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7.如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形ABC内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与$△ ABC$的面积之比是（
A.$\frac{\sqrt{3}π}{18}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{18}$
C.$\frac{\sqrt{3}π}{9}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{9}$
（第7题图）
（第8题图）
A
）A.$\frac{\sqrt{3}π}{18}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{18}$
C.$\frac{\sqrt{3}π}{9}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{9}$
（第7题图）
（第8题图）
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先利用中心对称的性质得出黑色部分的面积是内切圆面积的一半，再设等边三角形的边长为参数，分别计算等边三角形的面积和内切圆的面积，最后求两者的比值即可，计算过程中参数会自动消去，无需知道参数的具体数值。
【解析】
设等边三角形$ABC$的边长为$a$。
1. 计算等边三角形$ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 求内切圆半径：
等边三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，由于等边三角形的内心与重心重合，重心分高的比为$2:1$，因此内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}a}{6}$。
3. 计算内切圆面积和黑色部分面积：
内切圆面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×(\frac{\sqrt{3}a}{6})^2=\frac{π a^2}{12}$。
因为黑色部分和白色部分关于内心中心对称，两者面积相等，因此$S_{\mathrm{黑色}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{圆}}=\frac{π a^2}{24}$。
4. 计算面积比：
$\frac{S_{\mathrm{黑色}}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{π a^2}{24}}{\frac{\sqrt{3}a^2}{4}}=\frac{π}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}π}{18}$。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质，等边三角形的性质，三角形的内切圆
【点评】
本题结合传统太极图背景考查几何面积计算，解题的突破口是利用中心对称的性质简化黑色部分面积的计算，再结合等边三角形内切圆的相关公式求解，计算时要注意分母有理化的规范操作。
【难度系数】
0.6
解题时先利用中心对称的性质得出黑色部分的面积是内切圆面积的一半，再设等边三角形的边长为参数，分别计算等边三角形的面积和内切圆的面积，最后求两者的比值即可，计算过程中参数会自动消去，无需知道参数的具体数值。
【解析】
设等边三角形$ABC$的边长为$a$。
1. 计算等边三角形$ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 求内切圆半径：
等边三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，由于等边三角形的内心与重心重合，重心分高的比为$2:1$，因此内切圆半径$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}a}{6}$。
3. 计算内切圆面积和黑色部分面积：
内切圆面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×(\frac{\sqrt{3}a}{6})^2=\frac{π a^2}{12}$。
因为黑色部分和白色部分关于内心中心对称，两者面积相等，因此$S_{\mathrm{黑色}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{圆}}=\frac{π a^2}{24}$。
4. 计算面积比：
$\frac{S_{\mathrm{黑色}}}{S_{△ ABC}}=\frac{\frac{π a^2}{24}}{\frac{\sqrt{3}a^2}{4}}=\frac{π}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}π}{18}$。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质，等边三角形的性质，三角形的内切圆
【点评】
本题结合传统太极图背景考查几何面积计算，解题的突破口是利用中心对称的性质简化黑色部分面积的计算，再结合等边三角形内切圆的相关公式求解，计算时要注意分母有理化的规范操作。
【难度系数】
0.6
8.如图所示，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心。若∠BOC=140°，则∠BIC=
125
°。答案
8.125
解析
【分析】
解题时先结合外心的性质求∠BAC的度数：外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC的度数，即可求出对应的圆周角∠A的度数。再结合内心的性质求∠BIC：内心是三角形角平分线的交点，先表示出∠IBC与∠ICB的和，再利用三角形内角和定理即可求出∠BIC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵ 点O是△ABC的外心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×140° = 70°$。
