任务导学
任务一 探究函数$y=ax^2 +k$的图象和性质
探究1：在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：$y=-2x^2$，$y=-2x^2 +1$，$y=-2x^2 -1$。
列表：

描点、连线：

探究2：抛物线$y=-2x^2 +1$，$y=-2x^2 -1$的开口方向、顶点坐标和对称轴各是什么？

探究3：抛物线$y=-2x^2 +1$，$y=-2x^2 -1$与抛物线$y=-2x^2$有什么关系？
可以发现，把抛物线$y=-2x^2$向平移1个单位长度，就得到抛物线；
把抛物线$y=-2x^2$向平移1个单位长度，就得到抛物线。

探究1 略
探究2 向下 (0, 1) y轴 向下 (0, -1) y轴
探究3 上 $y=-2x^2+1$ 下 $y=-2x^2-1$

【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质展开，解题思路如下：1. 先回忆二次函数$y=ax^2$的基础性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为y轴，顶点为原点；2. 对于$y=ax^2+k$，它是$y=ax^2$上下平移得到的，遵循“上加下减”的平移规律，即常数项$k$变化对应图象上下平移，顶点坐标变为$(0,k)$，对称轴不变，开口方向和$y=ax^2$一致；3. 结合本题给出的三个函数的$a$、$k$值，依次判断性质和平移关系即可。
【解析】
探究1：按照列表、描点、连线的步骤作图即可，过程略。
探究2：对于二次函数$y=ax^2+k$，$a$决定开口方向：本题中三个函数的$a=-2＜0$，因此$y=-2x^2+1$和$y=-2x^2-1$开口方向都向下；
$y=ax^2+k$的对称轴恒为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$：因此$y=-2x^2+1$的顶点坐标为$(0,1)$，对称轴为y轴；$y=-2x^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，对称轴为y轴。
探究3：根据二次函数图象平移“上加下减常数项”的规律：
把抛物线$y=-2x^2$向上平移1个单位长度，函数表达式变为$y=-2x^2+1$，即得到抛物线$y=-2x^2+1$；
把抛物线$y=-2x^2$向下平移1个单位长度，函数表达式变为$y=-2x^2-1$，即得到抛物线$y=-2x^2-1$。
【答案】
探究1 略
探究2 向下；(0, 1)；y轴；向下；(0, -1)；y轴
探究3 上；$y=-2x^2+1$；下；$y=-2x^2-1$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题型，核心是掌握$y=ax^2+k$和$y=ax^2$的联系，熟练运用平移口诀和性质判断规则就能快速解题，是后续学习更复杂二次函数平移的基础。
【难度系数】
0.8

不画函数的图象，回答下面的问题：
(1)抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 经过怎样的平移才能得到抛物线 $ y = 3x^2 $？
(2)函数 $ y = 3x^2 - 1 $，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，函数y有最小值，最小值是 ；其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 。
(3)试说出抛物线 $ y = 3x^2 + 1 $ 的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)根据抛物线平移变换规律，可知$y=3x^2-1$向上平移1个单位长度才能得到抛物线$y=3x^2$。
(2)＞0 =0 -1 (0, -1) $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 0)$和$(-\frac{\sqrt{3}}{3}, 0)$
(3)抛物线$y=3x^2+1$的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0, 1)。

【分析】
解题前先回忆二次函数$y=ax^2+k$的相关性质及图象平移规律：1. 平移规律为“上加下减常数项，左加右减自变量”，且a相同的抛物线形状相同，仅位置不同，可通过顶点位置变化判断平移方式；2. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），$x＞0$时y随x增大而增大，$x＜0$时y随x增大而减小，顶点处取最小值；3. 求函数与坐标轴交点时，与y轴交点令$x=0$求y值，与x轴交点令$y=0$解方程求x值。按照3个小问的顺序逐一应用对应性质求解即可。
【解析】
(1) 两个抛物线的二次项系数均为3，形状完全相同，只需看顶点的平移：抛物线$y=3x^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，抛物线$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，顶点从$(0,-1)$移动到$(0,0)$，是向上平移了1个单位长度，因此$y=3x^2-1$向上平移1个单位长度得到$y=3x^2$。
(2) 对于函数$y=3x^2-1$，$a=3＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴）：
① 开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，即当$x＞0$时，y随x的增大而增大；
② 顶点在对称轴上，此时函数取最小值，即当$x=0$时，y有最小值，代入得最小值为$y=3×0^2-1=-1$；
③ 求与y轴交点：令$x=0$，得$y=-1$，因此交点坐标为$(0,-1)$；
④ 求与x轴交点：令$y=0$，即$3x^2-1=0$，解得$x^2=\frac{1}{3}$，$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此交点坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$和$(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$。
(3) 对于抛物线$y=3x^2+1$，$a=3＞0$，因此开口向上；属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,1)$。
【答案】
(1)向上平移1个单位长度
(2)$＞0$；$=0$；$-1$；$(0,-1)$；$(\frac{\sqrt{3}}{3},0)$和$(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$
(3)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,1)$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数图象平移规律；二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，围绕$y=ax^2+k$的核心性质设问，熟练掌握其开口方向、对称轴、顶点、增减性、平移规律及交点求法，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.85

例 已知抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$ 的对称轴是y轴，求抛物线的顶点坐标。

解：
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$的对称轴是y轴，
∴5-m=0，解得m=5。
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。
∴抛物线的顶点坐标为(0, 2)。

【分析】
解题可按三步思路推进：第一步，回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，题目明确对称轴是y轴即$x=0$，由于$a≠0$，因此只有一次项系数$b=0$时，对称轴才为0；第二步，根据一次项系数为0列关于$m$的方程，求解得到$m$的值后，代入原解析式得到简化后的二次函数表达式；第三步，对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，其顶点坐标为$(0,k)$，可直接得到顶点坐标，也可代入$x=0$计算对应$y$值得到结果。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$的对称轴是y轴，
二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}$，对称轴为y轴即$x=0$，且$a=-\dfrac{1}{2}≠0$，
∴ 一次项系数$5-m=0$，解得$m=5$。
将$m=5$代入原解析式，得抛物线的解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+(5-5)x+5-3=-\dfrac{1}{2}x^2+2$。
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握“二次函数对称轴为y轴时，一次项系数为0”的规律，熟练掌握二次函数系数与图象性质的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.85