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1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(-2,0)，C(1,0)，则△ABC的面积为
第1题图 第2题图
3
。第1题图 第2题图
答案
1. 3
解析
【分析】
观察可知点B、C均在x轴上，因此可将BC作为△ABC的底来计算面积。第一步先根据B、C的横坐标求出BC的长度，第二步确定△ABC的高：BC在x轴上，因此高就是点A到x轴的垂直距离，即点A纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵点B(-2,0)，C(1,0)都在x轴上，
∴BC的长度为：$1 - (-2) = 3$，
∵点A的坐标为(4,2)，
∴点A到x轴（BC所在直线）的距离为2，即△ABC中BC边上的高为2，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$
【答案】
3
【知识点】
坐标轴上两点距离计算，三角形面积公式，点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积计算的基础题，解题的关键是结合点的坐标特征，选择合适的边作为底，快速得到底和对应高的长度，避免复杂计算。
【难度系数】
0.8
观察可知点B、C均在x轴上，因此可将BC作为△ABC的底来计算面积。第一步先根据B、C的横坐标求出BC的长度，第二步确定△ABC的高：BC在x轴上，因此高就是点A到x轴的垂直距离，即点A纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵点B(-2,0)，C(1,0)都在x轴上，
∴BC的长度为：$1 - (-2) = 3$，
∵点A的坐标为(4,2)，
∴点A到x轴（BC所在直线）的距离为2，即△ABC中BC边上的高为2，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$
【答案】
3
【知识点】
坐标轴上两点距离计算，三角形面积公式，点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积计算的基础题，解题的关键是结合点的坐标特征，选择合适的边作为底，快速得到底和对应高的长度，避免复杂计算。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,2),B(4,6),C(-1,3)，则△ABC的面积为
10
。答案
2. 10
解析
【分析】
首先观察三个顶点的坐标，发现点A和点B的横坐标相同，说明AB是竖直方向的线段，可将AB作为三角形的底，其长度可直接通过两点纵坐标作差求得；再求点C到AB的水平距离作为AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵A(4,2)，B(4,6)，两点横坐标相等，
∴AB为竖直方向的线段，AB的长度为：$6-2=4$。
AB边上的高为点C到AB的水平距离，AB对应横坐标为4，点C的横坐标为-1，
∴高为：$4-(-1)=5$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
线段长度计算，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的求解，解题核心是利用点的坐标特征选择合适的底和高，简化计算过程，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察三个顶点的坐标，发现点A和点B的横坐标相同，说明AB是竖直方向的线段，可将AB作为三角形的底，其长度可直接通过两点纵坐标作差求得；再求点C到AB的水平距离作为AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵A(4,2)，B(4,6)，两点横坐标相等，
∴AB为竖直方向的线段，AB的长度为：$6-2=4$。
AB边上的高为点C到AB的水平距离，AB对应横坐标为4，点C的横坐标为-1，
∴高为：$4-(-1)=5$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
线段长度计算，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的求解，解题核心是利用点的坐标特征选择合适的底和高，简化计算过程，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图，已知点$A(-3,1),B(1,-3),C(3,4)$，求$△ ABC$的面积. 
答案
3.解:过点 A 作$EF// y$轴,过点 B 作$FG// x$轴,交 EF 于点 F,过点 C 作$CG⊥ FG$于点 G,$CE⊥ EF$于点 E.$S_{△ ABC}=S_{长方形EFGC}-S_{△ AEC}-S_{△ AFB}-S_{△ BGC}=6×7-\frac{1}{2}×3×6-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×7=42-9-8-7=18.$
解析
【分析】
已知平面直角坐标系中△ABC三个顶点的坐标，且三角形各边均不与坐标轴平行，直接用底乘高计算面积难度较大，因此选择割补法中的补形法求解：过三个顶点分别作平行于坐标轴的直线，围成一个包含△ABC的长方形，△ABC的面积等于长方形面积减去周围3个直角三角形的面积，只需根据点坐标算出各线段长度，代入规则图形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作$EF// y$轴，过点B作$FG// x$轴，交EF于点F，过点C作$CG⊥ FG$于点G，$CE⊥ EF$于点E。
