已知一条抛物线与函数$y=-2(x+3)^2$的图象的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是(1，0).
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)请说明这两个二次函数的最值有何不同.

解：(1)抛物线的函数解析式为 $y=2(x-1)^2$.
(2)对于二次函数 $y=-2(x+3)^2$，当 $x=-3$ 时，$y_{最大值}=0$；而二次函数 $y=2(x-1)^2$，当 $x=1$ 时，$y_{最小值}=0$.

【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式求解解析式。两条抛物线形状相同说明二次项系数的绝对值相等，开口方向不同说明二次项系数符号相反，据此先求出未知抛物线的二次项系数a，再代入顶点坐标即可得到解析式。
(2) 二次函数的最值由开口方向决定：a＞0时抛物线开口向上，顶点处取最小值；a＜0时抛物线开口向下，顶点处取最大值，分别结合两个函数的系数符号和顶点坐标分析即可。
【解析】
(1) 设所求抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，
由顶点坐标为$(1,0)$可得$h=1$，$k=0$，即解析式为$y=a(x-1)^2$。
∵ 该抛物线与$y=-2(x+3)^2$形状相同、开口方向不同，
∴ 二次项系数$a$与$-2$绝对值相等、符号相反，即$a=2$，
代入得所求抛物线解析式为$y=2(x-1)^2$。
(2) 对于$y=-2(x+3)^2$：
二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(-3,0)$，因此当$x=-3$时，$y$有最大值$0$；
对于$y=2(x-1)^2$：
二次项系数$2＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，因此当$x=1$时，$y$有最小值$0$。
【答案】
(1) 抛物线的函数解析式为 $y=2(x-1)^2$.
(2) 对于二次函数 $y=-2(x+3)^2$，当 $x=-3$ 时，$y_{最大值}=0$；而二次函数 $y=2(x-1)^2$，当 $x=1$ 时，$y_{最小值}=0$.
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对二次函数顶点式、开口与系数关系、最值判断等知识点的掌握，解题核心是抓住“形状相同则二次项系数绝对值相等，开口方向由系数符号决定”的要点，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85

请根据本课所学，构建知识体系.
二次函数
$y=a(x-h)^2$
的图象和性质
开口方向
$a＞0$ 开口
$a＜0$ 开口
对称轴 直线
顶点坐标 顶点坐标是
增减性
$a＞0$ 在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而
$a＜0$ 在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而
最值
$a＞0$ 当时，$y_{最小值}=0$
$a＜0$ 当时，$y_{最大值}=0$

向上 向下 $x=h$ $(h，0)$ 减小 增大 增大 减小 $x=h$ $x=h$

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题时可结合二次函数的图象特征逐一推导对应结论：①先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向；②再结合顶点式的结构确定对称轴与顶点坐标；③根据开口方向和对称轴分析函数的增减性；④最后结合顶点的位置判断函数的最值情况，结合图象记忆性质可避免混淆。
【解析】
1. 开口方向：二次项系数$a$决定开口方向，当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：对于顶点式$y=a(x-h)^2$，函数图象关于直线$x=h$对称，即对称轴为直线$x=h$。
3. 顶点坐标：当$x=h$时，$y=a(h-h)^2=0$，因此函数的顶点坐标为$(h,0)$。
4. 增减性：
当$a＞0$时，函数开口向上，因此在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而增大。
当$a＜0$时，函数开口向下，因此在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而减小。
5. 最值：
当$a＞0$时，开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=h$时，$y$取最小值0。
当$a＜0$时，开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=h$时，$y$取最大值0。
【答案】
向上 向下 $x=h$ $(h，0)$ 减小 增大 增大 减小 $x=h$ $x=h$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征；二次函数增减性与最值
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求熟练掌握二次函数顶点式的相关性质，这些性质是后续解决二次函数各类问题的核心基础，建议结合函数图象理解记忆，避免死记硬背出现混淆。
【难度系数】
0.9

任务导学
任务一
探究二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质
探究1：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$，$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$与$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-1$的图象.
列表：

描点、连线：

探究2：观察图象可知，抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-1$的开口，对称轴是直线，顶点坐标是.
探究3：可以发现，抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-1$可以看作是由抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$先向平移个单位长度得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，再向平移个单位长度得到的.
归纳总结
一般地，抛物线$y=a(x-h)^2+k$与$y=ax^2$形状相同，位置不同.把抛物线$y=ax^2$向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线$y=a(x-h)^2+k$，平移的方向、距离要根据$h$，$k$的值来决定.
抛物线$y=a(x-h)^2+k$有如下特点：
(1)当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下.
(2)对称轴是直线$x=h$.
(3)顶点坐标是$(h,k)$.
即时测评

探究2 向上 $x=-1$ $(-1,-1)$
探究3 左 1 下 1

【分析】
解题时需结合二次函数顶点式的性质与图象平移规律思考：
1. 解决探究2时，首先通过二次项系数a的正负判断开口方向；再将所给解析式与标准顶点式$y=a(x-h)^2+k$对应，找到参数$h、k$的取值，即可直接写出对称轴和顶点坐标。
2. 解决探究3时，遵循二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，对比平移前后解析式的变化，就能确定平移的方向和单位长度。
【解析】
探究2
二次函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-1$的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此开口向上；
将解析式改写为标准顶点式：$y=\frac{1}{2}[x-(-1)]^2+(-1)$，对应$y=a(x-h)^2+k$可得$h=-1$，$k=-1$，因此对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$。
探究3
二次函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：
1. 由$y=\frac{1}{2}x^2$到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，自变量$x$变为$x+1$，符合“左加”的规律，因此是向左平移1个单位长度；
2. 由$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$到$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-1$，函数整体减去1，符合“下减”的规律，因此是向下平移1个单位长度。
【答案】
探究2：向上，$x=-1$，$(-1,-1)$；探究3：左，1，下，1
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数的几何意义，以及图象平移的变化规则，这部分知识是后续解决二次函数综合问题的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8