2. 求∠BIC的度数：
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 70° = 110°$。
在△BIC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
代入$∠ ABC+∠ ACB=110°$，得：
$∠ BIC = 180° - \frac{1}{2}×110° = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形特殊点性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握外心、内心对应的角度性质，结合圆周角定理和内角和定理逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合外心的性质求∠BAC的度数：外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC的度数，即可求出对应的圆周角∠A的度数。再结合内心的性质求∠BIC：内心是三角形角平分线的交点，先表示出∠IBC与∠ICB的和，再利用三角形内角和定理即可求出∠BIC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵ 点O是△ABC的外心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×140° = 70°$。
2. 求∠BIC的度数：
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 70° = 110°$。
在△BIC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
代入$∠ ABC+∠ ACB=110°$，得：
$∠ BIC = 180° - \frac{1}{2}×110° = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形特殊点性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握外心、内心对应的角度性质，结合圆周角定理和内角和定理逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
9.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(-3,3)，(7,-2)。请用无刻度直尺画出△ABC内心的位置，并标注坐标。
答案
9.解:如图,点I(2,3)即为△ABC的内心。
解析
【分析】
要确定△ABC的内心，首先回忆三角形内心的定义：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需作出任意两条内角的角平分线，它们的交点即为内心。首先观察三点坐标特征：点B坐标为(-3,3)，对比从B到A、从B到C的格点移动规律，可知AB、BC关于过点B的水平线y=3对称，因此∠B的角平分线就是直线y=3；接下来再找另一个内角的角平分线，它与y=3的交点就是所求内心，结合网格特征即可确定交点位置与坐标。
【解析】
1. 明确三角形内心的性质：三角形的内心是三角形三条内角角平分线的交点，只需作出两条角平分线取交点即可。
2. 分析∠B的角平分线：观察点B(-3,3)，从B到A(3,6)，横向右移6个单位，纵向上移3个单位；从B到C(7,-2)，横向右移10个单位，纵向下移5个单位，可知两条边关于过B且平行于x轴的直线y=3对称，因此∠ABC的角平分线为直线y=3。
3. 作∠BAC（或∠ACB）的角平分线，结合网格特征可找到该角平分线与直线y=3的交点为(2,3)，该点就是△ABC的内心。
【答案】
如图，点I(2,3)即为△ABC的内心。
【知识点】
三角形内心的概念，角平分线的判定，平面直角坐标系
【点评】
本题结合格点坐标系考查三角形内心的确定，解题关键是利用格点的位置特征快速找到其中一条角平分线，降低作图难度，需要熟练掌握内心的定义与角平分线的相关性质。
【难度系数】
0.6
要确定△ABC的内心，首先回忆三角形内心的定义：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需作出任意两条内角的角平分线，它们的交点即为内心。首先观察三点坐标特征：点B坐标为(-3,3)，对比从B到A、从B到C的格点移动规律，可知AB、BC关于过点B的水平线y=3对称，因此∠B的角平分线就是直线y=3；接下来再找另一个内角的角平分线，它与y=3的交点就是所求内心，结合网格特征即可确定交点位置与坐标。
【解析】
1. 明确三角形内心的性质：三角形的内心是三角形三条内角角平分线的交点，只需作出两条角平分线取交点即可。
2. 分析∠B的角平分线：观察点B(-3,3)，从B到A(3,6)，横向右移6个单位，纵向上移3个单位；从B到C(7,-2)，横向右移10个单位，纵向下移5个单位，可知两条边关于过B且平行于x轴的直线y=3对称，因此∠ABC的角平分线为直线y=3。
3. 作∠BAC（或∠ACB）的角平分线，结合网格特征可找到该角平分线与直线y=3的交点为(2,3)，该点就是△ABC的内心。
【答案】
如图，点I(2,3)即为△ABC的内心。
【知识点】
三角形内心的概念，角平分线的判定，平面直角坐标系
【点评】
本题结合格点坐标系考查三角形内心的确定，解题关键是利用格点的位置特征快速找到其中一条角平分线，降低作图难度，需要熟练掌握内心的定义与角平分线的相关性质。
【难度系数】
0.6
10.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$.$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，点$E$，$F$，$G$为切点，$D$是斜边$AB$的中点，求$\tan ∠ ODA$的值.