由点坐标可得长方形EFGC的长为$3-(-3)=6$，宽为$4-(-3)=7$，则$S_{长方形EFGC}=6×7=42$；
$△AEC$中，$AE=4-1=3$，$CE=3-(-3)=6$，则$S_{△AEC}=\frac{1}{2}×3×6=9$；
$△AFB$中，$AF=1-(-3)=4$，$BF=1-(-3)=4$，则$S_{△AFB}=\frac{1}{2}×4×4=8$；
$△BGC$中，$BG=3-1=2$，$CG=4-(-3)=7$，则$S_{△BGC}=\frac{1}{2}×2×7=7$；
因此$S_{△ABC}=S_{长方形EFGC}-S_{△AEC}-S_{△AFB}-S_{△BGC}=42-9-8-7=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
割补法求面积，坐标与线段长，面积公式应用
【点评】
本题是平面直角坐标系中求不规则图形面积的典型题，核心方法是通过割补将未知的不规则图形面积转化为已知的规则图形面积和差，辅助线的作法和坐标转线段长度的技巧是解题关键，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
已知平面直角坐标系中△ABC三个顶点的坐标，且三角形各边均不与坐标轴平行，直接用底乘高计算面积难度较大，因此选择割补法中的补形法求解：过三个顶点分别作平行于坐标轴的直线，围成一个包含△ABC的长方形，△ABC的面积等于长方形面积减去周围3个直角三角形的面积，只需根据点坐标算出各线段长度，代入规则图形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作$EF// y$轴，过点B作$FG// x$轴，交EF于点F，过点C作$CG⊥ FG$于点G，$CE⊥ EF$于点E。
由点坐标可得长方形EFGC的长为$3-(-3)=6$，宽为$4-(-3)=7$，则$S_{长方形EFGC}=6×7=42$；
$△AEC$中，$AE=4-1=3$，$CE=3-(-3)=6$，则$S_{△AEC}=\frac{1}{2}×3×6=9$；
$△AFB$中，$AF=1-(-3)=4$，$BF=1-(-3)=4$，则$S_{△AFB}=\frac{1}{2}×4×4=8$；
$△BGC$中，$BG=3-1=2$，$CG=4-(-3)=7$，则$S_{△BGC}=\frac{1}{2}×2×7=7$；
因此$S_{△ABC}=S_{长方形EFGC}-S_{△AEC}-S_{△AFB}-S_{△BGC}=42-9-8-7=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
割补法求面积，坐标与线段长，面积公式应用
【点评】
本题是平面直角坐标系中求不规则图形面积的典型题，核心方法是通过割补将未知的不规则图形面积转化为已知的规则图形面积和差，辅助线的作法和坐标转线段长度的技巧是解题关键，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
4.(教材P73复习题T8变式)在如图所示的平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0),A(-4,10),B(-12,8),
C(-14,0),求四边形OABC的面积.
方法指导
对于不规则图形,可考虑将图形分割成直角三角形、长方形或梯形,通过求其面积之和,得到所求图形的面积.
C(-14,0),求四边形OABC的面积.
方法指导
对于不规则图形,可考虑将图形分割成直角三角形、长方形或梯形,通过求其面积之和,得到所求图形的面积.
答案
4.解:过点 A 作$AD⊥ x$轴,垂足为 D,过点 B 作$BE⊥ x$轴,垂足为 E,则$D(-4,0),E(-12,0)$.又$\because A(-4,10),B(-12,8),C(-14,0),\therefore BE=8,AD=10,OD=4,DE=8,CE=2.$
$\therefore S_{四边形OABC}=S_{△ AOD}+S_{△ BCE}+S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}OD· AD+\frac{1}{2}CE· BE+\frac{1}{2}(BE+AD)· DE=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8=100.$
$\therefore S_{四边形OABC}=S_{△ AOD}+S_{△ BCE}+S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}OD· AD+\frac{1}{2}CE· BE+\frac{1}{2}(BE+AD)· DE=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8=100.$
解析
【分析】
本题是求平面直角坐标系中不规则四边形的面积，没有直接对应的面积公式，因此考虑用割补法将其转化为规则图形的面积和求解。我们可以过A、B两点分别向x轴作垂线，将四边形OABC分割为两个直角三角形和一个梯形，利用各顶点的坐标计算出各规则图形的底和高，分别求出面积后相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
过点A作$AD⊥x$轴，垂足为D，过点B作$BE⊥x$轴，垂足为E，则$D(-4,0)$，$E(-12,0)$。
已知$A(-4,10)$，$B(-12,8)$，$C(-14,0)$，可得：
$BE=8$，$AD=10$，$OD=4$，$DE=8$，$CE=2$。
因此四边形OABC的面积等于三个规则图形的面积和：
