7. $x$的5倍与$x$的$\frac{1}{2}$的和等于6，可列方程为________

$5x+\frac{1}{2}x=6$

【分析】
解题时先拆解题目中的文字表述对应到数学运算：首先，“x的5倍”就是x乘5，可表示为5x；其次“x的$\frac{1}{2}$”就是x乘$\frac{1}{2}$，可表示为$\frac{1}{2}x$；“的和”说明要把前面两个代数式相加；“等于6”就是相加的结果为6，最后将各部分按等量关系组合即可得到方程。
【解析】
1. 根据“倍”的意义，x的5倍可写为代数式：$5x$；
2. 根据分数乘法的意义，x的$\frac{1}{2}$可写为代数式：$\frac{1}{2}x$；
3. 题目明确两个代数式的和等于6，因此可列方程：$5x+\frac{1}{2}x=6$。
【答案】
$5x+\frac{1}{2}x=6$
【知识点】
列一元一次方程；代数式表示数量关系
【点评】
本题属于基础题型，考查文字语言转化为数学表达式的能力，是列方程解决实际问题的基础技能，只要准确抓住“倍”“和”“等于”等关键词对应的运算关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.9

8. 三个连续奇数的和为15，则最小的奇数为。

8. 3

【分析】
首先明确题目已知条件：三个连续奇数的和为15，需求最小的奇数。解题时先回忆连续奇数的特征：相邻两个奇数的差值为2。我们可以设最小的奇数为未知数，根据差值表示出另外两个连续奇数，再根据三个数的和为15列出一元一次方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
设最小的奇数为$ x $，则另外两个连续奇数分别为$ x+2 $、$ x+4 $。
根据三个数的和为15，列方程得：
$ x + (x+2) + (x+4) = 15 $
合并同类项，得：
$ 3x + 6 = 15 $
移项计算，得：
$ 3x = 15 - 6 $
$ 3x = 9 $
系数化为1，得：
$ x = 3 $
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用；奇数的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对连续奇数特征的理解和一元一次方程的简单运用，掌握相邻奇数相差2的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9

9. 已知关于x的方程$x - 5 = -mx$有整数解，则正整数m的值为

9. 4

【分析】
本题是含参数的一元一次方程求参数值的问题，解题思路如下：首先把参数m当作已知数，按照一元一次方程的求解步骤，用含m的代数式表示出x的解；再根据“方程有整数解，m是正整数”的限制条件，可知x的分母1+m必须是5的正约数，结合m为正整数的要求筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
解：对原方程$x - 5 = -mx$进行整理：
1. 移项：将含x的项移到方程左边，常数项移到右边，得$x + mx = 5$
2. 合并同类项：提取公因式x，得$(1 + m)x = 5$
3. 系数化为1：得$x = \frac{5}{1 + m}$
∵ 方程的解x为整数，且m为正整数
∴ $1 + m$是5的正约数
5的正约数为1、5，分情况讨论：
① 当$1 + m = 1$时，解得$m = 0$，不符合正整数的要求，舍去；
② 当$1 + m = 5$时，解得$m = 4$，此时$x = \frac{5}{5} = 1$，是整数，符合题意。
综上，正整数m的值为4。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程解法、整数解条件应用
【点评】
本题考查含参数一元一次方程的整数解问题，核心是先将参数视为常数求解方程，再结合解的性质和参数的取值限制筛选结果，需注意不要遗漏参数的取值要求，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6

10. 已知某铁路桥长 1 600 m. 现有一列火车匀速从桥上通过，测得火车从车头上桥到车尾离桥共用 90 s，整列火车完全在桥上的时间是 70 s. 则这列火车长m.

