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已知抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。若$△ ABC$是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位长度？请说明理由。
归纳总结
(1)若抛物线的对称轴为y轴，则说明它的解析式中不含有自变量的一次项。
(2)抛物线$y=ax^2 +k$是由抛物线$y=ax^2$沿y轴平移$|k|$个单位长度得到的，其平移规律是“上加下减”。
归纳总结
(1)若抛物线的对称轴为y轴，则说明它的解析式中不含有自变量的一次项。
(2)抛物线$y=ax^2 +k$是由抛物线$y=ax^2$沿y轴平移$|k|$个单位长度得到的，其平移规律是“上加下减”。
答案
原抛物线应向下平移2个单位长度。理由略。
解析
【分析】
首先根据二次函数平移“上加下减”的规律，设向下平移h个单位长度（h＞0），可直接写出平移后抛物线的解析式。其次，平移后的抛物线对称轴为y轴，因此A、B两点关于y轴对称，结合C点在y轴上可判断△ABC是等腰三角形，若为直角三角形则直角顶点只能是C点，即△ABC为等腰直角三角形，满足OC=OA（O为坐标原点）。最后分别求出A、C两点坐标，将线段长度关系转化为方程求解h即可得到平移距离。
【解析】
设原抛物线向下平移$h$个单位长度（$h＞0$），则平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - h$。
1. 求抛物线与坐标轴的交点坐标：
令$x=0$，得$y=-h$，因此点C坐标为$(0,-h)$，可得$OC=h$（O为坐标原点）。
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x^2 - h = 0$，整理得$x^2=2h$，解得$x=\pm\sqrt{2h}$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-\sqrt{2h},0)$，$B(\sqrt{2h},0)$，可得$OA=\sqrt{2h}$。
2. 利用直角三角形性质列方程：
由于抛物线对称轴为y轴，因此A、B关于y轴对称，故$AC=BC$，△ABC为等腰三角形。若△ABC为直角三角形，则直角只能为$∠ ACB$，即△ABC是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，可得$OC=OA$，代入得：
$\sqrt{2h}=h$
两边平方得$2h=h^2$，整理得$h(h-2)=0$，解得$h=2$或$h=0$。$h=0$时抛物线未平移，不符合题意，舍去。
【答案】
原抛物线应向下平移2个单位长度。
【知识点】
二次函数平移规律、等腰直角三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，解题核心是利用抛物线的对称性确定直角三角形的形状，再将线段长度关系转化为方程求解，需要掌握函数和几何结合的分析思路。
【难度系数】
0.6
首先根据二次函数平移“上加下减”的规律，设向下平移h个单位长度（h＞0），可直接写出平移后抛物线的解析式。其次，平移后的抛物线对称轴为y轴，因此A、B两点关于y轴对称，结合C点在y轴上可判断△ABC是等腰三角形，若为直角三角形则直角顶点只能是C点，即△ABC为等腰直角三角形，满足OC=OA（O为坐标原点）。最后分别求出A、C两点坐标，将线段长度关系转化为方程求解h即可得到平移距离。
【解析】
设原抛物线向下平移$h$个单位长度（$h＞0$），则平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - h$。
1. 求抛物线与坐标轴的交点坐标：
令$x=0$，得$y=-h$，因此点C坐标为$(0,-h)$，可得$OC=h$（O为坐标原点）。
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x^2 - h = 0$，整理得$x^2=2h$，解得$x=\pm\sqrt{2h}$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-\sqrt{2h},0)$，$B(\sqrt{2h},0)$，可得$OA=\sqrt{2h}$。
2. 利用直角三角形性质列方程：
由于抛物线对称轴为y轴，因此A、B关于y轴对称，故$AC=BC$，△ABC为等腰三角形。若△ABC为直角三角形，则直角只能为$∠ ACB$，即△ABC是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，可得$OC=OA$，代入得：
$\sqrt{2h}=h$
两边平方得$2h=h^2$，整理得$h(h-2)=0$，解得$h=2$或$h=0$。$h=0$时抛物线未平移，不符合题意，舍去。
【答案】
原抛物线应向下平移2个单位长度。
【知识点】
二次函数平移规律、等腰直角三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，解题核心是利用抛物线的对称性确定直角三角形的形状，再将线段长度关系转化为方程求解，需要掌握函数和几何结合的分析思路。
【难度系数】
0.6
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
向上 向下 y轴 0 (0, k) 减小 增大 增大 减小 k k
