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1.下列说法错误的是 （
A.三角形有且只有一个内切圆
B.等腰三角形的内心一定在它底边的高上
C.三角形的内心不一定都在三角形的内部
D.若I是$△ ABC$的内心，则$AI$平分$∠ BAC$
C
）A.三角形有且只有一个内切圆
B.等腰三角形的内心一定在它底边的高上
C.三角形的内心不一定都在三角形的内部
D.若I是$△ ABC$的内心，则$AI$平分$∠ BAC$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道关于三角形内切圆与内心性质的正误判断题，解题时首先要明确三角形内心的定义（三角形三条内角角平分线的交点，是内切圆的圆心）、内切圆的基本特点，再结合等腰三角形的性质逐一分析每个选项，排查出错误说法即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析判断：
A. 三角形的内切圆圆心是唯一的内心，内切圆半径是内心到任意一边的距离，圆心和半径都唯一确定，因此三角形有且只有一个内切圆，说法正确，不符合题意。
B. 等腰三角形具有三线合一的性质，底边的高同时是顶角的角平分线，而内心是三条角平分线的交点，必然在顶角的角平分线上，因此等腰三角形的内心一定在它底边的高上，说法正确，不符合题意。
C. 三角形的三条内角角平分线全部在三角形内部，它们的交点（内心）也一定在三角形的内部，不存在内心在三角形外的情况，该说法错误，符合题意。
D. 三角形的内心是三个内角角平分线的交点，若I是△ABC的内心，则AI就是∠BAC的角平分线，即AI平分∠BAC，说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内切圆的概念；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查三角形内心和内切圆的相关性质，牢记核心定义和性质就能快速完成判断。
【难度系数】
0.85
这是一道关于三角形内切圆与内心性质的正误判断题，解题时首先要明确三角形内心的定义（三角形三条内角角平分线的交点，是内切圆的圆心）、内切圆的基本特点，再结合等腰三角形的性质逐一分析每个选项，排查出错误说法即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析判断：
A. 三角形的内切圆圆心是唯一的内心，内切圆半径是内心到任意一边的距离，圆心和半径都唯一确定，因此三角形有且只有一个内切圆，说法正确，不符合题意。
B. 等腰三角形具有三线合一的性质，底边的高同时是顶角的角平分线，而内心是三条角平分线的交点，必然在顶角的角平分线上，因此等腰三角形的内心一定在它底边的高上，说法正确，不符合题意。
C. 三角形的三条内角角平分线全部在三角形内部，它们的交点（内心）也一定在三角形的内部，不存在内心在三角形外的情况，该说法错误，符合题意。
D. 三角形的内心是三个内角角平分线的交点，若I是△ABC的内心，则AI就是∠BAC的角平分线，即AI平分∠BAC，说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内切圆的概念；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查三角形内心和内切圆的相关性质，牢记核心定义和性质就能快速完成判断。
【难度系数】
0.85
2.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，D，E，F是切点，$∠ A=50°$，$∠ C=60°$，则$∠ DOE=$（
A.$70°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
（第5题图）
B
）A.$70°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
（第5题图）
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：内切圆的圆心与切点的连线垂直于对应三角形的边。要求∠DOE，可先利用三角形内角和求出△ABC中∠B的度数，再结合切线的性质得到四边形ODBE中两个内角为直角，最后利用四边形内角和即可计算出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-60°=70°$
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点
∴$OE⊥ BC$，$OD⊥ AB$，即$∠ OEB=∠ ODB=90°$
∵四边形ODBE的内角和为$360°$
∴$∠ DOE=360°-∠ OEB-∠ ODB-∠ B=360°-90°-90°-70°=110°$
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，三角形内角和定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础常考题，重点考查切线性质和内角和公式的综合应用，熟练掌握内切圆切点与圆心连线垂直于三角形边的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：内切圆的圆心与切点的连线垂直于对应三角形的边。要求∠DOE，可先利用三角形内角和求出△ABC中∠B的度数，再结合切线的性质得到四边形ODBE中两个内角为直角，最后利用四边形内角和即可计算出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-60°=70°$
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点
∴$OE⊥ BC$，$OD⊥ AB$，即$∠ OEB=∠ ODB=90°$
∵四边形ODBE的内角和为$360°$
∴$∠ DOE=360°-∠ OEB-∠ ODB-∠ B=360°-90°-90°-70°=110°$
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，三角形内角和定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础常考题，重点考查切线性质和内角和公式的综合应用，熟练掌握内切圆切点与圆心连线垂直于三角形边的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步.问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步.问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少步？”正确答案是（
A.3步
B.5步
C.6步
D.8步
C
）A.3步
B.5步
C.6步
D.8步
答案
3.C
解析
【分析】
本题是求直角三角形内切圆直径的基础题，解题思路如下：首先根据已知的两条直角边长度，用勾股定理计算出斜边长度；再结合直角三角形内切圆半径与三边的关系求出半径，半径乘2即为内切圆直径，最后匹配对应选项即可。
【解析】
步骤1：计算直角三角形的斜边长度