$\begin{aligned}S_{四边形OABC}&=S_{△AOD}+S_{△BCE}+S_{梯形ABED}\\&=\frac{1}{2}OD·AD+\frac{1}{2}CE·BE+\frac{1}{2}(BE+AD)·DE\\&=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8\\&=20+8+72\\&=100\end{aligned}$
【答案】
100
【知识点】
割补法求面积、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的典型题型，解题核心是合理运用割补法将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再结合点的坐标求出规则图形对应边的长度，代入面积公式计算即可，掌握合理分割图形的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是求平面直角坐标系中不规则四边形的面积，没有直接对应的面积公式，因此考虑用割补法将其转化为规则图形的面积和求解。我们可以过A、B两点分别向x轴作垂线，将四边形OABC分割为两个直角三角形和一个梯形，利用各顶点的坐标计算出各规则图形的底和高，分别求出面积后相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
过点A作$AD⊥x$轴，垂足为D，过点B作$BE⊥x$轴，垂足为E，则$D(-4,0)$，$E(-12,0)$。
已知$A(-4,10)$，$B(-12,8)$，$C(-14,0)$，可得：
$BE=8$，$AD=10$，$OD=4$，$DE=8$，$CE=2$。
因此四边形OABC的面积等于三个规则图形的面积和：
$\begin{aligned}S_{四边形OABC}&=S_{△AOD}+S_{△BCE}+S_{梯形ABED}\\&=\frac{1}{2}OD·AD+\frac{1}{2}CE·BE+\frac{1}{2}(BE+AD)·DE\\&=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8\\&=20+8+72\\&=100\end{aligned}$
【答案】
100
【知识点】
割补法求面积、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的典型题型，解题核心是合理运用割补法将不规则图形转化为熟悉的规则图形，再结合点的坐标求出规则图形对应边的长度，代入面积公式计算即可，掌握合理分割图形的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在平面直角坐标系中,已知$A(a,0)$,$B(b,0)$,其中$a,b$满足$\sqrt{a+1}+(b-3)^2=0$.
(1)填空:$a=$
(2)若在第三象限内有一点$M(-2,m)$,用含$m$的式子表示$△ ABM$的面积为
(3)在(2)的条件下,线段$BM$与$y$轴相交于点$C(0,-\frac{9}{10})$,当$m=-\frac{3}{2}$时,点$P$是$y$轴上的动点,当满足$△ PBM$的面积是$△ ABM$的面积的2倍时,求点$P$的坐标.
(1)填空:$a=$
-1
,$b=$3
.(2)若在第三象限内有一点$M(-2,m)$,用含$m$的式子表示$△ ABM$的面积为
-2m
.(3)在(2)的条件下,线段$BM$与$y$轴相交于点$C(0,-\frac{9}{10})$,当$m=-\frac{3}{2}$时,点$P$是$y$轴上的动点,当满足$△ PBM$的面积是$△ ABM$的面积的2倍时,求点$P$的坐标.
答案
5.解:(1)$-1\quad 3$ (2)$-2m$ (3)当$m=-\frac{3}{2}$时,$M(-2,-\frac{3}{2})$,$S_{△ ABM}=-2m=-2×(-\frac{3}{2})=3$,$\therefore S_{△ PBM}=2S_{△ ABM}=6.$
$\because S_{△ PBM}=S_{△ MPC}+S_{△ BPC},\therefore \frac{1}{2}PC×2+\frac{1}{2}PC×3=6$,解得$PC=\frac{12}{5}.\because C(0,-\frac{9}{10})$,$\therefore$点 P 的纵坐标为$-\frac{9}{10}-\frac{12}{5}=-\frac{33}{10}$或$-\frac{9}{10}+\frac{12}{5}=\frac{3}{2}$.$\therefore$点 P 的坐标为$(0,-\frac{33}{10})$或$(0,\frac{3}{2}).$
$\because S_{△ PBM}=S_{△ MPC}+S_{△ BPC},\therefore \frac{1}{2}PC×2+\frac{1}{2}PC×3=6$,解得$PC=\frac{12}{5}.\because C(0,-\frac{9}{10})$,$\therefore$点 P 的纵坐标为$-\frac{9}{10}-\frac{12}{5}=-\frac{33}{10}$或$-\frac{9}{10}+\frac{12}{5}=\frac{3}{2}$.$\therefore$点 P 的坐标为$(0,-\frac{33}{10})$或$(0,\frac{3}{2}).$
解析
【分析】
(1) 根据非负数的性质：算术平方根和完全平方数均为非负数，若两者之和为0，则各自取值为0，据此列等式即可求解a、b的值；
(2) 先求出线段AB的长度，△ABM以AB为底，高为点M到x轴的距离，结合M在第三象限纵坐标为负的特点，代入三角形面积公式即可得到结果；
