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6. 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是(
A.$∠1=90°+∠3$
B.$∠1=180°−∠3$
C.$∠1=180°+∠3$
D.$∠1=∠3$
A
).A.$∠1=90°+∠3$
B.$∠1=180°−∠3$
C.$∠1=180°+∠3$
D.$∠1=∠3$
答案
6. A
解析
【分析】
解题时首先回忆余角和补角的定义：如果两个角的和为180°，则这两个角互补；如果两个角的和为90°，则这两个角互余。我们可以根据已知的两组角的关系分别列出等式，再通过代入消去公共角∠2，就能推导出∠1和∠3的数量关系，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互补，根据补角的定义
∴∠1 + ∠2 = 180°，变形得$∠ 2=180°-∠ 1$ ①
又
∵∠2与∠3互余，根据余角的定义
∴∠2 + ∠3 = 90° ②
将①代入②得：$(180°-∠ 1)+∠ 3=90°$
整理等式：
$180°-∠ 1+∠ 3=90°$
移项得：$∠ 1=180°+∠ 3-90°$
即$∠ 1=90°+∠ 3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角的和差运算
【点评】
本题核心是对余角、补角概念的理解与运用，通过建立角之间的等量关系，代入消元即可得出所求角的关系，掌握基础定义是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角和补角的定义：如果两个角的和为180°，则这两个角互补；如果两个角的和为90°，则这两个角互余。我们可以根据已知的两组角的关系分别列出等式，再通过代入消去公共角∠2，就能推导出∠1和∠3的数量关系，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互补，根据补角的定义
∴∠1 + ∠2 = 180°，变形得$∠ 2=180°-∠ 1$ ①
又
∵∠2与∠3互余，根据余角的定义
∴∠2 + ∠3 = 90° ②
将①代入②得：$(180°-∠ 1)+∠ 3=90°$
整理等式：
$180°-∠ 1+∠ 3=90°$
移项得：$∠ 1=180°+∠ 3-90°$
即$∠ 1=90°+∠ 3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角的和差运算
【点评】
本题核心是对余角、补角概念的理解与运用，通过建立角之间的等量关系，代入消元即可得出所求角的关系，掌握基础定义是解题的前提。
【难度系数】
0.8
7. 如图，C是线段AB上一点，D是线段BC的中点. 若AD=7，BC=4，则AB=
9
.答案
7. 9
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先根据“D是线段BC的中点”，结合线段中点的定义，可求出DB的长度；再观察线段AB的组成，AB可拆分为AD与DB的和，代入已知的AD长度和求出的DB长度，即可计算得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ D是线段BC的中点，BC=4
∴ $ DB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $
又
∵ AD=7，且AB=AD+DB
∴ AB=7+2=9
【答案】
9
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题考查线段相关的基础计算，解题的关键是准确把握线段中点的性质，理清各线段之间的和差关系，是线段计算的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件出发，首先根据“D是线段BC的中点”，结合线段中点的定义，可求出DB的长度；再观察线段AB的组成，AB可拆分为AD与DB的和，代入已知的AD长度和求出的DB长度，即可计算得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ D是线段BC的中点，BC=4
∴ $ DB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $
又
∵ AD=7，且AB=AD+DB
∴ AB=7+2=9
【答案】
9
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题考查线段相关的基础计算，解题的关键是准确把握线段中点的性质，理清各线段之间的和差关系，是线段计算的典型基础题。
【难度系数】
0.9
8. 如图，$∠ AOB$是直角，$∠ AOC=40°$，$OD$平分$∠ COB$，则$∠ AOD=$
65
°答案
8. 65
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：∠AOB为直角即90°，已知∠AOC=40°，第一步先利用角的差运算求出∠COB的度数；第二步根据OD平分∠COB的条件，结合角平分线的定义算出∠COD的度数；最后∠AOD是∠AOC与∠COD的和，将两个角度相加即可得到所求角度。
【解析】
解：
∵∠AOB是直角
∴∠AOB=90°
∵∠AOC=40°
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=90°-40°=50°