根据勾股定理，直角三角形斜边$ c = \sqrt{勾^2 + 股^2} $，代入勾长8步、股长15步：
$ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
步骤2：计算内切圆半径
直角三角形内切圆半径公式为$ r=\frac{a+b-c}{2} $（$ a、b $为直角边，$ c $为斜边），代入数值：
$ r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3 $（步）
步骤3：计算内切圆直径
直径$ d = 2r = 2×3 = 6 $（步）
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆计算
【点评】
本题结合我国古代数学名著出题，既考查了基础几何计算能力，也能让学生感受中国古代数学的成就，解题核心是掌握直角三角形内切圆半径的计算方法，也可用面积法推导半径公式，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.7
本题是求直角三角形内切圆直径的基础题，解题思路如下：首先根据已知的两条直角边长度，用勾股定理计算出斜边长度；再结合直角三角形内切圆半径与三边的关系求出半径，半径乘2即为内切圆直径，最后匹配对应选项即可。
【解析】
步骤1：计算直角三角形的斜边长度
根据勾股定理，直角三角形斜边$ c = \sqrt{勾^2 + 股^2} $，代入勾长8步、股长15步：
$ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $（步）
步骤2：计算内切圆半径
直角三角形内切圆半径公式为$ r=\frac{a+b-c}{2} $（$ a、b $为直角边，$ c $为斜边），代入数值：
$ r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3 $（步）
步骤3：计算内切圆直径
直径$ d = 2r = 2×3 = 6 $（步）
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆计算
【点评】
本题结合我国古代数学名著出题，既考查了基础几何计算能力，也能让学生感受中国古代数学的成就，解题核心是掌握直角三角形内切圆半径的计算方法，也可用面积法推导半径公式，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$中,点$D$是$△ ABC$的内心,连结$DB$,$DC$,过点$D$作$EF // BC$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$.若$BE+CF=8$,则$EF$的长度为
8
.答案
4.8
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此可得BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线；再结合EF//BC的条件，利用平行线的内错角相等性质，进行角的等量代换，可推出△EBD和△FDC均为等腰三角形，得到ED=BE、DF=CF，最后通过线段和的关系即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴ED=BE，DF=CF，
∴EF=ED+DF=BE+CF。
又
∵BE+CF=8，
∴EF=8。
【答案】
8
【知识点】
三角形内心的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形判定的综合应用题型，解题的核心是通过角的等量转化得到等腰三角形，实现线段的等量代换，属于几何部分的基础常考题。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此可得BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线；再结合EF//BC的条件，利用平行线的内错角相等性质，进行角的等量代换，可推出△EBD和△FDC均为等腰三角形，得到ED=BE、DF=CF，最后通过线段和的关系即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴ED=BE，DF=CF，
∴EF=ED+DF=BE+CF。
又
∵BE+CF=8，
∴EF=8。
【答案】
8
【知识点】
三角形内心的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形判定的综合应用题型，解题的核心是通过角的等量转化得到等腰三角形，实现线段的等量代换，属于几何部分的基础常考题。
【难度系数】
0.75
5.如图，$\odot O$是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则$∠ EPF$的度数是
60°
。答案
5.60°
解析
【分析】
要求∠EPF的度数，观察可知∠EPF是⊙O中弧EF所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要求出弧EF所对的圆心角∠EOF的度数即可。首先利用切线的性质得到OE⊥AB、OF⊥BC，再结合等边三角形的内角为60°，通过四边形内角和计算出∠EOF的度数，最后用圆周角定理即可求出∠EPF。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°，
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
三角形内切圆的性质；圆周角定理；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是正确作出辅助线构造圆心角，结合切线性质、等边三角形性质和圆周角定理逐步推导，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要求∠EPF的度数，观察可知∠EPF是⊙O中弧EF所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要求出弧EF所对的圆心角∠EOF的度数即可。首先利用切线的性质得到OE⊥AB、OF⊥BC，再结合等边三角形的内角为60°，通过四边形内角和计算出∠EOF的度数，最后用圆周角定理即可求出∠EPF。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°，
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
三角形内切圆的性质；圆周角定理；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是正确作出辅助线构造圆心角，结合切线性质、等边三角形性质和圆周角定理逐步推导，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
6.如图，$∠ C=90°$，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，分别切$BC$，$AC$，$AB$于点$E$，$F$，$G$，连结$OE$，$OF$.$AO$的延长线交$BC$于点$D$，$AC=6$，$CD=2$.
