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已知二次函数 $y_1=-\dfrac{1}{4}x^2$，$y_2=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2$ 和 $y_3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$。
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出它们的函数图象，并分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)试说明分别通过怎样的平移，可以由函数$y_1$的图象得到函数$y_2$和函数$y_3$的图象；
(3)根据图象回答：当$x=1$时，$y_1$
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出它们的函数图象，并分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)试说明分别通过怎样的平移，可以由函数$y_1$的图象得到函数$y_2$和函数$y_3$的图象；
(3)根据图象回答：当$x=1$时，$y_1$
=
$y_3$，当$x=-1$时，$y_1$=
$y_2$＞
$y_3$.（均填“＞”“＜”或“=”）答案
解：(1)画出函数图象略.
函数 $y_1=-\dfrac{1}{4}x^2$ 的图象开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0)；
函数 $y_2=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2$ 的图象开口向下，对称轴是直线 $x=-2$，顶点坐标是(-2，0)；
函数 $y_3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$ 的图象开口向下，对称轴是直线 $x=2$，顶点坐标是(2，0).
(2)由函数 $y_1$ 的图象向左平移 2 个单位长度得到函数 $y_2$ 的图象；由函数 $y_1$ 的图象向右平移 2 个单位长度得到函数 $y_3$ 的图象.
(3)= = ＞
函数 $y_1=-\dfrac{1}{4}x^2$ 的图象开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0)；
函数 $y_2=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2$ 的图象开口向下，对称轴是直线 $x=-2$，顶点坐标是(-2，0)；
函数 $y_3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$ 的图象开口向下，对称轴是直线 $x=2$，顶点坐标是(2，0).
(2)由函数 $y_1$ 的图象向左平移 2 个单位长度得到函数 $y_2$ 的图象；由函数 $y_1$ 的图象向右平移 2 个单位长度得到函数 $y_3$ 的图象.
(3)= = ＞
解析
【分析】
解题可分三步思考：1. 解决第(1)问时，先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，对应三个函数的参数即可直接得出结论，画图象可采用描点法，选取顶点和两侧对称的点描点连线即可；2. 解决第(2)问时，根据二次函数图象平移“左加右减（针对自变量x）”的规律，对比三个函数的解析式差异，即可判断平移方式；3. 解决第(3)问时，可将给定的x值分别代入对应函数解析式，计算出函数值后再比较大小，也可结合图象上点的位置直接判断。
【解析】
(1) 函数图象绘制略：
对于$y_1=-\dfrac{1}{4}x^2$，$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，故图象开口向下，$h=0$，对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标是$(0,0)$；
对于$y_2=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2=-\dfrac{1}{4}[x-(-2)]^2$，$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，故图象开口向下，$h=-2$，对称轴是直线$x=-2$，顶点坐标是$(-2,0)$；
对于$y_3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$，$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，故图象开口向下，$h=2$，对称轴是直线$x=2$，顶点坐标是$(2,0)$。
(2) 根据二次函数平移“左加右减”的规律：
$y_1$的图象向左平移2个单位长度，得到$y_2=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2$的图象；$y_1$的图象向右平移2个单位长度，得到$y_3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$的图象。
(3) 代入计算比较：
当$x=1$时，$y_1=-\dfrac{1}{4}×1^2=-\dfrac{1}{4}$，$y_3=-\dfrac{1}{4}×(1-2)^2=-\dfrac{1}{4}$，故$y_1=y_3$；
当$x=-1$时，$y_1=-\dfrac{1}{4}×(-1)^2=-\dfrac{1}{4}$，$y_2=-\dfrac{1}{4}×(-1+2)^2=-\dfrac{1}{4}$，$y_3=-\dfrac{1}{4}×(-1-2)^2=-\dfrac{9}{4}$，故$y_1=y_2＞y_3$。
【答案】
(1) 画图略；$y_1$开口向下，对称轴为y轴，顶点$(0,0)$；$y_2$开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点$(-2,0)$；$y_3$开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点$(2,0)$；
(2) $y_1$向左平移2个单位得$y_2$的图象，$y_1$向右平移2个单位得$y_3$的图象；
(3) =；=；＞
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数图象平移规律；二次函数值比较
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的基础性质设计，难度较低，核心是熟练掌握由顶点式直接确定函数开口、对称轴、顶点坐标的方法，理解“左加右减”的平移规则，代入求值比较大小是基础运算，是二次函数图象性质部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
解题可分三步思考：1. 解决第(1)问时，先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，对应三个函数的参数即可直接得出结论，画图象可采用描点法，选取顶点和两侧对称的点描点连线即可；2. 解决第(2)问时，根据二次函数图象平移“左加右减（针对自变量x）”的规律，对比三个函数的解析式差异，即可判断平移方式；3. 解决第(3)问时，可将给定的x值分别代入对应函数解析式，计算出函数值后再比较大小，也可结合图象上点的位置直接判断。
【解析】
(1) 函数图象绘制略：
对于$y_1=-\dfrac{1}{4}x^2$，$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，故图象开口向下，$h=0$，对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标是$(0,0)$；
对于$y_2=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2=-\dfrac{1}{4}[x-(-2)]^2$，$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，故图象开口向下，$h=-2$，对称轴是直线$x=-2$，顶点坐标是$(-2,0)$；
