1. 关于二次函数$y=-(x-1)^2+3$的最值，说法正确的是 （）

A.最小值为$-1$
B.最小值为$3$
C.最大值为$1$
D.最大值为$3$

1. D

【分析】
解决本题的思考步骤如下：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：①二次项系数$a$的符号决定抛物线开口方向：$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值；②最值为顶点的纵坐标$k$。接下来对应本题的函数参数，先判断$a$的符号确定有最大值还是最小值，再代入$k$的取值即可得到结果。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x-1)^2+3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得：
二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
顶点纵坐标$k=3$，因此函数的最大值为$3$。
综上，选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要掌握顶点式中参数和图象特征的对应关系，就能快速判断出函数的最值情况，不易出错。
【难度系数】
0.9

2. 完成下列表格.
| 二次函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x+3)^2+5$ | | | |
| $y=-3(x-1)^2-2$ | | | |
| $y=4(x-3)^2+7$ | | | |
| $y=-5(2-x)^2-6$ | | | |

解：
根据二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，逐一填写如下：
| 二次函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x+3)^2+5$ | 向上 | 直线$x=-3$ | $(-3,5)$ |
| $y=-3(x-1)^2-2$ | 向下 | 直线$x=1$ | $(1,-2)$ |
| $y=4(x-3)^2+7$ | 向上 | 直线$x=3$ | $(3,7)$ |
| $y=-5(2-x)^2-6$ | 向下 | 直线$x=2$ | $(2,-6)$ |

【分析】
要解决这道题，首先需要掌握二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：1. 开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$；3. 顶点坐标为$(h,k)$。遇到非标准顶点式的函数时，先变形为标准$y=a(x-h)^2+k$的形式，再逐个对应$a、h、k$的取值，就能依次得到每个函数的对应特征。
【解析】
依据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，逐个分析表格中的函数：
1. 对于$y=2(x+3)^2+5$，改写为标准顶点式为$y=2(x-(-3))^2+5$，其中$a=2＞0$，$h=-3$，$k=5$，因此开口向上，对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,5)$。
2. 对于$y=-3(x-1)^2-2$，为标准顶点式，其中$a=-3＜0$，$h=1$，$k=-2$，因此开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
3. 对于$y=4(x-3)^2+7$，为标准顶点式，其中$a=4＞0$，$h=3$，$k=7$，因此开口向上，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,7)$。
4. 对于$y=-5(2-x)^2-6$，先改写为标准顶点式：因为$(2-x)^2=(x-2)^2$，所以原式变为$y=-5(x-2)^2-6$，其中$a=-5＜0$，$h=2$，$k=-6$，因此开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-6)$。
【答案】
| 二次函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x+3)^2+5$ | 向上 | 直线$x=-3$ | $(-3,5)$ |
| $y=-3(x-1)^2-2$ | 向下 | 直线$x=1$ | $(1,-2)$ |
| $y=4(x-3)^2+7$ | 向上 | 直线$x=3$ | $(3,7)$ |
| $y=-5(2-x)^2-6$ | 向下 | 直线$x=2$ | $(2,-6)$ |
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 开口方向判断
3. 对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对顶点式$y=a(x-h)^2+k$图象性质的掌握，解题关键是准确识别$a、h、k$的取值，注意非标准形式的顶点式要先变形，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.85

3. 若$A(0,y_1)$，$B(-3,y_2)$，$C(1,y_3)$为二次函数$y=(x+2)^2 -9$的图象上的三个点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是.(用“＜”连接)

3. $y_2＜y_1＜y_3$

【分析】
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，有两种常用思路：思路1：直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体数值，再比较大小即可；思路2：先根据二次函数的顶点式判断开口方向和对称轴，对于开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小就能得到纵坐标的大小关系。
【解析】
方法1：代入求值法
将$A(0,y_1)$的横坐标$x=0$代入解析式得：$y_1=(0+2)^2-9=4-9=-5$
将$B(-3,y_2)$的横坐标$x=-3$代入解析式得：$y_2=(-3+2)^2-9=1-9=-8$
将$C(1,y_3)$的横坐标$x=1$代入解析式得：$y_3=(1+2)^2-9=9-9=0$
$\because-8＜-5＜0$，$\therefore y_2＜y_1＜y_3$
方法2：性质判断法
二次函数$y=(x+2)^2-9$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大
计算三个点到对称轴$x=-2$的距离：
点A到对称轴的距离：$|0-(-2)|=2$
点B到对称轴的距离：$|-3-(-2)|=1$
点C到对称轴的距离：$|1-(-2)|=3$
$\because1＜2＜3$，$\therefore$对应的函数值大小为$y_2＜y_1＜y_3$
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数性质应用的基础题，两种解题方法都需要熟练掌握，其中利用抛物线的开口方向和点到对称轴的距离比较函数值的方法更为简便，能提高解题效率，解题时需注意顶点式中对称轴的符号不要记错。
【难度系数】
0.8

