任务一
探究三角形的外接圆及外心的概念和性质
探究1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
探究2：如何过两点A，B作一个圆？过两点可以作多少个圆？

探究1 解：以不与点A重合的任意一点为圆心，以这个点到点A的距离为半径画圆即可。过点A可作无数个圆。
探究2 解：作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或点B的距离为半径画圆即可。过两点可作无数个圆。

【分析】
解题首先明确圆的两大核心要素是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。针对探究1：要作出过点A的圆，只需满足点A在圆上，即圆心到A的距离等于半径即可，圆心可选择任意不与A重合的点，半径随圆心位置变化，因此可作的圆数量不受限制。针对探究2：要作出同时过A、B两点的圆，需满足圆心到A、B两点的距离都等于半径，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此圆心选在AB的垂直平分线上任意一点即可，由于垂直平分线上有无数个点，因此可作的圆数量也不受限制。
【解析】
探究1：根据圆的定义，取任意一个不与点A重合的点作为圆心，以该点到点A的距离为半径画圆，就能得到过点A的圆。由于可以选择的圆心有无数个，因此过点A能作无数个圆。
探究2：要使圆同时经过A、B两点，圆心到A、B的距离必须相等，因此先作线段AB的垂直平分线，取垂直平分线上任意一点作为圆心，以该点到点A（或点B）的距离为半径画圆，就能得到同时过A、B两点的圆。由于线段AB的垂直平分线上有无数个点可选作圆心，因此过两点能作无数个圆。
【答案】
探究1：以不与点A重合的任意一点为圆心，以这个点到点A的距离为半径画圆即可。过点A可作无数个圆。
探究2：作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或点B的距离为半径画圆即可。过两点可作无数个圆。
【知识点】
1.圆的定义 2.线段垂直平分线的性质 3.确定圆的条件
【点评】
本题属于确定圆的条件的基础探究类题目，通过逐步增加定点的数量分析作圆的要求，为后续学习过三点作圆、三角形外接圆等知识铺垫基础，能帮助学生加深对圆心、半径决定圆的作用的理解。
【难度系数】
0.9

探究 3: 如图, 如何过三点 A，B，C（即△ABC的三个顶点）作一个圆？过不在同一条直线上的三点可以作多少个圆？
新知生成：(1)不在的三个点确定一个圆.
(2)经过三角形的可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的.

探究3 解：如图，分别作出AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O便是圆心，然后以点O为圆心，以OA为半径，就能画出过A，B，C三点的圆。过不在同一条直线上的三点只能作一个圆。
新知生成 (1)同一条直线上 (2)三个顶点 垂直平分线 内接三角形

【分析】
要作出过A、B、C三点的圆，核心是确定圆心和半径：圆上所有点到圆心的距离相等，因此圆心需要同时满足到A、B、C三点的距离相等。根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此作两条边的垂直平分线，交点就是到三点距离相等的圆心，再以圆心到任意一点的距离为半径即可作圆。由于不在同一直线上的三点，任意两条边的垂直平分线有且只有一个交点，因此对应的圆心、半径都唯一，由此可确定能作圆的个数。新知生成部分结合探究结论和相关概念直接填写即可。
【解析】
探究3解答：
1. 作圆步骤：
① 作线段AB的垂直平分线；
② 作线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，根据垂直平分线的性质可得OA=OB、OB=OC，因此OA=OB=OC；
③ 以点O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径作圆，所得的圆就是过A、B、C三点的圆。
2. 圆的个数：
不在同一条直线上的三点，任意两条线段的垂直平分线有且只有1个交点，即圆心唯一，半径也唯一，因此过不在同一条直线上的三点只能作1个圆。
新知生成解答：
(1) 根据探究结论，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，因此填“同一条直线上”。
(2) 根据三角形外接圆相关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作三角形的外心；这个三角形叫作圆的内接三角形，因此依次填“三个顶点”“垂直平分线”“内接三角形”。
【答案】
探究3 解：如图，分别作出AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O便是圆心，然后以点O为圆心，以OA为半径，就能画出过A，B，C三点的圆。过不在同一条直线上的三点只能作一个圆。
新知生成 (1)同一条直线上 (2)三个顶点 垂直平分线 内接三角形
【知识点】
1. 过三点作圆的方法
2. 确定圆的条件
3. 三角形外接圆概念
【点评】
本题属于基础题目，重点考查过不在同一直线上三点作圆的操作方法和相关基础概念，解题的关键是理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关概念能为后续圆的相关学习打好基础。
【难度系数】
0.9

1. 如图，点O是△ABC的外心，且∠BOC=110°，则∠OCB=.（填度数）

1. 35°

【分析】
解题首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，因此可得OB=OC，△OBC为等腰三角形，两底角∠OBC与∠OCB相等。再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠BOC的度数，代入计算即可求出∠OCB的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的外心
∴OB=OC（三角形外心到三个顶点的距离相等）
∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB
在△OBC中，根据三角形内角和定理：
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
已知∠BOC=110°，代入得：
110° + 2∠OCB = 180°
解得：∠OCB=(180°-110°)÷2=35°
【答案】
35°
【知识点】
三角形外心的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握三角形外心的性质，结合等腰三角形特征和内角和定理即可快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.8