对于$y_3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$，$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，故图象开口向下，$h=2$，对称轴是直线$x=2$，顶点坐标是$(2,0)$。
(2) 根据二次函数平移“左加右减”的规律：
$y_1$的图象向左平移2个单位长度，得到$y_2=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2$的图象；$y_1$的图象向右平移2个单位长度，得到$y_3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2$的图象。
(3) 代入计算比较：
当$x=1$时，$y_1=-\dfrac{1}{4}×1^2=-\dfrac{1}{4}$，$y_3=-\dfrac{1}{4}×(1-2)^2=-\dfrac{1}{4}$，故$y_1=y_3$；
当$x=-1$时，$y_1=-\dfrac{1}{4}×(-1)^2=-\dfrac{1}{4}$，$y_2=-\dfrac{1}{4}×(-1+2)^2=-\dfrac{1}{4}$，$y_3=-\dfrac{1}{4}×(-1-2)^2=-\dfrac{9}{4}$，故$y_1=y_2＞y_3$。
【答案】
(1) 画图略；$y_1$开口向下，对称轴为y轴，顶点$(0,0)$；$y_2$开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点$(-2,0)$；$y_3$开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点$(2,0)$；
(2) $y_1$向左平移2个单位得$y_2$的图象，$y_1$向右平移2个单位得$y_3$的图象；
(3) =；=；＞
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数图象平移规律；二次函数值比较
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的基础性质设计，难度较低，核心是熟练掌握由顶点式直接确定函数开口、对称轴、顶点坐标的方法，理解“左加右减”的平移规则，代入求值比较大小是基础运算，是二次函数图象性质部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8
例 已知二次函数 $y=a(x-h)^2$ 的图象向左平移 2 个单位长度，得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$。
(1)试确定 $a$，$h$ 的值；
(2)指出二次函数 $y=a(x-h)^2$ 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)试确定 $a$，$h$ 的值；
(2)指出二次函数 $y=a(x-h)^2$ 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
答案
解：(1)二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$ 的图象的顶点坐标为(-1，0)，把点(-1，0)向右平移 2 个单位长度得到点的坐标为(1，0)，
∴原二次函数的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$.
∴$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$.
(2)二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$ 的图象开口向下，对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为(1，0).
∴原二次函数的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$.
∴$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$.
(2)二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$ 的图象开口向下，对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为(1，0).
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数图象平移的核心特征：平移仅改变图象位置，不改变形状大小，因此二次项系数a不变。求解第(1)问时可采用逆向思维，将平移后得到的抛物线向右平移2个单位即可得到原二次函数图象，结合顶点式的顶点随平移的变化规律，就能求出原函数解析式，进而得到a、h的值。第(2)问直接根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，由a的符号判断开口方向，直接提取对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$的图象的顶点坐标为$(-1,0)$，把点$(-1,0)$向右平移2个单位长度得到点的坐标为$(1,0)$，
∴原二次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，
∴$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$。
(2) 对于二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，
∴图象开口向下，
结合顶点式性质可得：对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
【答案】
(1) $a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$；
(2) 开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，侧重考查平移规律和顶点式的基本性质，熟练掌握“左加右减”的平移规则，明确顶点式中各参数对应的几何意义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确二次函数图象平移的核心特征：平移仅改变图象位置，不改变形状大小，因此二次项系数a不变。求解第(1)问时可采用逆向思维，将平移后得到的抛物线向右平移2个单位即可得到原二次函数图象，结合顶点式的顶点随平移的变化规律，就能求出原函数解析式，进而得到a、h的值。第(2)问直接根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，由a的符号判断开口方向，直接提取对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$的图象的顶点坐标为$(-1,0)$，把点$(-1,0)$向右平移2个单位长度得到点的坐标为$(1,0)$，
∴原二次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，
∴$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$。
(2) 对于二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，
∴图象开口向下，
结合顶点式性质可得：对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
【答案】
(1) $a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$；
(2) 开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，侧重考查平移规律和顶点式的基本性质，熟练掌握“左加右减”的平移规则，明确顶点式中各参数对应的几何意义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
