7.如图,已知火车站的坐标为$(2,1)$,文化宫的坐标为$(-1,2)$.
(1)请根据题目条件画出平面直角坐标系.
(2)写出体育场、市场、超市的坐标.
(3)若宾馆的坐标为$(4,2)$,请在图上标出宾馆所在位置.

7.解:(1)图略. (2)体育场$(-2,4)$,市场$(6,4)$,超市$(4,-2)$.(3)图略.

【分析】
要解决这道题，首先需根据已知点的坐标确定平面直角坐标系：①已知火车站坐标为$(2,1)$、文化宫坐标为$(-1,2)$，说明火车站在原点右侧2格、上方1格，因此原点为火车站向左平移2格、向下平移1格的网格交点；②确定原点后，画出水平向右为正方向的x轴、竖直向上为正方向的y轴，规定1格为1个单位长度，即可完成坐标系建立。坐标系建立后，直接读取各点的横、纵坐标就能得到体育场、市场、超市的坐标；找宾馆位置时，根据坐标的横、纵坐标数值，对应找x轴、y轴对应位置的交点即可。
【解析】
(1) 建立平面直角坐标系步骤：
1. 找原点：从火车站的位置向左数2个网格，再向下数1个网格，得到的交点即为坐标原点；
2. 画坐标轴：过原点作水平向右的x轴，竖直向上的y轴，规定每个网格的边长为1个单位长度，完成坐标系绘制。
(2) 在建立好的坐标系中，读取各点坐标：
体育场的横坐标为$-2$，纵坐标为$4$，即$(-2,4)$；
市场的横坐标为$6$，纵坐标为$4$，即$(6,4)$；
超市的横坐标为$4$，纵坐标为$-2$，即$(4,-2)$。
(3) 标宾馆位置：在x轴上找到表示$4$的点，作竖直垂线；在y轴上找到表示$2$的点，作水平垂线，两条垂线的交点就是坐标$(4,2)$对应的宾馆位置，标注即可。
（(1)(3)的绘图结果略）
【答案】
(1)图略；(2)体育场$(-2,4)$，市场$(6,4)$，超市$(4,-2)$；(3)图略。
【知识点】
平面直角坐标系的建立；点的坐标识别；根据坐标定位点
【点评】
本题围绕平面直角坐标系的基础应用设置问题，核心是通过已知点坐标反推坐标系的三要素（原点、正方向、单位长度），只要掌握坐标系的基本概念，就能顺利完成坐标读取和位置标注，是对坐标系基础能力的常规考查。
【难度系数】
0.8

8. 如图,将正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系中.若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(-3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐标是 ()

A.(2,-3)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(3,-2)

8. C

【分析】
首先观察已知点的坐标特征：点C和D纵坐标相同，说明CD边是水平线段，正五边形是轴对称图形，对称轴应垂直于CD且过正五边形的顶点A，已知A的横坐标为0，可判断对称轴为y轴（直线x=0）。由此可知点B和点E关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求出点E的坐标。
【解析】
解：
∵点C(b,m)和点D(c,m)的纵坐标相等，
∴CD边与x轴平行，
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，其对称轴垂直于CD且经过顶点A，
又
∵顶点A的坐标为(0,a)，横坐标为0，
∴该对称轴为直线x=0（即y轴），
∴点B与点E关于y轴对称，
∵关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，且点B的坐标为(-3,2)，
∴点E的坐标为(3,2)。
【答案】
C
【知识点】
1.正五边形的对称性
2.关于y轴对称的点的坐标特征
3.坐标与图形位置
【点评】
本题结合正五边形的轴对称性考查平面直角坐标系中点的坐标规律，解题的突破口是根据已知点的坐标特征确定对称轴，再利用对称性质求解，能较好地考查学生对图形性质和坐标规律的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

9.如图，直线$l_1 ⊥ l_2$，在平面直角坐标系中，$l_1 // x$轴，$l_2 // y$轴，点A，B的坐标分别为$(-1,1)$，$(2,-1)$，则点C在第象限内。