∵OD平分∠COB
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×50°=25°
∴∠AOD=∠AOC + ∠COD=40°+25°=65°
【答案】
65
【知识点】
直角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查角的和差运算与角平分线的性质，解题关键是理清图中各个角之间的数量关系，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：∠AOB为直角即90°，已知∠AOC=40°，第一步先利用角的差运算求出∠COB的度数；第二步根据OD平分∠COB的条件，结合角平分线的定义算出∠COD的度数；最后∠AOD是∠AOC与∠COD的和，将两个角度相加即可得到所求角度。
【解析】
解：
∵∠AOB是直角
∴∠AOB=90°
∵∠AOC=40°
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=90°-40°=50°
∵OD平分∠COB
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×50°=25°
∴∠AOD=∠AOC + ∠COD=40°+25°=65°
【答案】
65
【知识点】
直角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查角的和差运算与角平分线的性质，解题关键是理清图中各个角之间的数量关系，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
9. 如图，已知线段$AD=16$，线段$BC=8$，点$E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点，则线段$EF$的长为
12
。答案
9. 12
解析
【分析】
要求线段EF的长度，首先观察线段组成：EF=EB+BC+CF。已知AD和BC的长度，可先求出AB与CD的长度和；再结合E、F分别是AB、CD的中点，得到EB、CF分别是AB、CD的一半，进而求出EB+CF的和；最后将EB+CF的和与BC的长度相加，即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵ 线段AD=16，BC=8
∴ AB + CD = AD - BC = 16 - 8 = 8
∵ E是AB的中点，
∴ EB = $\frac{1}{2}$AB
∵ F是CD的中点，
∴ CF = $\frac{1}{2}$CD
∴ EB + CF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) = $\frac{1}{2}$×8 = 4
又
∵ EF = EB + BC + CF
∴ EF = 4 + 8 = 12
【答案】
12
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，解题的核心是利用整体思想计算EB与CF的和，无需单独求解AB、CD的长度，简化了运算过程，考查了对线段性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要求线段EF的长度，首先观察线段组成：EF=EB+BC+CF。已知AD和BC的长度，可先求出AB与CD的长度和；再结合E、F分别是AB、CD的中点，得到EB、CF分别是AB、CD的一半，进而求出EB+CF的和；最后将EB+CF的和与BC的长度相加，即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵ 线段AD=16，BC=8
∴ AB + CD = AD - BC = 16 - 8 = 8
∵ E是AB的中点，
∴ EB = $\frac{1}{2}$AB
∵ F是CD的中点，
∴ CF = $\frac{1}{2}$CD
∴ EB + CF = $\frac{1}{2}$(AB + CD) = $\frac{1}{2}$×8 = 4
又
∵ EF = EB + BC + CF
∴ EF = 4 + 8 = 12
【答案】
12
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，解题的核心是利用整体思想计算EB与CF的和，无需单独求解AB、CD的长度，简化了运算过程，考查了对线段性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
10. 上午9：20，钟表上时针与分针所成的钝角是
160
°。答案
10. 160
解析
【分析】
要计算钟表上9:20时针与分针的钝角，首先需要明确钟表的角度规律：钟表一圈为360°，平均分为12个大格，每个大格对应30°；时针每60分钟走1个大格，所以时针每分钟走0.5°。解题时先分别确定9:20时分针、时针的位置，再计算两者的夹角即可，注意不能忽略20分钟内时针移动的角度。
【解析】
步骤1：计算钟表每大格的角度：
钟表一圈是360°，共12个大格，因此每个大格的角度为 $360° ÷ 12 = 30°$。
步骤2：计算时针每分钟移动的角度：
时针1小时（60分钟）走1个大格（30°），因此时针每分钟走 $30° ÷ 60 = 0.5°$。
步骤3：确定9:20时针和分针的位置：
① 分针20分钟指向第4个大格，对应位置以12点为基准的角度是 $4 × 30° = 120°$；
