明这几个点到同一个圆心的距离相等，这些点都在以该点为圆心、相等距离为半径的圆上，因此空格处应填“到圆心的距离”。
【答案】
到圆心的距离
【知识点】
1.圆的定义 2.共圆的判定
【点评】
本题属于基础概念填空题，重点考察对圆的定义的理解和共圆判定思路的掌握，是圆相关知识的入门考点，熟练掌握这类基础概念是解决后续圆的复杂证明、计算问题的前提。
【难度系数】
0.9