(3) 先代入m的值求出△ABM的面积，进而得到△PBM的面积；将△PBM的面积拆分为△MPC和△BPC的面积之和，两个三角形共底PC，高分别为点M、点B到y轴的水平距离，据此求出PC的长度，再分点P在点C上方、下方两种情况计算P的纵坐标，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) $\because \sqrt{a+1}≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$\sqrt{a+1}+(b-3)^2=0$
$\therefore a+1=0$，$b-3=0$，解得$a=-1$，$b=3$
(2) 由(1)得$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$\therefore AB=3-(-1)=4$
$\because$点$M(-2,m)$在第三象限，$\therefore m＜0$，点M到x轴的距离为$|m|=-m$
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB× |m|=\frac{1}{2}×4×(-m)=-2m$
(3) 当$m=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ ABM}=-2×(-\frac{3}{2})=3$
$\therefore S_{△ PBM}=2S_{△ ABM}=6$
$\because S_{△ PBM}=S_{△ MPC}+S_{△ BPC}$，设$P(0,y)$，则$PC=|y-(-\frac{9}{10})|$
$△ MPC$以PC为底时高为2，$△ BPC$以PC为底时高为3
$\therefore \frac{1}{2}× PC×2+\frac{1}{2}× PC×3=6$，解得$PC=\frac{12}{5}$
分两种情况：
①当P在C下方时，$y=-\frac{9}{10}-\frac{12}{5}=-\frac{33}{10}$，即$P(0,-\frac{33}{10})$
②当P在C上方时，$y=-\frac{9}{10}+\frac{12}{5}=\frac{3}{2}$，即$P(0,\frac{3}{2})$
【答案】
(1) $-1$，$3$；(2) $-2m$；(3) $(0,-\frac{33}{10})$或$(0,\frac{3}{2})$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 三角形面积计算
3. 动点坐标求解
【点评】
本题基础和能力考查相结合，解题核心是掌握坐标系中不规则图形面积的拆分方法，处理动点问题时要注意分类讨论，避免因漏解失分。
【难度系数】
0.6
(1) 根据非负数的性质：算术平方根和完全平方数均为非负数，若两者之和为0，则各自取值为0，据此列等式即可求解a、b的值；
(2) 先求出线段AB的长度，△ABM以AB为底，高为点M到x轴的距离，结合M在第三象限纵坐标为负的特点，代入三角形面积公式即可得到结果；
(3) 先代入m的值求出△ABM的面积，进而得到△PBM的面积；将△PBM的面积拆分为△MPC和△BPC的面积之和，两个三角形共底PC，高分别为点M、点B到y轴的水平距离，据此求出PC的长度，再分点P在点C上方、下方两种情况计算P的纵坐标，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) $\because \sqrt{a+1}≥0$，$(b-3)^2≥0$，且$\sqrt{a+1}+(b-3)^2=0$
$\therefore a+1=0$，$b-3=0$，解得$a=-1$，$b=3$
(2) 由(1)得$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$\therefore AB=3-(-1)=4$
$\because$点$M(-2,m)$在第三象限，$\therefore m＜0$，点M到x轴的距离为$|m|=-m$
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB× |m|=\frac{1}{2}×4×(-m)=-2m$
(3) 当$m=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ ABM}=-2×(-\frac{3}{2})=3$
$\therefore S_{△ PBM}=2S_{△ ABM}=6$
$\because S_{△ PBM}=S_{△ MPC}+S_{△ BPC}$，设$P(0,y)$，则$PC=|y-(-\frac{9}{10})|$
$△ MPC$以PC为底时高为2，$△ BPC$以PC为底时高为3
$\therefore \frac{1}{2}× PC×2+\frac{1}{2}× PC×3=6$，解得$PC=\frac{12}{5}$
分两种情况：
①当P在C下方时，$y=-\frac{9}{10}-\frac{12}{5}=-\frac{33}{10}$，即$P(0,-\frac{33}{10})$
②当P在C上方时，$y=-\frac{9}{10}+\frac{12}{5}=\frac{3}{2}$，即$P(0,\frac{3}{2})$
【答案】
(1) $-1$，$3$；(2) $-2m$；(3) $(0,-\frac{33}{10})$或$(0,\frac{3}{2})$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 三角形面积计算
3. 动点坐标求解
【点评】
本题基础和能力考查相结合，解题核心是掌握坐标系中不规则图形面积的拆分方法，处理动点问题时要注意分类讨论，避免因漏解失分。
【难度系数】
0.6