② 9点整时，时针指向第9个大格，20分钟后时针额外移动了 $20 × 0.5° = 10°$，因此9:20时针的位置以12点为基准的角度为 $9 × 30° + 10° = 280°$。
步骤4：计算两者夹角：
两个指针的角度差为 $280° - 120° = 160°$，160°为钝角，符合要求。
【答案】
160
【知识点】
钟表角度计算，角的度量
【点评】
本题是钟表角度计算的基础题型，易错点是忽略时针会随时间推移移动，误将时针位置固定在数字9，算出150°的错误结果，解题时需同时考虑时针和分针的动态位置。
【难度系数】
0.6
要计算钟表上9:20时针与分针的钝角，首先需要明确钟表的角度规律：钟表一圈为360°，平均分为12个大格，每个大格对应30°；时针每60分钟走1个大格，所以时针每分钟走0.5°。解题时先分别确定9:20时分针、时针的位置，再计算两者的夹角即可，注意不能忽略20分钟内时针移动的角度。
【解析】
步骤1：计算钟表每大格的角度：
钟表一圈是360°，共12个大格，因此每个大格的角度为 $360° ÷ 12 = 30°$。
步骤2：计算时针每分钟移动的角度：
时针1小时（60分钟）走1个大格（30°），因此时针每分钟走 $30° ÷ 60 = 0.5°$。
步骤3：确定9:20时针和分针的位置：
① 分针20分钟指向第4个大格，对应位置以12点为基准的角度是 $4 × 30° = 120°$；
② 9点整时，时针指向第9个大格，20分钟后时针额外移动了 $20 × 0.5° = 10°$，因此9:20时针的位置以12点为基准的角度为 $9 × 30° + 10° = 280°$。
步骤4：计算两者夹角：
两个指针的角度差为 $280° - 120° = 160°$，160°为钝角，符合要求。
【答案】
160
【知识点】
钟表角度计算，角的度量
【点评】
本题是钟表角度计算的基础题型，易错点是忽略时针会随时间推移移动，误将时针位置固定在数字9，算出150°的错误结果，解题时需同时考虑时针和分针的动态位置。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 一个角的补角比它的余角的3倍少30°，求这个角的余角、补角的度数。
11. 一个角的补角比它的余角的3倍少30°，求这个角的余角、补角的度数。
答案
11. 设这个角为$x°$. 依题意得$180−x=3(90−x)−30$，解得$x=30$，$90−x=60$，$180−x=150$. 所以这个角的余角为$60°$，补角为$150°$.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆余角、补角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互余；如果两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以先设这个角的度数为x°，用含x的式子分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“补角比余角的3倍少30°”的等量关系列方程，解出x后再分别计算余角、补角的度数即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}180 - x &= 3(90 - x) - 30 \\180 - x &= 270 - 3x - 30 \\180 - x &= 240 - 3x \\3x - x &= 240 - 180 \\2x &= 60 \\x &= 30\end{aligned}$
则这个角的余角为：$90 - 30 = 60°$
这个角的补角为：$180 - 30 = 150°$
【答案】
这个角的余角为$60°$，补角为$150°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础应用题，核心是熟练掌握余角、补角的表达式，准确抓取题目中的等量关系列方程求解，计算难度低，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆余角、补角的定义：如果两个角的和为90°，则这两个角互余；如果两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以先设这个角的度数为x°，用含x的式子分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的“补角比余角的3倍少30°”的等量关系列方程，解出x后再分别计算余角、补角的度数即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}180 - x &= 3(90 - x) - 30 \\180 - x &= 270 - 3x - 30 \\180 - x &= 240 - 3x \\3x - x &= 240 - 180 \\2x &= 60 \\x &= 30\end{aligned}$
则这个角的余角为：$90 - 30 = 60°$
这个角的补角为：$180 - 30 = 150°$
【答案】
这个角的余角为$60°$，补角为$150°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础应用题，核心是熟练掌握余角、补角的表达式，准确抓取题目中的等量关系列方程求解，计算难度低，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 如图，已知线段AB，点C为线段AB的中点，按下列要求完成画图与计算.