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，我们可按照知识框图的分类逐一推导：
1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：$y=ax^2+k$是$y=ax^2$沿y轴平移得到的，对称轴保持不变，为y轴，对应直线解析式为$x=0$；
3. 顶点坐标：将对称轴$x=0$代入函数得$y=k$，因此顶点为$(0,k)$；
4. 增减性：结合开口方向判断：$a＞0$开口向上时，对称轴左侧（x＜0）y随x增大而减小，右侧（x＞0）y随x增大而增大；$a＜0$开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；
5. 最值：顶点为函数的极值点，$a＞0$时顶点为最低点，最小值为k；$a＜0$时顶点为最高点，最大值为k。
【解析】
按照框图顺序依次填写：
1. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：关于y轴对称，对称轴是直线$x=0$；
3. 顶点坐标是$(0,k)$；
4. 增减性：$a＞0$时，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大；$a＜0$时，对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时，$x=0$时$y_{最小值}=k$；$a＜0$时，$x=0$时$y_{最大值}=k$。
【答案】
向上 向下 y轴 0 (0, k) 减小 增大 增大 减小 k k
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数的对称性、二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心是对二次函数$y=ax^2+k$的各项图象性质的掌握，牢记这些基础性质是学习更复杂二次函数的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，我们可按照知识框图的分类逐一推导：
1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：$y=ax^2+k$是$y=ax^2$沿y轴平移得到的，对称轴保持不变，为y轴，对应直线解析式为$x=0$；
3. 顶点坐标：将对称轴$x=0$代入函数得$y=k$，因此顶点为$(0,k)$；
4. 增减性：结合开口方向判断：$a＞0$开口向上时，对称轴左侧（x＜0）y随x增大而减小，右侧（x＞0）y随x增大而增大；$a＜0$开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；
5. 最值：顶点为函数的极值点，$a＞0$时顶点为最低点，最小值为k；$a＜0$时顶点为最高点，最大值为k。
【解析】
按照框图顺序依次填写：
1. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：关于y轴对称，对称轴是直线$x=0$；
3. 顶点坐标是$(0,k)$；
4. 增减性：$a＞0$时，对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大；$a＜0$时，对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时，$x=0$时$y_{最小值}=k$；$a＜0$时，$x=0$时$y_{最大值}=k$。
【答案】
向上 向下 y轴 0 (0, k) 减小 增大 增大 减小 k k
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数的对称性、二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心是对二次函数$y=ax^2+k$的各项图象性质的掌握，牢记这些基础性质是学习更复杂二次函数的前提。
【难度系数】
0.9
探究1: 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2$，$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$ 与 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2$ 的图象.
列表:
续表
描点、连线:
探究2: 抛物线 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$ 的开口方向、顶点坐标和对称轴各是什么?
探究3: 抛物线 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$ 与抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 有什么关系?
可以发现，把抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向
列表:
续表
描点、连线:
探究2: 抛物线 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$ 的开口方向、顶点坐标和对称轴各是什么?
探究3: 抛物线 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$ 与抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 有什么关系?