10. 200

【分析】
解题时首先需要明确火车两种行驶状态对应的总路程：①火车从车头上桥到车尾离桥：行驶总路程=桥长+火车自身长度，因为车尾完全离开桥时，车头需要多行驶一个火车长度的距离；②整列火车完全在桥上：行驶总路程=桥长-火车自身长度，此时火车全部驶入桥内、未驶出桥，行驶路程是桥长减去火车长度。已知火车匀速行驶，两种状态下速度相等，结合速度=路程÷时间的公式，设火车长为未知数，列一元一次方程即可求解。
【解析】
设这列火车的长度为$ x $ m。
因为火车匀速行驶，两种状态下速度相等，可列方程：
$\frac{1600 + x}{90} = \frac{1600 - x}{70}$
两边同时乘以6300消去分母：
$70(1600 + x) = 90(1600 - x)$
展开括号得：
$112000 + 70x = 144000 - 90x$
移项、合并同类项得：
$160x = 32000$
系数化为1得：
$x = 200$
【答案】
200
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、速度计算公式
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题核心是准确区分两种火车过桥场景下的行驶总路程，结合匀速运动速度不变的特点建立等量关系，能够有效考察学生分析实际问题、列方程求解的能力。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11. 解下列方程：
(1) $5x - 2 = 7x + 8$；
(2) $4 - 3(2 - x) = 5x$；
(3) $\frac{5x + 4}{3} + \frac{x - 1}{4} = 2 - \frac{5x - 3}{12}$；
(4) $x - 2 = \frac{x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2}$。

11. (1) $x=-5$
(2) $x=-1$
(3) $x=\frac{1}{2}$
(4) $x=\frac{4}{7}$

【分析】
解一元一次方程的通用步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时可根据方程特征选择对应步骤：
(1) 方程不含分母和括号，直接移项合并计算即可；
(2) 方程含括号，先去括号再移项合并计算；
(3)(4) 方程含分母，先两边同乘分母的最小公倍数去分母（注意不要漏乘不含分母的项），再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可，去括号、移项时需注意符号变化。
【解析】
(1) $5x - 2 = 7x + 8$
移项，得：$5x - 7x = 8 + 2$
合并同类项，得：$-2x = 10$
系数化为1，得：$x = -5$
(2) $4 - 3(2 - x) = 5x$
去括号，得：$4 - 6 + 3x = 5x$
移项，得：$3x - 5x = 6 - 4$
合并同类项，得：$-2x = 2$
系数化为1，得：$x = -1$
(3) $\frac{5x + 4}{3} + \frac{x - 1}{4} = 2 - \frac{5x - 3}{12}$
两边同乘12去分母，得：$4(5x + 4) + 3(x - 1) = 24 - (5x - 3)$
去括号，得：$20x + 16 + 3x - 3 = 24 - 5x + 3$
移项，得：$20x + 3x + 5x = 24 + 3 - 16 + 3$
合并同类项，得：$28x = 14$
系数化为1，得：$x = \frac{1}{2}$
(4) $x - 2 = \frac{x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2}$
两边同乘6去分母，得：$6x - 12 = 2(x - 1) - 3(x + 2)$
去括号，得：$6x - 12 = 2x - 2 - 3x - 6$
移项，得：$6x - 2x + 3x = -2 - 6 + 12$
合并同类项，得：$7x = 4$
系数化为1，得：$x = \frac{4}{7}$
【答案】
(1) $x=-5$；(2) $x=-1$；(3) $x=\frac{1}{2}$；(4) $x=\frac{4}{7}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 等式的基本性质 3. 去括号法则
【点评】
本题考查一元一次方程的常规解法，覆盖了一元一次方程的常见形式，解题的关键是严格遵循解题步骤，注意规避去分母漏乘常数项、去括号/移项符号错误等常见易错点，多练习即可熟练掌握。
【难度系数】
0.7

12. (1)若$A=2x^2 - x + 3$，$B=x^2 + 3x - 1$，其中$x=-3$，求$A+3B$的值；
(2)若关于$x$的两个一元一次方程$6 - 3(x + m)=0$和$4x + 2n=5x - 1$的解互为相反数，求$2m - 4n - 6$的值。

12. (1)$A+3B=2x^2-x+3+3(x^2+3x-1)=5x^2+8x$；当$x=-3$时，原式$=5×(-3)^2+8×(-3)=21$.
(2)解方程$6-3(x+m)=0$，得$x=2-m$；解方程$4x+2n=5x-1$，得$x=2n+1$. 依题意得$2-m+2n+1=0$，则$m-2n=3$，所以$2m-4n-6=2(m-2n)-6=6-6=0$.