9. 一

【分析】解题时首先明确平面直角坐标系的构成：x轴为水平方向、y轴为竖直方向，二者垂直且交点为原点，划分出四个象限，不同象限内点的横、纵坐标符号有固定规律。已知$l_1 // x$轴、$l_2 // y$轴且互相垂直，因此可将$l_1$、$l_2$对应看作坐标系的x轴、y轴。先结合A、B的坐标确定$l_1$、$l_2$两侧的坐标符号规律，再判断点C的横、纵坐标符号，即可确定其所在象限。
【解析】
1. 明确各象限的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$；
2. 由$l_1 // x$轴、$l_2 // y$轴且$l_1 ⊥ l_2$，可知$l_1$对应x轴方向、$l_2$对应y轴方向，二者交点为坐标原点；
3. 已知点$A(-1,1)$坐标为(负,正)，属于第二象限，说明$l_1$上方、$l_2$左侧的区域为第二象限；点$B(2,-1)$坐标为(正,负)，属于第四象限，说明$l_1$下方、$l_2$右侧的区域为第四象限；
4. 观察点C的位置：它在$l_2$的右侧，因此横坐标为正；在$l_1$的上方，因此纵坐标为正，横纵坐标均为正，符合第一象限的坐标特征。
【答案】一
【知识点】象限坐标特征，平面直角坐标系的认识
【点评】本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中象限的判断，解题核心是掌握各象限内点的横纵坐标符号规律，结合已知点坐标即可快速判断未知点的位置。
【难度系数】
0.8

10. 新考向·开放性问题 如图所示，在长方形ABCD中，已知AB=6，AD=4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE=BE=5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标。

10. 解:以点$D$为坐标原点,$DC$所在直线为$x$轴,$AD$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系,则$A(0,4),B(6,4),C(6,0),D(0,0)$.过点$E$作$EG ⊥ CD$于点$G$,交$AB$于点$F$,则$∠ AFE=90°$.
$\because AE=BE,\therefore AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$. 在$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. $\therefore EG=4+4=8$. $\therefore E(3,8)$.(答案不唯一)

【分析】
这是一道开放性的坐标确定问题，解题时优先选择便于计算的平面直角坐标系，通常将图形的顶点设为原点、边与坐标轴重合可简化坐标计算。本题可先以点D为原点，DC所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建系，先确定长方形ABCD四个顶点的坐标；再根据△ABE是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质判断E在AB的垂直平分线上，先确定E点的横坐标，最后通过勾股定理计算E点到AB的距离，进而求出E点的纵坐标即可。注意建系方式不同，最终各点坐标也不同，只要合理均正确。
【解析】
解：以点$D$为坐标原点，$DC$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
∵四边形ABCD是长方形，$AB=6$，$AD=4$，
∴$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$，$D(0,0)$。
过点$E$作$EG ⊥ CD$于点$G$，交$AB$于点$F$，则$∠ AFE=90°$。
∵$AE=BE$，$EF⊥AB$，根据等腰三角形三线合一的性质可得：
$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵$FG=AD=4$，
∴$EG=EF+FG=4+4=8$。
又
∵E在AB的垂直平分线上，横坐标与AB中点横坐标相同为3，
∴$E(3,8)$。
（建立坐标系的方式不唯一，合理即可）
【答案】
以点D为原点，DC为x轴，AD为y轴建系时，$A(0,4)$，$B(6,4)$，$C(6,0)$，$D(0,0)$，$E(3,8)$（答案不唯一）
【知识点】
平面直角坐标系；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于开放性题型，考查灵活建立平面直角坐标系的能力，同时结合了等腰三角形性质和勾股定理的综合应用，建立坐标系时尽量让更多的点落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上，可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7

11. 在某研学活动中，主办方告诉学员们A，B两点的位置及坐标分别为$(-3,1),(-2,-3)$，同时只告诉学员们活动中心C的坐标为$(3,2)$.(单位:km)
(1)请在图中建立平面直角坐标系，并确定点C的位置.
(2)若学员们打算从点B处直接赶往点C处，请用方位角和距离描述点C相对于点B的位置.

11. 解:(1)图略. (2)点$C$在点$B$的北偏东$45°$方向上,距离点$B$$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$处.