可以发现，把抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向
左
平移1个单位长度，就得到抛物线 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$
；把抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 向 右
平移1个单位长度，就得到抛物线 $y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$
.答案
探究1 略
探究2 抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$开口向上，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴是直线$x=-1$；抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$
探究3 左 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$ 右 $y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$
探究2 抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$开口向上，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴是直线$x=-1$；抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$
探究3 左 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$ 右 $y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$
解析
【分析】
1. 探究1考查二次函数图象的画法，采用描点法，分三步进行：①列表：选取对称的x值，分别代入三个函数计算对应的y值；②描点：将每组(x,y)对应的点在坐标系中描出；③连线：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序连接各点即可。
2. 探究2考查顶点式二次函数的基本性质，对于二次函数$y=a(x-h)^2$，当$a＞0$时开口向上，顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$，只需确定两个函数中$a$和$h$的取值，对应代入性质即可得出结论。
3. 探究3考查二次函数图象的平移规律，平移遵循“左加右减自变量”的规则，自变量x加/减对应水平方向的左右平移，对比三个函数的解析式差异，即可判断平移方向和得到的函数解析式。
【解析】
探究1：采用描点法作图：
①列表：分别取x=-3、-2、-1、0、1、2、3，计算三个函数对应的y值填入表格；
②描点：将表格中各组(x,y)对应的点在平面直角坐标系中准确描出；
③连线：用平滑的曲线依次连接各点，即可得到三个二次函数的图象。
探究2：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，a决定开口方向，顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$。
抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$中，$a=\frac{1}{2}＞0$，$h=-1$，因此开口向上，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴是直线$x=-1$；
抛物线$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$中，$a=\frac{1}{2}＞0$，$h=1$，因此开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$。
探究3：二次函数图象水平平移遵循“左加右减自变量”的规律：
将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的自变量x替换为x+1，即向左平移1个单位长度，得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$；将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的自变量x替换为x-1，即向右平移1个单位长度，得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$。
【答案】
探究1 略
探究2 抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$开口向上，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴是直线$x=-1$；抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$
探究3 左 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$ 右 $y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题从画图实践入手，引导学生理解顶点式二次函数的基本性质，掌握二次函数水平平移的规律，是二次函数图象与性质部分的基础题型，对后续学习复杂二次函数的平移有重要铺垫作用。
【难度系数】
0.8
1. 探究1考查二次函数图象的画法，采用描点法，分三步进行：①列表：选取对称的x值，分别代入三个函数计算对应的y值；②描点：将每组(x,y)对应的点在坐标系中描出；③连线：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序连接各点即可。
2. 探究2考查顶点式二次函数的基本性质，对于二次函数$y=a(x-h)^2$，当$a＞0$时开口向上，顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$，只需确定两个函数中$a$和$h$的取值，对应代入性质即可得出结论。
3. 探究3考查二次函数图象的平移规律，平移遵循“左加右减自变量”的规则，自变量x加/减对应水平方向的左右平移，对比三个函数的解析式差异，即可判断平移方向和得到的函数解析式。
【解析】
探究1：采用描点法作图：
①列表：分别取x=-3、-2、-1、0、1、2、3，计算三个函数对应的y值填入表格；
②描点：将表格中各组(x,y)对应的点在平面直角坐标系中准确描出；
③连线：用平滑的曲线依次连接各点，即可得到三个二次函数的图象。
探究2：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，a决定开口方向，顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$。
抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$中，$a=\frac{1}{2}＞0$，$h=-1$，因此开口向上，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴是直线$x=-1$；
抛物线$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$中，$a=\frac{1}{2}＞0$，$h=1$，因此开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$。
探究3：二次函数图象水平平移遵循“左加右减自变量”的规律：
将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的自变量x替换为x+1，即向左平移1个单位长度，得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$；将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的自变量x替换为x-1，即向右平移1个单位长度，得到抛物线$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$。
【答案】
探究1 略
探究2 抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$开口向上，顶点坐标为$(-1,0)$，对称轴是直线$x=-1$；抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x=1$
探究3 左 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2$ 右 $y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题从画图实践入手，引导学生理解顶点式二次函数的基本性质，掌握二次函数水平平移的规律，是二次函数图象与性质部分的基础题型，对后续学习复杂二次函数的平移有重要铺垫作用。
【难度系数】
0.8