2. 某地出土了一只残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘，需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

2. 解：如图，点O即为所求。

【分析】
要确定残破圆形瓷盘的圆心，可利用“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，结合线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。由于圆心到圆上任意点的距离都等于半径，因此只要在圆弧上取3个不共线的点，作其中两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点到这三个点的距离相等，就是所求的圆心。
【解析】
1. 在残破瓷盘的完整圆弧上任意选取三个不共线的点；
2. 连接其中两组点得到两条弦；
3. 分别用尺规作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该圆的圆心O，作图痕迹符合要求即可。
【答案】
2. 解：如图，点O即为所求。
【知识点】
过三点的圆；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，核心考查确定圆的圆心的基本方法，解题的关键是掌握不在同一直线上的三点确定一个圆的原理，以及线段垂直平分线的性质。
【难度系数】
0.7

任务二 运用反证法证明命题
探究：如何证明命题“一个三角形中不能有两个直角”？
我们将其证明过程归纳为以下三个步骤：
第一步：假设三角形的三个内角(∠A，∠B，∠C)中有两个直角，不妨设∠A = ∠B = ；(填度数)
第二步：这样的话，∠A + ∠B + ∠C = 90° + 90° + ∠C 180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，则∠A = ∠B = 90°不成立；(填“＞”“＜”或“=”)
第三步：所以一个三角形中不能有两个直角.
新知生成：像上面这样，先提出与结论相反的 ，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相 的结果，然后由矛盾断定所作 不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法.

探究 90° ＞
新知生成 假设 矛盾 假设

【分析】
本题考查反证法的应用及定义，解题思路按反证法的常规步骤展开：①反设：假设原命题的结论不成立，即“三角形中有两个直角”，直角的度数为90°，因此第一步填90°；②归谬：结合三角形内角和定理计算三个角的和，两个90°相加为180°，而三角形第三个内角一定大于0°，因此三个角的和必然大于180°，与三角形内角和为180°的定理矛盾，因此第二步填“＞”；③结论：根据反证法的定义，先提出与结论相反的假设，推导得出矛盾结果，即可说明假设不成立，原命题正确，据此可填出新知生成的内容。
【解析】
探究部分
第一步：反证法的反设阶段，我们假设三角形有两个直角，直角的固定度数为90°，因此不妨设$∠ A=∠ B=90°$；
第二步：计算该假设下的三角形内角和，$∠ A+∠ B+∠ C=90°+90°+∠ C=180°+∠ C$，由于三角形的内角一定大于0°，因此$180°+∠ C＞180°$，这与“三角形的内角和等于180°”的定理矛盾。
新知生成部分
根据反证法的定义：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，因此三个空依次填假设、矛盾、假设。
【答案】
探究：$90°$；$＞$
新知生成：假设；矛盾；假设
【知识点】
1. 反证法
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是对反证法基础概念和应用的考查，解题时需明确反证法的三步逻辑，结合已学的三角形内角和定理推导矛盾即可完成解答，有助于掌握反证法的基本思路。
【难度系数】
0.8

用反证法证明命题“如果$a＞b$，那么$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$”时，假设的内容应是（）

A.$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$
B.$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$
C.$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$或$\sqrt[3]{a}＜\sqrt[3]{b}$
D.$a=b$且$\sqrt[3]{a}＜\sqrt[3]{b}$

C

【分析】
首先回忆反证法的解题逻辑：反证法的第一步是假设待证命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。解题时先定位原命题的结论为$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$，接下来只需找出该结论的否定形式即可：“大于”的反面是“不大于”，即包含“等于”和“小于”两种情况，两种情况满足其一即可说明原结论不成立，由此即可匹配到正确选项。
【解析】
根据反证法的步骤，首先需要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论是$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$，该结论的否定为$\sqrt[3]{a}≤\sqrt[3]{b}$，也就是$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}$或$\sqrt[3]{a}＜\sqrt[3]{b}$，因此假设的内容应为这两种情况的或。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反证法
2. 命题的否定
【点评】
本题主要考查反证法的基本步骤，解题核心是准确掌握不等关系的否定形式，注意“大于”的否定是“小于或等于”，不要漏掉等于的情况，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8

请根据本课所学，构建知识体系.

(1)命题结论 (2)推理 (3)原命题

【分析】
本题为基础概念梳理题，知识框架分为两部分，前半部分对应过三点作圆的相关结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆，由此引申出三角形外接圆与外心的概念；后半部分考察反证法的基本步骤，回忆反证法的逻辑即可填空：反证法首先否定原命题的结论，再通过推导得出矛盾，最终反推原命题成立。
【解析】
根据反证法的定义与标准步骤：
(1) 反证法第一步先假设原命题的结论不成立，因此第一个空填“命题结论”；
(2) 第二步从假设出发，经过推理论证，得到和已知条件、定理、公理等相悖的矛盾结果，因此第二个空填“推理”；
(3) 第三步由推出的矛盾可判定假设不成立，从而证明原命题是成立的，因此第三个空填“原命题”。
【答案】
(1)命题结论 (2)推理 (3)原命题
【知识点】
1.反证法 2.确定圆的条件 3.三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重对核心知识点、证明方法步骤的记忆考查，只要熟记相关基础内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9