(1)尺规作图：延长线段AB到点D，使得B为线段CD的中点；延长BA到点E，使得A为线段BE的中点(保留作图痕迹，不写作法).
(2)在(1)的条件下，如果$DE=10$，求线段AB的长度.
第12题
(1)尺规作图：延长线段AB到点D，使得B为线段CD的中点；延长BA到点E，使得A为线段BE的中点(保留作图痕迹，不写作法).
(2)在(1)的条件下，如果$DE=10$，求线段AB的长度.
第12题答案
12. (1)作图略 (2)因为点C为线段AB的中点，所以$AB=2BC$，点B为线段CD的中点，所以$BD=BC$. 因为点A为线段BE的中点，所以$BE=2AB=4BC$. 又因为$DE=BE+BD=4BC+BC=5BC=10$，所以$BC=2$，所以$AB=2BC=4$.
解析
【分析】
(1) 作图思路：要使B为CD中点，即满足BD=BC，用圆规截取BC的长度，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB的延长线于D即可；要使A为BE中点，即满足AE=AB，用圆规截取AB的长度，以A为圆心、AB长为半径画弧，交BA的延长线于E即可。
(2) 计算思路：先根据线段中点的性质，将AB、BD、BE都用BC表示，再明确DE由BE和BD两段组成，代入表达式得到DE与BC的数量关系，结合已知DE=10求出BC的长度，最后根据AB和BC的关系求出AB的长度。
【解析】
(1) 作图符合要求即可，此处略。
(2) 解：
∵点C为线段AB的中点，
∴$AB=2BC$，
∵点B为线段CD的中点，
∴$BD=BC$，
∵点A为线段BE的中点，
∴$BE=2AB=2×2BC=4BC$，
由线段和差关系可得$DE=BE+BD$，
代入得：$DE=4BC+BC=5BC$，
已知$DE=10$，
∴$5BC=10$，解得$BC=2$，
∴$AB=2BC=2×2=4$。
【答案】
(1) 作图略；(2) 线段AB的长度为4。
【知识点】
线段中点的定义，尺规作图，线段和差计算
【点评】
本题属于线段相关的基础题型，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了对线段中点性质的运用，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，掌握中点性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 作图思路：要使B为CD中点，即满足BD=BC，用圆规截取BC的长度，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB的延长线于D即可；要使A为BE中点，即满足AE=AB，用圆规截取AB的长度，以A为圆心、AB长为半径画弧，交BA的延长线于E即可。
(2) 计算思路：先根据线段中点的性质，将AB、BD、BE都用BC表示，再明确DE由BE和BD两段组成，代入表达式得到DE与BC的数量关系，结合已知DE=10求出BC的长度，最后根据AB和BC的关系求出AB的长度。
【解析】
(1) 作图符合要求即可，此处略。
(2) 解：
∵点C为线段AB的中点，
∴$AB=2BC$，
∵点B为线段CD的中点，
∴$BD=BC$，
∵点A为线段BE的中点，
∴$BE=2AB=2×2BC=4BC$，
由线段和差关系可得$DE=BE+BD$，
代入得：$DE=4BC+BC=5BC$，
已知$DE=10$，
∴$5BC=10$，解得$BC=2$，
∴$AB=2BC=2×2=4$。
【答案】
(1) 作图略；(2) 线段AB的长度为4。
【知识点】
线段中点的定义，尺规作图，线段和差计算
【点评】
本题属于线段相关的基础题型，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了对线段中点性质的运用，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，掌握中点性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