答案
10.解:如图,连结OE,OF,OG。
∵∠C=90°,AC=6,BC=8，
∴AB=10。
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OG⊥BC,OF⊥AC,OE⊥AB，
AF=AE,CF=CG,BG=BE。
∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°。
∵∠C=90°,
∴四边形OFCG是矩形。
∵OG=OF，
∴四边形OFCG是正方形。
设OF=x,则CF=CG=OF=x，
AF=AE=6-x,BE=BG=8-x，
∴6-x+8-x=10,解得x=2。
∴OF=2.
∴OE=2,AE=4。
∵点D是斜边AB的中点,
∴AD=5。
∴DE=AD-AE=1.
∴tan∠ODA=2。
解析
【分析】
解题时先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；再结合三角形内切圆的切线性质、切线长定理，可推得四边形OFCG是正方形，设内切圆半径为x，根据AE+BE=AB列方程求出半径OE以及AE的长度；接着根据D是AB中点求出AD的长度，计算得到DE的长；最后在Rt△ODE中，利用正切的定义即可求出tan∠ODA的值。
【解析】
解：如图，连结OE,OF,OG。
∵∠C=90°,AC=6,BC=8，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵⊙O为△ABC的内切圆，E、F、G为切点，
∴OG⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，且AF=AE，CF=CG，BG=BE，
∴∠OGC=∠OFC=∠C=∠OED=90°，
∴四边形OFCG是矩形，
又
∵OG=OF（均为内切圆的半径），
∴四边形OFCG是正方形。
设内切圆半径OF=x，则CF=CG=x，
∴AF=6-x，BG=8-x，即AE=6-x，BE=8-x，
由AE+BE=AB可得：$6-x+8-x=10$，解得$x=2$，
∴OE=2，AE=6-2=4。
∵D是斜边AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$DE=AD-AE=5-4=1$，
在Rt△ODE中，$\tan∠ODA=\frac{OE}{DE}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
$\tan∠ODA=2$
【知识点】
勾股定理，切线长定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查了直角三角形内切圆相关性质、切线长定理的应用以及锐角三角函数的计算，解题关键是正确作出辅助线，利用切线长定理求出内切圆半径，再结合线段和差关系求出目标角所在直角三角形的边长，是内切圆章节的典型常规题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；再结合三角形内切圆的切线性质、切线长定理，可推得四边形OFCG是正方形，设内切圆半径为x，根据AE+BE=AB列方程求出半径OE以及AE的长度；接着根据D是AB中点求出AD的长度，计算得到DE的长；最后在Rt△ODE中，利用正切的定义即可求出tan∠ODA的值。
【解析】
解：如图，连结OE,OF,OG。
∵∠C=90°,AC=6,BC=8，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵⊙O为△ABC的内切圆，E、F、G为切点，
∴OG⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，且AF=AE，CF=CG，BG=BE，
∴∠OGC=∠OFC=∠C=∠OED=90°，
∴四边形OFCG是矩形，
又
∵OG=OF（均为内切圆的半径），
∴四边形OFCG是正方形。
设内切圆半径OF=x，则CF=CG=x，
∴AF=6-x，BG=8-x，即AE=6-x，BE=8-x，
由AE+BE=AB可得：$6-x+8-x=10$，解得$x=2$，
∴OE=2，AE=6-2=4。
∵D是斜边AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$DE=AD-AE=5-4=1$，
在Rt△ODE中，$\tan∠ODA=\frac{OE}{DE}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
$\tan∠ODA=2$
【知识点】
勾股定理，切线长定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查了直角三角形内切圆相关性质、切线长定理的应用以及锐角三角函数的计算，解题关键是正确作出辅助线，利用切线长定理求出内切圆半径，再结合线段和差关系求出目标角所在直角三角形的边长，是内切圆章节的典型常规题。
【难度系数】
0.7
