登录
14. 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路，走普通公路比高速公路的路程多 60 km. 这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电 20 kW·h，在高速公路上行驶比在普通公路上行驶平均每百公里耗电增加 20%，该车选择的充电站充电综合电费均为每千瓦时 1.5 元. 最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少 15 元，求返回时所走高速公路的路程.
答案
14. 设所走高速公路的路程为x km，则普通公路的路程为$(x+60)$km，根据题意得$\frac{x}{100}×20×(1+20\%)×1.5-\frac{x+60}{100}×20×1.5=15$，解得$x=550$. 所以所走高速公路的路程为550 km.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时先明确所求为高速公路的路程，可直接设其为未知数$x\ \mathrm{km}$，进而表示出普通公路的路程。接下来分别计算走高速公路和普通公路的总电费：总电费=行驶路程对应的耗电量×每千瓦时电费，其中耗电量要结合每百公里耗电量换算，高速的每百公里耗电需根据普通公路的耗电及增长的百分数求出。最后根据“普通公路的电费比高速公路的电费少15元”这一关键等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设返回时所走高速公路的路程为$x\ \mathrm{km}$，则去时走的普通公路的路程为$(x+60)\ \mathrm{km}$。
高速行驶总电费：高速每百公里耗电量为$20×(1+20\%)\ \mathrm{kW·h}$，总电费为$\frac{x}{100}×20×(1+20\%)×1.5$元；
普通公路行驶总电费：总电费为$\frac{x+60}{100}×20×1.5$元；
根据普通公路电费比高速电费少15元，列方程：
$\frac{x}{100}×20×(1+20\%)×1.5-\frac{x+60}{100}×20×1.5=15$
化简方程：
左边$=0.36x - 0.3(x+60)=0.06x - 18$
即$0.06x - 18=15$
移项得$0.06x=33$
解得$x=550$，经检验符合题意。
【答案】
返回时所走高速公路的路程为550 km
【知识点】
一元一次方程的应用；百分数的实际应用
【点评】
本题属于行程费用类的方程应用题，解题核心是准确找到两种行驶方式电费的数量关系，计算过程中要注意百公里耗电量到实际路程耗电量的单位换算，以及增长20%的正确运算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时先明确所求为高速公路的路程，可直接设其为未知数$x\ \mathrm{km}$，进而表示出普通公路的路程。接下来分别计算走高速公路和普通公路的总电费：总电费=行驶路程对应的耗电量×每千瓦时电费，其中耗电量要结合每百公里耗电量换算，高速的每百公里耗电需根据普通公路的耗电及增长的百分数求出。最后根据“普通公路的电费比高速公路的电费少15元”这一关键等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设返回时所走高速公路的路程为$x\ \mathrm{km}$，则去时走的普通公路的路程为$(x+60)\ \mathrm{km}$。
高速行驶总电费：高速每百公里耗电量为$20×(1+20\%)\ \mathrm{kW·h}$，总电费为$\frac{x}{100}×20×(1+20\%)×1.5$元；
普通公路行驶总电费：总电费为$\frac{x+60}{100}×20×1.5$元；
根据普通公路电费比高速电费少15元，列方程：
$\frac{x}{100}×20×(1+20\%)×1.5-\frac{x+60}{100}×20×1.5=15$
化简方程：
左边$=0.36x - 0.3(x+60)=0.06x - 18$
即$0.06x - 18=15$
移项得$0.06x=33$
解得$x=550$，经检验符合题意。
【答案】
返回时所走高速公路的路程为550 km
【知识点】
一元一次方程的应用；百分数的实际应用
【点评】
本题属于行程费用类的方程应用题，解题核心是准确找到两种行驶方式电费的数量关系，计算过程中要注意百公里耗电量到实际路程耗电量的单位换算，以及增长20%的正确运算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
15. 某超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如下表：
(1)以上表格中$m=$
(2)若该超市同时购进的甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件.
(3)春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：
小华的爸爸一次性购买甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元，求出小华的爸爸的购买方案.
(1)以上表格中$m=$
75
，$n=$50
.(2)若该超市同时购进的甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件.
(3)春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：
小华的爸爸一次性购买甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元，求出小华的爸爸的购买方案.
答案
15. (1)75，50
(2)设购进乙种商品x件，则购进甲种商品$(2x-10)$件. 依题意得$(60-40)(2x-10)+(75-50)x=3\ 050$，解得$x=50$，$2x-10=90$. 所以购进甲种商品90件，乙种商品50件.
(3)设购买甲种商品y件，则购买乙种商品$(40-y)$件. 当$0＜y＜15$时，$60y+75×0.8(40-y)=2\ 400≠2\ 280$，不符合题意，舍去；当$y=15$时，$60×0.85×15+75×0.8×(40-15)=2\ 265≠2\ 280$，不符合题意，舍去；当$15＜y＜25$时，$60×0.85y+75×0.88(40-y)=2\ 280$，解得$y=24$，$40-y=16$，符合题意；当$y≥25$时，$60×0.85y+75(40-y)=2\ 280$，解得$y=30$，$40-y=10$，符合题意. 所以小华的爸爸共有2种购买方案，方案一：购买甲种商品24件，乙种商品16件；方案二：购买甲种商品30件，乙种商品10件.
(2)设购进乙种商品x件，则购进甲种商品$(2x-10)$件. 依题意得$(60-40)(2x-10)+(75-50)x=3\ 050$，解得$x=50$，$2x-10=90$. 所以购进甲种商品90件，乙种商品50件.