（1）求$\odot O$的半径.
（2）求$AB$的长.
（1）求$\odot O$的半径.
（2）求$AB$的长.
答案
6.解:(1)由题意可得 EO//AC，
∴△DEO∽△DCA，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{EO}{AC}$，
设⊙O的半径为x，则$\frac{2-x}{2}=\frac{x}{6}$，
解得:x=1.5。
(2)
∵⊙O的半径为1.5,AC=6，
∴CF=1.5,AF=4.5,
∴AG=4.5，
设BG=BE=y，
∴在Rt△ACB中,$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴$6^2+(y+1.5)^2=(4.5+y)^2$，
解得:y=3,
∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5。
∴△DEO∽△DCA，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{EO}{AC}$，
设⊙O的半径为x，则$\frac{2-x}{2}=\frac{x}{6}$，
解得:x=1.5。
(2)
∵⊙O的半径为1.5,AC=6，
∴CF=1.5,AF=4.5,
∴AG=4.5，
设BG=BE=y，
∴在Rt△ACB中,$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴$6^2+(y+1.5)^2=(4.5+y)^2$，
解得:y=3,
∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5。
解析
【分析】
（1）首先根据三角形内切圆的性质可得OE⊥BC，结合∠C=90°可推出OE//AC，进而证明△DEO∽△DCA，再利用相似三角形对应边成比例的性质，设半径为未知数列方程即可求解。
（2）先根据切线长定理得到AF=AG、BG=BE、CF=CE=半径，再设BG=BE=y，用含y的代数式表示出BC和AB的长度，最后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求出y，即可得到AB的长。
【解析】
（1）
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC、AC于点E、F
∴OE⊥BC，又
∵∠C=90°，即AC⊥BC
∴OE//AC
∴△DEO∽△DCA
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{EO}{AC}$
设⊙O的半径为x，则EO=x，DE=CD-CE=2-x
代入得$\frac{2-x}{2}=\frac{x}{6}$
解得：$x=1.5$
即⊙O的半径为1.5。
（2）由切线长定理可得：CF=CE=1.5，AF=AG，BG=BE
∵AC=6，
∴AF=AC-CF=6-1.5=4.5，即AG=4.5
设BG=BE=y，则BC=CE+BE=1.5+y，AB=AG+BG=4.5+y
在Rt△ACB中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$
代入得：$6^2+(1.5+y)^2=(4.5+y)^2$
展开整理得：$36 + 2.25 + 3y + y^2 = 20.25 +9y + y^2$
解得：$y=3$
∴AB=4.5+3=7.5
【答案】
（1）$\boxed{1.5}$；（2）$\boxed{7.5}$
【知识点】
三角形内切圆性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题型，解题时结合平行线判定得到相似三角形，再利用切线长定理转化三角形边长，结合勾股定理列方程求解，核心是方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握内切圆相关性质和相似、勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据三角形内切圆的性质可得OE⊥BC，结合∠C=90°可推出OE//AC，进而证明△DEO∽△DCA，再利用相似三角形对应边成比例的性质，设半径为未知数列方程即可求解。
（2）先根据切线长定理得到AF=AG、BG=BE、CF=CE=半径，再设BG=BE=y，用含y的代数式表示出BC和AB的长度，最后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求出y，即可得到AB的长。
【解析】
（1）
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC、AC于点E、F
∴OE⊥BC，又
∵∠C=90°，即AC⊥BC
∴OE//AC
∴△DEO∽△DCA
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{EO}{AC}$
设⊙O的半径为x，则EO=x，DE=CD-CE=2-x
代入得$\frac{2-x}{2}=\frac{x}{6}$
解得：$x=1.5$
即⊙O的半径为1.5。
（2）由切线长定理可得：CF=CE=1.5，AF=AG，BG=BE
∵AC=6，
∴AF=AC-CF=6-1.5=4.5，即AG=4.5
设BG=BE=y，则BC=CE+BE=1.5+y，AB=AG+BG=4.5+y
在Rt△ACB中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$
代入得：$6^2+(1.5+y)^2=(4.5+y)^2$
展开整理得：$36 + 2.25 + 3y + y^2 = 20.25 +9y + y^2$
解得：$y=3$
∴AB=4.5+3=7.5
【答案】
（1）$\boxed{1.5}$；（2）$\boxed{7.5}$
【知识点】
三角形内切圆性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题型，解题时结合平行线判定得到相似三角形，再利用切线长定理转化三角形边长，结合勾股定理列方程求解，核心是方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握内切圆相关性质和相似、勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.7