【分析】
对于(1)问，已知A、B两点的坐标，要建立平面直角坐标系，首先根据点坐标的含义确定原点位置：坐标$(a,b)$表示该点在原点水平右$a$个单位、竖直上$b$个单位（$a$、$b$为负时对应反方向），因此由$A(-3,1)$可知原点在A点右侧3个单位、下方1个单位处，建立坐标系后，再根据C点坐标$(3,2)$，在x轴正方向取3个单位、y轴正方向取2个单位即可找到C点。
对于(2)问，要描述C相对于B的位置，需先计算两点的水平（东西向）、竖直（南北向）坐标差，结合坐标差判断方位角，再用勾股定理计算两点距离即可。
【解析】
(1) ①确定原点位置：根据$A(-3,1)$，将点A向右平移3格，向下平移1格，得到的交点即为坐标原点$(0,0)$；
②建立坐标系：以水平向右为x轴正方向（对应东方向），竖直向上为y轴正方向（对应北方向），建立平面直角坐标系；
③确定点C位置：在x轴正方向取3个单位长度，y轴正方向取2个单位长度，对应交点即为坐标$(3,2)$的点C。
(2) 首先计算B、C两点的坐标差：
水平方向（东为正）：$x_C - x_B = 3 - (-2) = 5\ \mathrm{km}$，即点C在点B正东方向5km处；
竖直方向（北为正）：$y_C - y_B = 2 - (-3) = 5\ \mathrm{km}$，即点C在点B正北方向5km处；
由此可知，点B、C与东西方向、南北方向的连线构成等腰直角三角形，因此点C相对点B的方位角为北偏东$45°$；
再由勾股定理计算BC的距离：
$BC = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系、确定点C位置见解析（图略）；
(2) 点$C$在点$B$的北偏东$45°$方向上，距离点$B$$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$处。
【知识点】
平面直角坐标系建立，方位角描述位置，勾股定理应用
【点评】
本题结合实际场景考查位置描述相关知识，解题核心是先根据已知点坐标准确建立坐标系，再通过坐标差分析方位、结合勾股定理计算距离，和生活实际结合紧密，能很好地考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

12. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位:km). 笔直的铁路经过A，B两地.
(1)A，B间的距离为km.
(2)计划修一条从C地到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C两地的距离相等，则C，D间的距离为km.

• C(0,-17)

12. (1)20 (2)13

【分析】
(1) 观察A、B两点的坐标可知两点纵坐标相同，说明线段AB平行于x轴，因此AB的距离等于两点横坐标差的绝对值，直接计算即可得到结果。
(2) 先确定铁路AB所在直线的解析式：AB上所有点纵坐标都是1，因此AB是直线$y=1$。点到直线的最短距离是垂线段，因此过C作AB的垂线$l$，由于AB平行x轴，故垂线$l$为竖直线，结合C点坐标$(0,-17)$可知$l$是直线$x=0$（即y轴）。设D点坐标为$(0,y)$，根据“D到A、C的距离相等”的条件，利用两点距离公式列方程求解$y$的值，最后计算CD的长度即可。
【解析】
(1) $\because A(12,1)$，$B(-8,1)$，两点纵坐标相等，
$\therefore AB// x$轴，
$\therefore AB=\left|12-(-8)\right|=20\ \mathrm{km}$。
(2) 由A、B两点纵坐标均为1，可得直线AB的解析式为$y=1$。
$\because$ 从C到AB的最短路径是AB的垂线段，且AB平行x轴，
$\therefore$ 该垂线$l$平行于y轴，又$\because C(0,-17)$，
$\therefore$ 直线$l$的解析式为$x=0$，即D点横坐标为0，设$D(0,y)$。
$\because DA=DC$，根据两点间距离公式：
$DC=\left|y-(-17)\right|=\left|y+17\right|$，
$DA=\sqrt{(12-0)^2+(1-y)^2}=\sqrt{144+(1-y)^2}$，
将$DA=DC$两边平方得：$(y+17)^2=144+(1-y)^2$，
展开整理得：$y^2+34y+289=y^2-2y+145$，
移项合并同类项得：$36y=-144$，
解得：$y=-4$，即$D(0,-4)$，
$\therefore CD=\left|-4-(-17)\right|=13\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1)$20$；(2)$13$
【知识点】
平面直角坐标系中两点距离、点到直线的最短距离、勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际场景考查平面直角坐标系的应用，解题的关键是根据坐标特征快速判断直线的位置关系，再结合距离相等的条件列方程求解，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65