3. 若$ m=n $，则下列等式正确的是().

A.$ m+1=n+2 $
B.$ 2m=3n $
C.$ -2m+4=-2n+4 $
D.$ \frac{m}{n}=1 $

3. C

【分析】
这道题考查等式的性质的应用，解题思路是：先回忆等式的两个基本性质，再结合已知条件$m=n$，逐一验证每个选项是否符合等式的性质，同时注意等式两边除以同一个数时，这个数不能为0的限制条件，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：根据等式性质1，等式两边应加上（或减去）同一个数，等式才仍然成立。该选项左边加1，右边加2，加的数不相同，变形错误，故A不符合题意。
2. 分析选项B：根据等式性质2，等式两边应乘同一个数，等式才仍然成立。该选项左边乘2，右边乘3，乘的数不相同，变形错误，故B不符合题意。
3. 分析选项C：先根据等式性质2，将$m=n$两边同时乘$-2$，可得$-2m=-2n$；再根据等式性质1，两边同时加4，可得$-2m+4=-2n+4$，变形正确，故C符合题意。
4. 分析选项D：根据等式性质2，等式两边除以同一个数时，这个数不能为0。当$m=n=0$时，分母$n$为0，$\frac{m}{n}$无意义，变形不成立，故D不符合题意。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质、分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等式的性质，尤其要注意等式两边同时除以一个数时，必须保证这个数不为0，避免忽略0的特殊情况选错答案。
【难度系数】
0.8

4. 若代数式$x+3$的值为2，则$x=$().

A.1
B.-1
C.5
D.-5

4. B

【分析】
首先根据题目中“代数式$x+3$的值为2”的条件，可列出对应的一元一次方程，再利用等式的性质1：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，即可求出$x$的数值。
【解析】
根据题意列方程：$\boldsymbol{x + 3 = 2}$
根据等式的性质1，等式两边同时减去3，得：
$x + 3 - 3 = 2 - 3$
计算后得到：$x = -1$
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考察等式性质的简单应用，解题关键是先根据题意准确列出方程，再直接运用等式性质计算即可。
【难度系数】
0.9

5. 根据等式的性质填空：
(1)如果$x-5=2$，那么$x=2+$；
(2)如果$4x=3x+1$，那么$4x-$$=1$；
(3)如果$\frac{1}{2}x=1$，那么$· x=8$；
(4)如果$-\frac{2}{3}x=5$，那么$2x=$。

5. (1) 5 (2) 3x (3) 4 (4) -15

【分析】
解题需运用等式的两条基本性质：①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。每道题先观察等式单侧的变化目标，对应给等式另一侧做相同运算即可：
(1) 左边原式为$x-5$，要得到$x$需要加5，根据性质1，右边也要加5；
(2) 右边原式为$3x+1$，要得到1需要减$3x$，根据性质1，左边也要减$3x$；
(3) 先对$\frac{1}{2}x=1$变形求出$x$的值，再代入$a· x=8$即可求出系数；
(4) 左边原式为$-\frac{2}{3}x$，要得到$2x$需要乘$-3$，根据性质2，右边5也要乘$-3$得到结果。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，等式两边同时加5，得$x-5+5=2+5$，即$x=2+5$，故填5；
(2) 根据等式的性质1，等式两边同时减$3x$，得$4x-3x=3x+1-3x$，即$4x-3x=1$，故填$3x$；
(3) 对$\frac{1}{2}x=1$两边同时乘2，得$x=2$。设所求数为$a$，即$a· x=8$，将$x=2$代入得$2a=8$，解得$a=4$，故填4；
(4) 根据等式的性质2，等式$-\frac{2}{3}x=5$两边同时乘$-3$，得$(-\frac{2}{3}x)×(-3)=5×(-3)$，即$2x=-15$，故填$-15$。
【答案】
(1)5；(2)3x；(3)4；(4)-15
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是牢记等式变形时两边需同时进行相同的运算，避免出现仅单边运算的错误，熟练掌握该知识点是后续学习解方程的重要基础。
【难度系数】
0.8

6. (1)在等式$3x+5=8$的两边都得$3x=3$，依据是；
(2)在等式$x=1-2x$的两边都得$3x=1$，依据是；
(3)在等式$-3x=\frac{1}{5}$的两边都得$x=-\frac{1}{15}$，依据是；
(4)在等式$\frac{x}{3}-\frac{1}{4}=x$的两边都得$4x-3=12x$，依据是。