交流总结
利用$y=a(x-h)^2+k$的性质比较二次函数值大小的方法有哪几种？请分别简述。

解：有以下三种.
| 方法 1 | 代入计算法 | 将 x 值代入函数解析式，求出 y 值，再比较大小 |
| --- | --- | --- |
| 方法 2 | 增减性比较法 | 根据对称性把点转化到对称轴同侧，利用函数增减性比较 |
| 方法 3 | 距离比较法 | 结合函数图象，根据点到对称轴的距离比较 |

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质应用，解题时可从不同维度思考比较函数值的方法：首先最直接的思路是代入求值后直接比较数值大小；其次可利用二次函数的增减性比较，但要注意增减性仅在对称轴同侧成立，因此异侧的点需要先通过对称性转化到同侧；另外结合顶点式的特点，函数值大小和点到对称轴的距离直接相关，也可以通过比较距离结合开口方向判断函数值大小。
【解析】
共有3种比较方法，具体如下：
1. 代入计算法：将需要比较的各个点的横坐标$x$代入二次函数解析式$y=a(x-h)^2+k$，分别求出对应的函数值$y$，再直接比较$y$的数值大小即可。
2. 增减性比较法：先确定二次函数的对称轴为直线$x=h$，若待比较的点在对称轴两侧，先利用二次函数的对称性，将其中一个点转化为对称轴另一侧与其函数值相等的对称点，使所有待比较的点都在对称轴同侧，再根据二次函数的增减性（$a＞0$时，对称轴同侧$y$随$x$增大而增大；$a＜0$时，对称轴同侧$y$随$x$增大而减小）比较函数值大小。
3. 距离比较法：点的横坐标为$x$时，$\left|x-h\right|$即为该点到对称轴直线$x=h$的水平距离，结合开口方向判断：当$a＞0$（开口向上）时，$\left|x-h\right|$越大，函数值$y$越大；当$a＜0$（开口向下）时，$\left|x-h\right|$越大，函数值$y$越小，据此即可比较函数值大小。
【答案】
有以下三种：
1. 代入计算法：将x值代入函数解析式，求出y值，再比较大小；
2. 增减性比较法：根据对称性把点转化到对称轴同侧，利用函数增减性比较；
3. 距离比较法：结合函数图象，根据点到对称轴的距离比较。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；二次函数增减性
【点评】
本题是对二次函数顶点式应用的基础考查，三种比较方法各有特点：代入计算法容易理解但计算量相对较大，后两种方法利用函数性质简化了计算，需要熟练掌握二次函数的对称轴、增减性等核心性质才能灵活选用合适的方法解题。
【难度系数】
0.8

例 将抛物线$y=2x^2$先向下平移5个单位长度，再向左平移$a(a＞0)$个单位长度，所得到的新抛物线经过点$(1,3)$。
(1)求新抛物线的函数解析式；
(2)求新抛物线关于$y$轴对称的图象所对应的函数解析式。

解：(1)将抛物线 $y=2x^2$ 先向下平移 5 个单位长度，再向左平移 $a(a＞0)$ 个单位长度得到 $y=2(x+a)^2-5$，
代入$(1,3)$，得 $3=2(1+a)^2-5$，
解得 $a_1=1$，$a_2=-3$(不符合题意，舍去).
∴新抛物线的函数解析式为 $y=2(x+1)^2-5$.
(2)
∵关于 y 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴抛物线 $y=2(x+1)^2-5$ 关于 y 轴对称的图象所对应的函数解析式为 $y=2(-x+1)^2-5$，即 $y=2(x-1)^2-5$.

【分析】
(1) 解决第一问首先回忆二次函数图象平移规律：“上加下减常数项，左加右减自变量”，先按平移规则写出含参数$a$的平移后抛物线解析式；再将已知点$(1,3)$代入解析式得到关于$a$的一元二次方程，解方程后结合$a＞0$的限定条件舍去不符合题意的根，即可确定新抛物线解析式。
(2) 解决第二问利用关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，只需将原抛物线解析式中的$x$替换为$-x$，化简后即可得到对称后的函数解析式，也可通过找原顶点的对称点，结合开口方向、大小不变用顶点式直接写解析式。
【解析】
(1) 根据二次函数图象平移规律，将抛物线$y=2x^2$先向下平移5个单位长度，再向左平移$a(a＞0)$个单位长度后，所得抛物线解析式为$y=2(x+a)^2-5$。
将点$(1,3)$代入解析式得：
$3=2(1+a)^2-5$
整理得$(1+a)^2=4$，解得$a_1=1$，$a_2=-3$。
$\because a＞0$，$\therefore a_2=-3$舍去，
$\therefore$ 新抛物线的函数解析式为$y=2(x+1)^2-5$。
(2) $\because$ 关于$y$轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，
$\therefore$ 将$y=2(x+1)^2-5$中的$x$替换为$-x$，得对称后的函数解析式：
$y=2(-x+1)^2-5$，即$y=2(x-1)^2-5$。
【答案】
(1) $y=2(x+1)^2-5$
(2) $y=2(x-1)^2-5$
【知识点】
二次函数平移规律；待定系数法求解析式；二次函数轴对称变换
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础常考题，核心考查平移和轴对称两种变换的规则，解题关键是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移口诀，以及对称变换的坐标规律，计算时注意结合限定条件舍去不符合题意的参数值。
【难度系数】
0.75