【分析】
(1) 本题为整式化简求值问题，解题思路为：先将A、B的表达式代入A+3B，通过去括号、合并同类项将整式化为最简形式，再代入x的值计算，该方法比直接代入x计算A、B再求和更简便，可减少计算错误。
(2) 本题是一元一次方程与相反数性质结合的求值题，解题思路为：先分别解两个关于x的一元一次方程，用含m、n的代数式表示出两个方程的解；再根据“两个解互为相反数”可知两个解的和为0，推导得到m与n的数量关系；最后将待求代数式变形，整体代入m与n的关系式即可求出结果，无需单独求解m、n的具体值，用整体代入法可简化运算。
【解析】
(1) 先化简$A+3B$：
将$A=2x^2 - x + 3$，$B=x^2 + 3x - 1$代入得：
$\begin{aligned}A+3B&=2x^2 - x + 3 + 3(x^2 + 3x - 1)\\&=2x^2 - x + 3 + 3x^2 + 9x - 3\\&=5x^2 + 8x\end{aligned}$
将$x=-3$代入化简后的式子：
原式$=5×(-3)^2 + 8×(-3) = 45 - 24 = 21$
(2) 分别求解两个一元一次方程：
① 解方程$6 - 3(x + m)=0$：
去括号得$6 - 3x - 3m = 0$，移项得$-3x = 3m - 6$，系数化为1得$x = 2 - m$。
② 解方程$4x + 2n = 5x - 1$：
移项得$4x - 5x = -1 - 2n$，合并同类项得$-x = -1 - 2n$，系数化为1得$x = 2n + 1$。
因为两个方程的解互为相反数，所以两解之和为0：
$\begin{aligned}(2 - m) + (2n + 1) &= 0\\3 - m + 2n &= 0\\m - 2n &= 3\end{aligned}$
将待求式变形后整体代入：
$2m - 4n - 6 = 2(m - 2n) - 6$，把$m - 2n = 3$代入得：$2×3 - 6 = 0$。
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
整式化简求值、解一元一次方程、相反数的性质
【点评】
本题是整式运算与一元一次方程的基础综合题，第一小问侧重考查整式运算的基本规则，先化简再求值的思路能有效降低计算量；第二小问结合相反数的性质，考查了整体代入的数学思想，能锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7

13. 机器人H1接到一项紧急任务：在4 h内处理完1 000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行. H1有两种工作模式：常规模式下每小时能处理200条数据，增强模式下每小时能处理300条数据. 为了优化能耗，工程师让H1先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式. 最终H1刚好用了4 h完成全部任务. 问：机器人H1在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？

13. 设机器人H1在常规模式工作了x h，则在增强模式下工作了$(4-x)$h. 由题意得，$200x+300(4-x)=1\ 000$，解得$x=2$. 则$4-x=2$，所以机器人H1在常规模式下工作了2 h，在增强模式下工作了2 h.

【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时先梳理题目已知条件：总工作时长为4h，总需处理数据1000条，常规模式效率为200条/小时，增强模式效率为300条/小时。解题思路为：①设其中一种模式的工作时长为未知数，根据总时长可表示出另一种模式的工作时长；②找到核心等量关系：常规模式处理数据总量+增强模式处理数据总量=总数据量1000条；③结合“工作总量=工作效率×工作时间”分别表示两种模式的处理量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
设机器人H1在常规模式工作了$x\ \mathrm{h}$，则在增强模式下工作了$(4-x)\ \mathrm{h}$。
根据两种模式处理数据的总条数为1000条，列方程得：
$200x + 300(4-x) = 1000$
展开括号得：$200x + 1200 - 300x = 1000$
移项、合并同类项得：$-100x = -200$
解得：$x=2$
则增强模式工作时长为$4 - x = 4 - 2 = 2\ (\mathrm{h})$
【答案】
机器人H1在常规模式下工作了2 h，在增强模式下工作了2 h。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题属于基础的方案选择类应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，结合工作总量的计算公式列方程求解，能有效考查学生读题分析、将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8