6. (1) 减去5 等式的性质1 (2) 加上$2x$ 等式的性质1 (3) 除以$-3$ 等式的性质2 (4) 乘12 等式的性质2

【分析】
解题首先要明确等式的两个基本性质：等式性质1是等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；等式性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。每一问只需对比变形前后等式左右两边的变化，确定实施的运算，再匹配对应的等式性质即可：
（1）原等式$3x+5=8$变形为$3x=3$，左边少了$+5$，说明两边同时减5，对应等式性质1；
（2）原等式$x=1-2x$变形为$3x=1$，右边的$-2x$消失、左边多了$+2x$，说明两边同时加$2x$，对应等式性质1；
（3）原等式$-3x=\frac{1}{5}$变形为$x=-\frac{1}{15}$，左边系数从$-3$变为$1$，说明两边同时除以$-3$，对应等式性质2；
（4）原等式$\frac{x}{3}-\frac{1}{4}=x$变形为$4x-3=12x$，分母全部消去，3和4的最小公倍数是12，说明两边同时乘12，对应等式性质2。
【解析】
(1) 对比变形前后的等式，左边从$3x+5$变为$3x$，可知是在等式两边同时减去5，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
(2) 对比变形前后的等式，右边从$1-2x$变为$1$，左边从$x$变为$3x$，可知是在等式两边同时加上$2x$，依据是等式的性质1。
(3) 对比变形前后的等式，左边从$-3x$变为$x$，可知是在等式两边同时除以$-3$（或乘$-\frac{1}{3}$），依据是等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
(4) 对比变形前后的等式，原等式分母为3和4，变形后所有项分母均消去，可知是在等式两边同时乘3和4的最小公倍数12，依据是等式的性质2。
【答案】
(1) 减去5 等式的性质1
(2) 加上$2x$ 等式的性质1
(3) 除以$-3$ 等式的性质2
(4) 乘12 等式的性质2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；等式的变形
【点评】
本题是基础概念应用题，核心要区分等式两个性质的适用场景：加减类变形用性质1，乘除类变形用性质2，涉及去分母的变形要注意找对所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.8

1. 下列利用等式的基本性质变形，错误的是().

A.如果$-2x=-2y$，那么$x=y$
B.如果$x^2=5x$，那么$x=5$
C.如果$a=b$，那么$a-6=b-6$
D.如果$\frac{3a+1}{π}=\frac{3b+1}{π}$，那么$a=b$

1. B

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，尤其注意等式两边同时除以同一个数时，该数不能为0的限制，避免判断失误。
【解析】
先回顾等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
接下来逐个分析选项：
A选项：若$-2x=-2y$，等式两边同时除以不为0的数$-2$，可得$x=y$，变形正确，不符合题意。
B选项：若$x^2=5x$，如果要在等式两边同时除以x，必须保证x不为0，但当x=0时，左边$0^2=0$，右边$5×0=0$，等式也成立，因此x的取值可以是0或5，直接变形得到$x=5$是错误的，符合题意。
C选项：若$a=b$，等式两边同时减6，可得$a-6=b-6$，符合等式性质1，变形正确，不符合题意。
D选项：若$\frac{3a+1}{π}=\frac{3b+1}{π}$，等式两边同时乘不为0的数$π$，得$3a+1=3b+1$；两边同时减1得$3a=3b$；再同时除以3得$a=b$，变形正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 等式变形的限制条件
【点评】
本题属于等式性质的基础考查题，易错点是在对含未知数的等式变形时，忽略除以的式子可能为0的情况，导致判断错误，掌握等式性质的适用前提是解题关键。
【难度系数】
0.7

2. 已知数$a$，$b$，$c$满足$a-1=b$，$\frac{b}{2}=c-2$，则$a$与$c$的关系是().

A.$a=2c+3$
B.$a=2c-3$
C.$a=\frac{1}{2}c+3$
D.$a=\frac{1}{2}c-3$

2. B

【分析】
本题需要推导a与c的关系，已知的两个等式中都含有中间量b，解题思路是利用等式的性质分别把b用含a的式子和含c的式子表示出来，再让两个式子相等，消去b，经过化简就能得到a和c的关系。
【解析】
步骤1：由第一个等式$a-1=b$，可得$b=a-1$；
步骤2：对第二个等式$\frac{b}{2}=c-2$，根据等式的性质，两边同时乘2，得$b=2(c-2)$，化简得$b=2c-4$；
步骤3：因为两个式子都等于b，所以联立得$a-1=2c-4$，根据等式的性质，两边同时加1，得$a=2c-4+1$，即$a=2c-3$。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；代数式化简；消元法
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，核心是通过消去中间量建立两个目标变量的关系，熟练掌握等式变形规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 已知$x=5$是关于$x$的方程$1+(k-\dfrac{1}{2026})x=2$的解，则$3+20(\dfrac{1}{2026}-k)=$

3. -1

【分析】
解题时首先利用“方程的解满足方程”这一性质，将x=5代入原方程，可求出$(k-\dfrac{1}{2026})$的值；观察待求式中含有$(\dfrac{1}{2026}-k)$，它是$(k-\dfrac{1}{2026})$的相反数，因此不需要计算k的具体数值，直接整体代入待求式即可求出结果，能简化计算过程。
【解析】
第一步：将$x=5$代入方程$1+(k-\dfrac{1}{2026})x=2$，得：
$1 + 5×(k-\dfrac{1}{2026}) = 2$
第二步：根据等式的性质计算$(k-\dfrac{1}{2026})$的值：
移项得$5×(k-\dfrac{1}{2026}) = 2 - 1 = 1$
两边同时除以5，得$k-\dfrac{1}{2026} = \dfrac{1}{5}$
因此可得$\dfrac{1}{2026} - k = -\dfrac{1}{5}$
第三步：将$\dfrac{1}{2026} - k = -\dfrac{1}{5}$代入待求式计算：
$3+20(\dfrac{1}{2026}-k) = 3 + 20×(-\dfrac{1}{5}) = 3 - 4 = -1$
【答案】
-1
【知识点】
方程的解的定义、整体代入求值、等式的性质
【点评】
本题考查方程解的应用，解题时不需要求出参数的具体数值，运用整体代入的思想可以大幅简化计算过程，属于整式求值类的基础常考题。
【难度系数】
0.7