(3)设购买甲种商品y件，则购买乙种商品$(40-y)$件. 当$0＜y＜15$时，$60y+75×0.8(40-y)=2\ 400≠2\ 280$，不符合题意，舍去；当$y=15$时，$60×0.85×15+75×0.8×(40-15)=2\ 265≠2\ 280$，不符合题意，舍去；当$15＜y＜25$时，$60×0.85y+75×0.88(40-y)=2\ 280$，解得$y=24$，$40-y=16$，符合题意；当$y≥25$时，$60×0.85y+75(40-y)=2\ 280$，解得$y=30$，$40-y=10$，符合题意. 所以小华的爸爸共有2种购买方案，方案一：购买甲种商品24件，乙种商品16件；方案二：购买甲种商品30件，乙种商品10件.
解析
【分析】
第(1)问根据表格给出的乙商品进价、利润率或售价相关关联信息，利用售价、进价的数量关系即可直接算出m和n的值；
第(2)问属于销售利润问题，核心公式为总利润=单件利润×销售数量，先设乙商品购进数量为x，用含x的式子表示甲商品的购进数量，再结合总获利3050元的条件列一元一次方程求解即可；
第(3)问属于优惠方案选择问题，由于甲、乙商品的折扣和购买数量挂钩，因此需要根据甲商品的购买数量划分不同的优惠区间，在每个区间内分别根据实付款金额列方程，求解后检验解是否符合对应区间的取值要求，符合条件的即为有效购买方案。
【解析】
(1) 根据表格信息直接计算可得$m=75$，$n=50$。
(2) 设购进乙种商品$x$件，则购进甲种商品$(2x-10)$件。
甲单件利润为$60-40=20$元，乙单件利润为$75-50=25$元，依题意列方程：
$20(2x-10)+25x=3050$
展开得：$40x-200+25x=3050$
合并同类项得：$65x=3250$
解得$x=50$，则甲商品数量为$2×50-10=90$件。
(3) 设购买甲种商品$y$件，则购买乙种商品$(40-y)$件，分情况讨论：
① 当$0＜y＜15$时，甲不打折，乙打8折，实付款为：
$60y+75×0.8(40-y)=2400≠2280$，不符合题意，舍去；
② 当$y=15$时，甲打85折，乙打8折，实付款为：
$60×0.85×15+75×0.8×(40-15)=2265≠2280$，不符合题意，舍去；
③ 当$15＜y＜25$时，甲打85折，乙打8.8折，依题意列方程：
$60×0.85y+75×0.88(40-y)=2280$
计算得：$51y+2640-66y=2280$
解得$y=24$，符合$15＜24＜25$，此时$40-y=16$；
④ 当$y≥25$时，甲打85折，乙不打折，依题意列方程：
$60×0.85y+75(40-y)=2280$
计算得：$51y+3000-75y=2280$
解得$y=30$，符合$30≥25$，此时$40-y=10$。
【答案】
(1)$75$，$50$
(2)购进甲种商品90件，乙种商品50件
(3)共有2种购买方案：方案一：购买甲种商品24件，乙种商品16件；方案二：购买甲种商品30件，乙种商品10件
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合超市促销的实际生活场景，综合考查一元一次方程的实际应用能力，前两问较为基础，第三问的难点在于根据优惠规则合理划分讨论区间，同时需要注意检验方程的解是否符合对应区间的要求，能有效锻炼逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问根据表格给出的乙商品进价、利润率或售价相关关联信息，利用售价、进价的数量关系即可直接算出m和n的值；
第(2)问属于销售利润问题，核心公式为总利润=单件利润×销售数量，先设乙商品购进数量为x，用含x的式子表示甲商品的购进数量，再结合总获利3050元的条件列一元一次方程求解即可；
第(3)问属于优惠方案选择问题，由于甲、乙商品的折扣和购买数量挂钩，因此需要根据甲商品的购买数量划分不同的优惠区间，在每个区间内分别根据实付款金额列方程，求解后检验解是否符合对应区间的取值要求，符合条件的即为有效购买方案。
【解析】
(1) 根据表格信息直接计算可得$m=75$，$n=50$。
(2) 设购进乙种商品$x$件，则购进甲种商品$(2x-10)$件。
甲单件利润为$60-40=20$元，乙单件利润为$75-50=25$元，依题意列方程：
$20(2x-10)+25x=3050$
展开得：$40x-200+25x=3050$
合并同类项得：$65x=3250$
解得$x=50$，则甲商品数量为$2×50-10=90$件。
(3) 设购买甲种商品$y$件，则购买乙种商品$(40-y)$件，分情况讨论：
① 当$0＜y＜15$时，甲不打折，乙打8折，实付款为：
$60y+75×0.8(40-y)=2400≠2280$，不符合题意，舍去；
② 当$y=15$时，甲打85折，乙打8折，实付款为：
$60×0.85×15+75×0.8×(40-15)=2265≠2280$，不符合题意，舍去；
③ 当$15＜y＜25$时，甲打85折，乙打8.8折，依题意列方程：
$60×0.85y+75×0.88(40-y)=2280$
计算得：$51y+2640-66y=2280$
解得$y=24$，符合$15＜24＜25$，此时$40-y=16$；
④ 当$y≥25$时，甲打85折，乙不打折，依题意列方程：
$60×0.85y+75(40-y)=2280$
计算得：$51y+3000-75y=2280$
解得$y=30$，符合$30≥25$，此时$40-y=10$。
【答案】
(1)$75$，$50$
(2)购进甲种商品90件，乙种商品50件
(3)共有2种购买方案：方案一：购买甲种商品24件，乙种商品16件；方案二：购买甲种商品30件，乙种商品10件
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合超市促销的实际生活场景，综合考查一元一次方程的实际应用能力，前两问较为基础，第三问的难点在于根据优惠规则合理划分讨论区间，同时需要注意检验方程的解是否符合对应区间的要求，能有效锻炼逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
